四维力和四维速度有关系：

Fμ=ddτ(m0Uμ)F_\mu = \frac{\text{d}}{\text{d}\tau}(m_0U_\mu)

这里 τ\tau 是固有时间. 三维形式是，

γF⃗=ddτ(γm0v⃗),γP=ddτ(γm0c2)\gamma\vec{F} = \frac{\text{d}}{\text{d}\tau}(\gamma m_0\vec{v}),\quad \gamma P = \frac{\text{d}}{\text{d}\tau}(\gamma m_0c^2)

从这里可以看出，无法通过动力学的方式使得某个有质量物体达到光速. 同时观察后面一个式子，我们应该可以把 γm0c2\gamma m_0c^2 这样一个量称为「能量」，物体的总能量正是

E=γm0c2=mc2E=\gamma m_0c^2 =mc^2

物体的动能是其总能量减去静能量，为 K=(γ−1)m0c2K=(\gamma-1)m_0c^2；在低速近似下，动能表达式回归到 Newton 力学的表达式，也就是 K≈12m0v2K\approx\displaystyle{\frac{1}{2}m_0v^2}. 但是 m0c2m_0c^2 这一部分能量的含义是什么？

如果我们能够在实验上看到质量变化导致的能量释放，那么我们才能说这一部分静能具有物理含义，否则只是一个叠加常数罢了.

质点的四维动量及其守恒：

pμ=(p⃗,iEc)p_\mu = \left(\vec{p},\frac{\text{i}E}{c}\right)

四维动量的模方是一个四维标量，也就是有守恒：

p2−E2c2=const.=−m02c4⟹E2=p2c2+m02c4p^2-\frac{E^2}{c^2} = \text{const.} = -m_0^2c^4\Longrightarrow E^2 = p^2c^2+m_0^2c^4

(可以换到粒子的静止系中来导出后面的关系.)

对于二体衰变问题 A→B+CA\to B+C，可以完全定解：

mAc2=mB2c4+pB2c2+mC2c4+pC2c20=pB+pC\begin{aligned} m_Ac^2 &= \sqrt{m_B^2c^4+p_B^2c^2}+\sqrt{m_C^2c^4+p_C^2c^2}\\\\ 0&= p_B+p_C \end{aligned}

上述表达式是在 AA 静止系中讨论的. 只要是没有自旋的标量粒子 AA，静止系中末态的动量分布是均匀的.

Compton 散射：γ+e→γ+e\gamma+e\to \gamma+e.

能动量守恒写为

mec2+pγc=me2c4+pe′2c2+pγ′c,p⃗γ=p⃗e′+p⃗γ′m_ec^2+p_\gamma c = \sqrt{m_e^2c^4+p_e'^2c^2}+p_\gamma'c,\quad \vec{p}_\gamma = \vec{p}_e'+\vec{p}_\gamma'

其中后面一个矢量式的分量方程为

pγ=pγ′cos⁡θ+pe′cos⁡ϕ,pγ′sin⁡θ=pe′sin⁡ϕp_\gamma = p_\gamma'\cos\theta+p_e'\cos\phi,\quad p_\gamma'\sin\theta=p_e'\sin\phi

实际上的未知量有 θ,ϕ,pγ′\theta,\phi,p_\gamma' 和 pe′p_e' 4 个，没办法解出来，但是实验上可以测量 θ\theta 角，所以这里把 θ\theta 视为已知量，解得：

pγ′pγ=11+Eγm0c2(1−cos⁡θ)\frac{p_\gamma'}{p_\gamma} = \frac{1}{\displaystyle{1+\frac{E_\gamma}{m_0c^2}(1-\cos\theta)}}

这个量可以通过测量入射和出射光子的波长可以得到.

• 8390e-feat(note): add note于 2025/12/16