上节课我们推导了 Hawking temperature，TH=18πGM\displaystyle{T_H=\frac{1}{8\pi GM}}；还有 BH 熵 SBH=A/4S_{BH}=A/4. 下一步我们要搞清楚这两个量的解释.

黑洞有一个视界，但是外面的观测者能够看到黑洞内部的熵，这是因为量子场是无视视界的，在任何一个点都可以被定义. 这个量子场会随着时间演化，因此其 Lagrangian 中一定有这些 terms：

L=L(ϕ˙(x,t),ϕ(x,t),∇ϕ(x,t))\mathcal{L} = \mathcal{L}(\dot\phi(x,t),\phi(x,t),\nabla\phi(x,t))

最后的空间导数是因为类时和类空在视界上发生变化，有时间导数就一定有空间导数.

Lagrangian 中的空间导数应该表现为 [∇ϕ(x,t)]2[\nabla\phi(x,t)]^2 的形式 (因为是标量)，也就是

(∂xϕ)2=lim⁡Δx→0[ϕ(x+Δx)−ϕ(x)Δx]2∼ϕ(x+Δx)ϕ(x)(\partial_x\phi)^2=\lim_{\Delta x\to0}\left[\frac{\phi(x+\Delta x)-\phi(x)}{\Delta x}\right]^2\sim\phi(x+\Delta x)\phi(x)

有交叉项 —— 也就是说任意两个点之间就存在量子的关联. 但是外面还是看不到里面，所以就只能预测内部的体系具有所有的可能状态，这种信息的不对称产生了熵.

具体来说，在黑洞视界附近建立一个坐标系，我们称为 Rindler space. 平常的 Schwarzschild 度规是

ds2=−(1−2GMr)dt2+(1−2GMr)−1dr2+r2dΩ2\mathrm{d}s^2 = -\left(1-\frac{2GM}{r}\right)\mathrm{d}t^2+\left(1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1}\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\Omega^2

Rindler space 是考虑算出距离视界 r=2GMr=2GM 的距离作为新的坐标，

ρ=∫2GMrgrr(r′)dr′=r(r−2GM)+2GMsinh⁡−1r2GM−1\rho=\int_{2GM}^r\sqrt{g_{rr}(r')}\mathrm{d}r' = \sqrt{r(r-2GM)}+2GM\sinh^{-1}\sqrt{\frac{r}{2GM}-1}

在视界边上，有 ρ≈22GM(r−2GM)\rho\approx2\sqrt{2GM(r-2GM)}. 用这个量重写视界附近的度规，

ds2=−ρ2(dt4GM)2+dρ2+(2GM)2dΩ2\mathrm{d}s^2 =-\rho^2\left(\frac{\mathrm{d}t}{4GM}\right)^2+\mathrm{d}\rho^2+(2GM)^2\mathrm{d}\Omega^2

定义下述参变量

x=2GMθcos⁡ϕ,y=2GMθsin⁡ϕ,ω=t4GMx=2GM\theta\cos\phi,\quad y=2GM\theta\sin\phi,\quad \omega = \frac{t}{4GM}

度规进一步写为

ds2=−ρ2dω2+dρ2+dx2+dy2\mathrm{d}s^2 = -\rho^2\mathrm{d}\omega^2+\mathrm{d}\rho^2+\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2

从解释的角度，ω\omega 实际上是无穷远观察者所测量的时间，而 ρ\rho 是距离. 这个度规已经很接近 Minkowski 时空的形式，但是前两项本质上还是和平直时空不同. 因此我们需要再做一个变换，

T=ρsinh⁡ω,Z=ρcosh⁡ωT = \rho\sinh\omega,\quad Z = \rho\cosh\omega

度规变为 ds2=−dT2+dZ2+dx2+dy2\mathrm{d}s^2 = -\mathrm{d}T^2+\mathrm{d}Z^2+\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2. 如果有一个观测者以 TT 作为自己的固有时，那么它可以看到整个 Schwarzschild 时空. 但是和之前以 ω\omega 作为固有时的观测者相比，后者只能看到视界外的时空，因此后面这个变换相当于拓宽了观测者的视野.

之前说过，一个自由下落的无穷小观测者，应该在进入黑洞过程中看不到任何奇异的现象；这样的观测者看到的真空才是真的真空. 结合上面的推导，我们可以说这个观测者应该就是用 T,ZT,Z 定义的坐标，也就是以 TT 作为固有时的观测者.

先不说关联，说一个相近的概念「涨落」. 对于一个量子态 ∣φ⟩|\varphi\rangle，在算符 O^\hat{O} 上的涨落应该这样计算：

⟨φ∣O^2∣φ⟩=⟨φ∣O^∣φ⟩2\langle\varphi|\hat{O}^2|\varphi\rangle = \langle\varphi|\hat{O}|\varphi\rangle^2

更进一步还可以写 ⟨φ∣O^1O^∣2φ⟩=⟨φ∣O^1∣φ⟩⟨φ∣O^2∣φ⟩\langle\varphi|\hat{O}_1\hat{O}|_2\varphi\rangle = \langle\varphi|\hat{O}_1|\varphi\rangle\langle\varphi|\hat{O}_2|\varphi\rangle. 现在说要计算一个真空在量子场 ϕ(t,x⃗),ϕ(t,y⃗)\phi(t,\vec{x}),\phi(t,\vec{y}) 的关联，就是算 ∣0⟩|0\rangle 态在它们联合下的涨落，

⟨0∣ϕ(t,x⃗)ϕ(t,y⃗)∣0⟩=⟨0∣ϕ(t,x⃗)∣0⟩⟨0∣ϕ(t,y⃗)∣0⟩\langle0|\phi(t,\vec{x})\phi(t,\vec{y})|0\rangle = \langle0|\phi(t,\vec{x})|0\rangle\langle0|\phi(t,\vec{y})|0\rangle

且量子场写成

ϕ(t,x⃗)=∫d3k(2π)3/2(2ωk)1/2(ake−iωt+ik⃗⋅x⃗+ak†eiωt−ik⃗⋅x⃗)\phi(t,\vec{x}) = \int\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^{3/2}(2\omega_k)^{1/2}}\left(a_ke^{-\mathrm{i}\omega t+\mathrm{i}\vec{k}\cdot\vec{x}}+a_k^\dagger e^{\mathrm{i}\omega t-\mathrm{i}\vec{k}\cdot\vec{x}}\right)

直接代入，不为零的情况仅有 ϕ(t,x⃗)\phi(t,\vec{x}) 和 ϕ(t,y⃗)\phi(t,\vec{y}) 分别取 a^\hat{a} 和 a^†\hat{a}^\dagger. 因此关联 ⟨0∣ϕ(t,x⃗)ϕ(t,y⃗)∣0⟩\langle0|\phi(t,\vec{x})\phi(t,\vec{y})|0\rangle 为

=∫d3k(2π)3/2(2ωk)1/2∫d3k′(2π)3/2(2ωk′)1/2e−iωt+ik⃗⋅x⃗eiωt−ik⃗′⋅y⃗δ3(k⃗−k⃗′)=∫d3k(2π)3k2+m2eik∣x⃗−y⃗∣cos⁡θ=∫−∞∞kdk(−i)8π2k2+m2eik∣x⃗−y⃗∣\begin{aligned} &= \int\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^{3/2}(2\omega_k)^{1/2}}\int\frac{\mathrm{d}^3k'}{(2\pi)^{3/2}(2\omega_{k'})^{1/2}} e^{-\mathrm{i}\omega t+\mathrm{i}\vec{k}\cdot\vec{x}}e^{\mathrm{i}\omega t-\mathrm{i}\vec{k}'\cdot\vec{y}}\delta^3(\vec{k}-\vec{k}')\\\\ &= \int\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^{3}\sqrt{k^2+m^2}} e^{\mathrm{i}k|\vec{x}-\vec{y}|\cos\theta}\\\\ &= \int_{-\infty}^\infty\frac{k\mathrm{d}k(-\mathrm{i})}{8\pi^2\sqrt{k^2+m^2}}e^{\mathrm{i}k|\vec{x}-\vec{y}|} \end{aligned}

最后这个积分利用了一下被积函数是偶函数的性质. 用复变函数积分，其极点在 ±im\pm\mathrm{i}m 处，实轴上没有极点. 积分曲线是从 ∞\infty 沿实轴到 −∞-\infty，然后在上半平面绕大圆弧，但是绕开 +im+\mathrm{i}m 点. 得到

=∫m∞dρ4π2rρe−ρr(ρ2−m2)1/2→r=∣x⃗−y⃗∣14π2r2(mr)Bessel K(1,mr)∼mre−mr=\int_m^\infty\frac{\mathrm{d}\rho}{4\pi^2r}\frac{\rho e^{-\rho r}}{(\rho^2-m^2)^{1/2}}\xrightarrow{r=|\vec{x}-\vec{y}|}\frac{1}{4\pi^2r^2}(mr)\text{Bessel K}(1,mr)\sim\frac{m}{r}e^{-mr}

(修正 Bessel 函数). 另外，Lagrangian 表示为 L=12ϕ˙2−12(∇ϕ)2−12m2ϕ2\mathcal{L}=\displaystyle{\frac{1}{2}\dot\phi^2-\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2}.

接下来说这个关联和熵的关系. 首先我们知道，用密度矩阵来描述纯态和混态，密度矩阵定义为 ρ^=∣ψ⟩⟨ψ∣\hat\rho=|\psi\rangle\langle\psi|，比较 trivial 的特性是，对于一个纯态，⟨ψ∣ψ⟩=1\langle\psi|\psi\rangle=1，因此这时候

Tr(ρ^)=1,Tr(ρ^2)=1\mathrm{Tr}(\hat\rho)=1,\quad \mathrm{Tr}(\hat\rho^2)=1

以纯态

∣φ⟩=12∣↑⟩+12∣↓⟩|\varphi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|\uparrow\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|\downarrow\rangle

为例来验证密度矩阵的这一性质，

∣φ⟩⟨φ∣=(12∣↑⟩+12∣↓⟩)(12⟨↑∣+12⟨↓∣)=12∣↑⟩⟨↑∣+12∣↓⟩⟨↑∣+12∣↑⟩⟨↓∣+12∣↓⟩⟨↓∣\begin{aligned} |\varphi\rangle\langle\varphi| &= \left(\frac{1}{\sqrt{2}}|\uparrow\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|\downarrow\rangle\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\langle\uparrow|+\frac{1}{\sqrt{2}}\langle\downarrow|\right)\\\\ &= \frac{1}{2}|\uparrow\rangle\langle\uparrow|+\frac{1}{2}|\downarrow\rangle\langle\uparrow|+\frac{1}{2}|\uparrow\rangle\langle\downarrow|+\frac{1}{2}|\downarrow\rangle\langle\downarrow| \end{aligned}

也就是说，

ρφ=(1/21/21/21/2)⟹Tr(ρφ)=1,Tr(ρφ2)=1\rho_\varphi = \begin{pmatrix} 1/2&1/2\\1/2&1/2 \end{pmatrix}\Longrightarrow\mathrm{Tr}(\rho_\varphi) = 1,\quad \mathrm{Tr}(\rho_\varphi^2)=1

什么是混态？看下面这种密度矩阵：

ρ2=12∣↑⟩⟨↑∣+12∣↓⟩⟨↓∣\rho_2 = \frac{1}{2}|\uparrow\rangle\langle\uparrow|+\frac{1}{2}|\downarrow\rangle\langle\downarrow|

它的 trace 是 11，但是其平方的 trace 是 1/21/2.

我们要研究的问题变成了，用 TT 作为固有时的观测者看到的纯态，为什么在用 tt (或者 ω\omega) 作为固有时的观测者眼中看到的是一个混态？

不考虑研究的是基本粒子的情况，仅仅思考一个双自旋叠加 (↑+↑)(\uparrow+\uparrow). 我们都知道 2×2=1+32\times2=1+3，这里的 11 是单态 ∣↑↓⟩−∣↓↑⟩2\displaystyle{\frac{|\uparrow\downarrow\rangle-|\downarrow\uparrow\rangle}{\sqrt{2}}}，33 是三重态

∣↑↑⟩,∣↓↓⟩,∣↑↓⟩+∣↓↑⟩2|\uparrow\uparrow\rangle,\quad |\downarrow\downarrow\rangle,\quad \frac{|\uparrow\downarrow\rangle+|\downarrow\uparrow\rangle}{\sqrt{2}}

前两个三重态的密度矩阵仍然是纯态，但是第三个为

ρ=(000001/21/2001/21/200000)\rho = \begin{pmatrix} 0&0&0&0\\ 0&1/2&1/2&0\\ 0&1/2&1/2&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}

这个态是混态的原因是，自旋之间产生了关联. 作为验证，可以计算 ⟨s1s2⟩=⟨s1⟩⟨s2⟩\langle s_1s_2\rangle=\langle s_1\rangle\langle s_2\rangle，发现为 −1/2≠0-1/2\neq0.

上面仍然是一个简单的例子. 回到黑洞的话题，考虑一个热分布的密度矩阵. 回想上面我们做了什么：首先知道了态具体是什么，再算出密度矩阵. 在黑洞这里我们不能简单地用 ∣0⟩|0\rangle，因为现在什么都不知道所以没法积分. 所以考虑找一个和时空相关联的「基态」，而计算基态的方法就是 路径积分.

鉴于大家都没学过路径积分，现在我们作为前置准备，讲解一下路径积分的相关知识. 对于一个时间演化，

i∂∂tψ(t)=Hψ(t)\mathrm{i}\frac{\partial}{\partial t}\psi(t) = H\psi(t)

可以写成 ψ(t)=e−iHtψ(0)\psi(t)=e^{-\mathrm{i}Ht}\psi(0). 这说起来很简单，但是我们并不知道该怎么算. 现在的问题就是，从 qaq_a 态 (t=0t=0) 演化到 qbq_b 态 (t=Tt=T) 是怎么实现的，也就是考虑

U(qa,qb;T)=⟨qb∣e−iHT∣qa⟩U(q_a,q_b;T) = \langle q_b|e^{-\mathrm{i}HT}|q_a\rangle

Feynman 说，把时间切割成很小的块，我们可以实现这个计算，也就是

e−iHT=e−iHεe−iHε⋯e−iHεe^{-\mathrm{i}HT} = e^{-\mathrm{i}H\varepsilon}e^{-\mathrm{i}H\varepsilon}\cdots e^{-\mathrm{i}H\varepsilon}

认为 kk 是切的第 kk 份，对于每一个自由度 ii 都插入一个

1=(∏i∫dqki)∣qki⟩⟨qki∣1 = \left(\prod_i\int\mathrm{d}q_k^i\right)|q_k^i\rangle\langle q_k^i|

实际上就是要计算每一份小的单元

⟨qk+1∣e−iHε∣qk⟩≈⟨qk+1∣(1−iεH)∣qk⟩\langle q_{k+1}|e^{-\mathrm{i}H\varepsilon}|q_k\rangle\approx\langle q_{k+1}|(1-\mathrm{i}\varepsilon H)|q_k\rangle

这个地方我们已经把 ii 给省略掉了，因为每个自由度都是一样的. 现在碰到的问题是，H=H(p,q)H=H(p,q)，我们没有办法做 pp 的计算. 因此考虑

⟨qk+1∣f(q)∣qk⟩=f(qk)δ(qk−qk+1)=f(qk+qk+12)∫dpk2πeipk(qk−qk+1)\langle q_{k+1}|f(q)|q_k\rangle = f(q_k)\delta(q_k-q_{k+1}) = f\left(\frac{q_k+q_{k+1}}{2}\right)\int\frac{\mathrm{d}p_k}{2\pi}e^{\mathrm{i}p_k(q_k-q_{k+1})}

最后一个等号这里，因为 qk=qk+1q_k=q_{k+1} (δ\delta function 的要求)，所以写得对称了一点；同时利用 δ\delta 的 Fourier 表示把 pkp_k 给引进来. 所以

⟨qk+1∣f(q)∣qk⟩=∫dpk2πf(pk)eipk(qk−qk+1)\langle q_{k+1}|f(q)|q_k\rangle = \int\frac{\mathrm{d}p_k}{2\pi}f(p_k) e^{\mathrm{i}p_k(q_k-q_{k+1})}

把 f(q)f(q) 代换成 H(p,q)H(p,q)，有

⟨qk+1∣H(p,q)∣qk⟩=∫dpk2π⋅H(pk,qk+qk+12)eipk(qk−qk+1)\langle q_{k+1}|H(p,q)|q_k\rangle = \int\frac{\mathrm{d}p_k}{2\pi}\cdot H\left(p_k,\frac{q_k+q_{k+1}}{2}\right)e^{\mathrm{i}p_k(q_k-q_{k+1})}

甚至不用做上面 e−iεH≈1−iεHe^{-\mathrm{i}\varepsilon H}\approx 1-\mathrm{i}\varepsilon H 的近似了，可以直接在指数上计算，

⟨qk+1∣e−iεH∣qk⟩=∫dpk2π⋅exp⁡[−iεH(pk,qk+qk+12)+ipk(qk−qk+1)]\langle q_{k+1}|e^{-\mathrm{i}\varepsilon H}|q_k\rangle = \int\frac{\mathrm{d}p_k}{2\pi}\cdot\exp\left[-\mathrm{i}\varepsilon H\left(p_k,\frac{q_k+q_{k+1}}{2}\right)+\mathrm{i}p_k(q_k-q_{k+1})\right]

演化 (也就是路径积分) 表示为

U(q0=qa,qN=qb;T)=(∏b∫dqk∫dpk2π)exp⁡[i∑kεpkqk−qk+1ε−εH(pk,qk+qk+12)]=∫dq(t)dp(t)⋅exp⁡[i∫0Tdt[p(t)q˙(t)−H(p(t),q(t))]]\begin{aligned} &U(q_0=q_a,q_N=q_b;T) \\\\ &= \left(\prod_b\int\mathrm{d}q_k\int\frac{\mathrm{d}p_k}{2\pi}\right)\exp\left[\mathrm{i}\sum_k\varepsilon p_k\frac{q_k-q_{k+1}}{\varepsilon} - \varepsilon H\left(p_k,\frac{q_k+q_{k+1}}{2}\right)\right]\\\\ &= \int \mathrm{d}q(t)\mathrm{d}p(t)\cdot\exp\left[\mathrm{i}\int_0^T\mathrm{d}t\left[p(t)\dot q(t)-H(p(t),q(t))\right]\right] \end{aligned}

这是 Langrangian 形式的路径积分.

更加细节地，

U(qa,qb;T)=1C(ε)∏k∫dqkC(k)⋅exp⁡[i∑k(ε⋅m2ε2(qk+1−qk)2−εV(qk+qk+12))]=∫Dq⋅exp⁡{i∫dt[m2q˙2(t)−V(q(t))]}\begin{aligned} &U(q_a,q_b;T) \\\\ &= \frac{1}{C(\varepsilon)}\prod_k\int\frac{\mathrm{d}q_k}{C(k)}\cdot\exp\left[\mathrm{i}\sum_k\left(\varepsilon\cdot\frac{m}{2\varepsilon^2}(q_{k+1}-q_k)^2-\varepsilon V\left(\frac{q_k+q_{k+1}}{2}\right)\right)\right]\\\\ &= \int\mathrm{D}q\cdot\exp\left\{\mathrm{i}\int\mathrm{d}t\left[\frac{m}{2}\dot{q}^2(t)-V(q(t))\right]\right\} \end{aligned}

其中指数上的那个东西正是作用量 S(t)S(t)，是我们更常见到的 Langrangian 形式的路径积分.

但是原则上，路径积分包含了所有可能的能量本征态，所以并不能直接得到基态波函数. 但是基态的特点就是能量最低，因此如果我们把时间变成虚的，那么无穷长时间的演化之后，最后留下来的就只有基态 (e−EnTe^{-E_nT}). 所以下节课我们讲通过虚时间路径积分得到基态波函数.