Einstein 场方程

现在我们需要构建场方程. 根据 Newton 的引力定律，场应该是下面的形式：

∇2ϕ=−4πGρ\nabla^2\phi = -4\pi G\rho

RHS 是 T00T^{00}，为了变成协变的形式，我们需要用 TμνT^{\mu\nu}，因此 LHS 也需要协变，也就是需要一个度规的二阶导数这样的张量. 而联络等效于度规的一阶导数级别，因此考虑构造联络的一阶导数. 上节课说到，联络的一阶导数项中会得到下面形式的项：

∂Γ′λμν∂xκ∼⋯+∂3x′∂x∂x∂x\frac{\partial\Gamma'^\lambda{}_{\mu\nu}}{\partial x^\kappa}\sim\cdots+\frac{\partial^3x'}{\partial x\partial x\partial x}

像在作业里面提到的一样，我们考虑引入下面的量：

Rλμνκ=∂Γλμν∂xκ−∂Γλμκ∂xν+ΓημνΓληκ−ΓημκΓληνR^\lambda{}_{\mu\nu\kappa} = \frac{\partial\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}}{\partial x^\kappa} - \frac{\partial\Gamma^\lambda{}_{\mu\kappa}}{\partial x^\nu}+\Gamma^\eta{}_{\mu\nu}\Gamma^\lambda{}_{\eta\kappa} - \Gamma^\eta{}_{\mu\kappa}\Gamma^\lambda{}_{\eta\nu}

如果广义相对论是对的，那么应该在局域惯性系 / 没有引力的情况下，都回到狭义相对论的结果. 原先的狭义相对论动力学方程是

DUλDτ=0\frac{\text{D}U^\lambda}{\text{D}\tau} = 0

现在我们可以加上一项作为广义相对论效应的体现，并加入一些平衡指标的量，得到

DUλDτ+fRλμνκUμUνSκ=0\frac{\text{D}U^\lambda}{\text{D}\tau}+fR^\lambda{}_{\mu\nu\kappa}U^\mu U^\nu S^\kappa = 0

其中 ff 是一个系数，SκS^\kappa 是某种自旋 —— 会想到用自旋是因为我们考查粒子的运动，然后需要三个矢量来平衡指标，粒子的有关矢量除了速度之外就剩下自旋.

真的有后面一项吗？按照有效理论的观点，在我们研究的能标下引力一直是弱场，大致做一下量纲分析，

[R]∼L2,[f]∼L1⟹f∼1mplanck[R] \sim \text{L}^2,\quad [f] \sim\text{L}^1\Longrightarrow f\sim\frac{1}{m_{\text{planck}}}

这是一个非常小的量，因此我们生活中很难看到这种项.

把 Riemann 曲率张量的指标降下来，并利用 Christoffel 符号的定义，可以得到 RλμνκR_{\lambda\mu\nu\kappa} 的一些性质，

• 首先是两组指标对称：Rλμνκ=RνκλμR_{\lambda\mu\nu\kappa} = R_{\nu\kappa\lambda\mu}
• 然后前后每对指标反对称：Rλμνκ=−Rλμκν=−Rμλνκ=RμλκνR_{\lambda\mu\nu\kappa}=-R_{\lambda\mu\kappa\nu}=-R_{\mu\lambda\nu\kappa}=R_{\mu\lambda\kappa\nu}
• 旋转对称：Rλμνκ+Rλνκμ+Rλκμν=0R_{\lambda\mu\nu\kappa}+R_{\lambda\nu\kappa\mu}+R_{\lambda\kappa\mu\nu}=0

根据这几个条件可以看看它有几个自由度，根据第二条就知道是一个反对称矩阵，第一条又限制为一个 6×66\times6 方阵，剩下 2121 个自由度；第三个条件给出全反对称张量的一个关系：

ελμνκRλμνκ=0\varepsilon^{\lambda\mu\nu\kappa}R_{\lambda\mu\nu\kappa} = 0

其中全反对称张量 ε\varepsilon 定义为顺序指标为 11、逆序指标为 −1-1、重复指标为 00.

在 local inertial (局域惯性系) 里，我们求导数，

Tμ;ν;λ−Tμ;λ;ν=Γννρ,λTρ−Γρλρ,νTρ=(Γμνρ,λ−Γμλρ,ν)Tρ\begin{aligned} T^\mu{}_{;\nu;\lambda} - T^\mu{}_{;\lambda;\nu} &= \Gamma^\nu{}_{\nu\rho,\lambda}T^\rho-\Gamma^\rho{}_{\lambda\rho,\nu}T^\rho\\\\ &= (\Gamma^\mu{}_{\nu\rho,\lambda}-\Gamma^\mu{}_{\lambda\rho,\nu})T^\rho \end{aligned}

这是局域惯性系，在别的参考系中只要用 Riemann 张量乘上去即可.

但是场方程中并不直接用 Riemann 张量，因为阶数不对，我们构造 Ricci 张量和曲率标量：

Rμν=gλνRλμνκ,R=gμκRμκR_{\mu\nu} = g^{\lambda\nu}R_{\lambda\mu\nu\kappa},\quad R = g^{\mu\kappa}R_{\mu\kappa}

其中 Ricci 张量有 1010 个自由度，是一个对称张量；RR 仅有一个自由度.

Bianchi Identity：

Rλμνκ;η+Rλμην;κ+Rλμκη;ν=0R_{\lambda\mu\nu\kappa;\eta}+R_{\lambda\mu\eta\nu;\kappa} + R_{\lambda\mu\kappa\eta;\nu} = 0

两边对 λ,ν\lambda,\nu 收缩，也就是乘上 gλνg^{\lambda\nu}，得到

Rμκ;η−Rμη;κ+Rνμκη;ν=0R_{\mu\kappa;\eta} - R_{\mu\eta;\kappa} + R^\nu{}_{\mu\kappa\eta;\nu} = 0

再缩并 gμκg^{\mu\kappa}，得到

R;η−Rκη;κ−Rνη;ν=0⟹12R;η−Rνη;ν=0R_{;\eta} - R^\kappa{}_{\eta;\kappa}-R^\nu{}_{\eta;\nu} = 0\Longrightarrow \frac{1}{2}R_{;\eta} - R^\nu{}_{\eta;\nu} = 0

为了 combine 成一项，在第一项上面做一个 δνη\delta^\nu{}_\eta，得到最终我们需要的工具

(12Rδνη−Rνη);ν=0\left(\frac{1}{2}R\delta^\nu{}_\eta-R^\nu{}_\eta\right)_{;\nu} = 0

因为一阶近似下，g00=−(1+2ϕ)g_{00}=-(1+2\phi)，我们要做到 ∇2g00=−8πGT00\nabla^2g_{00} = -8\pi GT_{00}，于是左边的量需要是一个二阶张量，之前我们说了 gμνg_{\mu\nu} 二阶导数能够构造的张量只有 Riemann 张量，Riemann 张量给出的二阶张量也只有 RμνR_{\mu\nu} 和 RgμνRg_{\mu\nu} 两种，考虑 LHS 是这俩的组合，为

LHS=Gμν=C1Rμν+C2gμνR\text{LHS} = G_{\mu\nu} = C_1R_{\mu\nu} + C_2g_{\mu\nu}R

另外还有一个条件，因为能动张量流守恒，所以 Gμν;μ=0G^\mu{}_{\nu;\mu}=0，这恰好对应上了我们前面获得的公式，

Gμν=C1(Rμν−12gμνR)=−8πGTμνG_{\mu\nu} = C_1\left(R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R \right) = -8\pi GT_{\mu\nu}

最后还差一个系数 8πG8\pi G，这一点可以在弱场下近似得到，依然是去 local inertial，

Rλμνκ=12[∂2gλν∂xμ∂xκ−∂2gλκ∂xμ∂xν−∂2gμν∂xλ∂xκ+∂2gμκ∂xλ∂xν]R_{\lambda\mu\nu\kappa} = \frac{1}{2}\left[\frac{\partial^2g_{\lambda\nu}}{\partial x^\mu\partial x^\kappa}-\frac{\partial^2g_{\lambda\kappa}}{\partial x^\mu\partial x^\nu} - \frac{\partial^2g_{\mu\nu}}{\partial x^\lambda\partial x^\kappa}+\frac{\partial^2g_{\mu\kappa}}{\partial x^\lambda\partial x^\nu} \right]

然后缩并两次，过程略，得到 G00=2C1∇2g00G_{00} = 2C_1\nabla^2g_{00}，至此得到 C1=1C_1=1，我们获得了 Einstein 方程：

/Theorem/ (Einstein 场方程)

EinsteinEquation\mathscr{Einstein}\quad\mathscr{Equation} :

Rμν−12gμνR=−8πGTμνR_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = -8\pi GT_{\mu\nu}

另一个形式是 (很多时候我们知道物质分布，来求度规) 首先两边 trace 一次，得到

R−2R=−8πGTR -2R = -8\pi GT

代入回去得到

Rμν=−8πG(Tμν−12gμνT)R_{\mu\nu} = -8\pi G\left(T_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T\right)

解 Einstien 场方程

我们知道它是非线性的 —— 正因如此它非常难解，也因此有人以这个方程的求解为生 (Yau？)，而不会有人以求解 Maxwell 方程为生.

直接来看似乎有 10 个独立方程，但是因为流守恒，实际上只有 6 个. 而且这些条件还不足以求解出度规本身，因为和 Maxwell 方程一样，还需要一些 gauge condition. 这里我们用所谓的 harmonic coordinate condition，要求

Γλ≡gμνΓλμν=0\Gamma^\lambda \equiv g^{\mu\nu}\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu} = 0

下一步需要求解 Einstein 方程的初值问题，先来研究它的每个分量方程是否 dynamical，也就是找方程中有没有 gμνg_{\mu\nu} 关于时间的二阶导数，是动力学还是运动学的. count 下面的等式中的时间导数：

∂Gμ0∂t=−∂Gμi∂xi−ΓμνλGλν−ΓννλGμλ=0\frac{\partial G^{\mu0}}{\partial t} =-\frac{\partial G^{\mu i}}{\partial x^i} - \Gamma^{\mu}{}_{\nu\lambda}G^{\lambda\nu} - \Gamma^\nu{}_{\nu\lambda} G^{\mu\lambda} = 0

这里没有提供真正的动力学内容，仅提供运动学约束.