最近看到个题，说是，一个人患某个病的概率是 $1%$ ，现在有某个仪器可以检测患这种病的人，但是正确率只有 $99%$ 。问如果某人被检测出患这种病，那么他真正患这种病的概率是多少呢？

这个问题很有意思，我们可以简单更改一下问题的环境，就能找到做科研的价值到底几何。

假设科学事实被发现这个事件为$A$，其发生的概率是$a$，科学家做研究能够发现这个科学事实，这个事件记为为$B$，但是其正确率$P(B|A)$只有$b$。那么问： 在一个科学家声称其发现了某个科学事实的情况下，那么其真正发现科学事实的概率是多少呢？

这个问题只要学过一点概率的人都能算出来，首先 原文题的概率其实是一个条件概率，因为根据贝叶斯公式：

$$ P(A丨B)=\frac{P(AB)}{P(B)} $$

而

$$ P(B)=P(A)P(B|A)+P(\bar A)P(B | \bar A) =ab+(1-a)(1-b) = 2ab+1-a-b $$

所以： 科学事实真正被发现的概率是：$\frac{ab}{(2ab+1-a-b)}$

如果我们假设 $a=0.01$（这是被放大了的，因为科学事实很难被发现）$b=0.99$（这也是被放大了的，因为我们连学术道德都忽略了），很容易算出，这个概率只有$50%$。

当科学事实的发现概率固定时，这个函数在0至1的开区间内递增。

所以，学术垃圾在以至少大于$50%$的概率产生。

而我，就是其中之一。

深入阅读

1. Scientific Regress： http://www.firstthings.com/article/2016/05/scientific-regress