今天有人问我这个问题，就抽零碎时间在手机上敲敲我的看法。 数学界从来不缺天才，数学界从来不缺重大的突破。就我大学一年零碎所了解到的（以前高中还是太肤浅，当时只是道听途说），现代社会从事科研的人数比以前多了不知多少倍，所以现代科学（包括数学）的发展和突破的速度超越了以往任何一个时代（即《三体》里大刘所说的“技术爆炸”）。 只不过，相对于无理数、复数、微积分这样受过正常理工科教育的人都能理解的简单知识而言，现代数学的突破是almost everyone看不懂的了。我说的“看不懂”是真的看不懂——即数学圈外的人、甚至数学圈内不是一个方向的研究者，连这个“突破”的成果是啥意思都看不明白，更别提理解这个成果是怎么得到的了。（所以大部分民科也只会在像哥德巴赫猜想这类问题上纠结一样） 所以，圈外人会有一种“科学发展停滞了”的错觉，虽然他们每天用着的手机、电脑等由几十年前的“旧数学成果”奠基的工业产品在日新月异地更新换代。（不要觉得现在的产品有多么先进，只是几十年前的数学家不想去做产品化这种无聊的东西。）

“整数与小数之间的映射关系”、“离散和连续的关系”、“拓展数的概念”，都是很初等的东西，距离现代数学差得太远了。所以也就能理解为什么会提出这样的问题。 如果没有做过数学、物理等前沿学科问题的研究，是完全无法想象现代前沿科学是什么样的。其抽象程度、推导的复杂程度、需要的知识储备是大大超出一般圈外人的想象的。

举一些20世纪以后数学重大突破的实例吧：

哥德尔不完全性定理：由Godel证明，它使得人们一直以来寻求“完美的数学公理系统”的希望破灭——你永远不可能找到一个完美的数学公理系统，使得所有的数学命题都可以被证明或证伪。一个著名的例子就是连续统假设（CH）——以前数学家们孜孜以求的连续统假设的答案，是它和现代数学所采用的ZFC公理系统独立，即ZFC+CH不会有矛盾，ZFC+CH也不会有矛盾。

范畴论：一个不同于集合论的、可以作为现代数学基础的理论基石。由Samuel和Saunders创立，另外Lawvere、Alexander等数学家都为之做出了巨大贡献。集合论的基本概念是“元素”，而范畴论不再关心元素，而关心不同对象之间的联系，这更能抓住很多抽象数学机构的本质特征。例如，一个经典的例子是Gelfand representation，交换C*代数构成的范畴和紧Housdorff空间构成的范畴是等价的。范畴论不仅是代数几何等前沿数学分支的理论基础，还为理论计算机和物理的发展提供了强大的范畴论工具。

庞加莱猜想：1961年Smale证明了五维以上的情形，1981年Freedman证明了四维情形，2003年Perelman证明了三维情形，从而彻底解决。三人都因其对庞加莱猜想的贡献各自获得菲尔兹奖。关于它的意义我不想也不愿意用初等语言来描述（其实是我自己也不是很明白），微分几何与现代物理的深刻联系需要许多预备知识才能理解。事实上，现代数学最难且最热门的分支就是几何（包括微分几何、代数几何等），它是与现代物理关系最紧密的数学分支，也是聚集了最多数学天才的分支，最近几十年里这方面的突破性进展数不胜数，只可惜我资质愚钝表示都看不懂。