分析上图开关闭合后U_out随时间的变化，步骤如下：

电容：I=CdUdtI=C\frac{{\rm d}U}{{\rm d}t}
电感：U=LdIdtU=L\frac{{\rm d}I}{{\rm d}t}

列电路的电压关系

Uout+UL=UVCCU_{out}+U_L=U_{VCC}

带入电感公式，得

Uout+LdIdt=UVCCU_{out}+L\frac{{\rm d}I}{{\rm d}t}=U_{VCC}

带入电容公式，得

Uout+LCd2Uoutdt2=UVCCU_{out}+LC\frac{{\rm d}^2 U_{out}}{{\rm d}t^2}=U_{VCC}

这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程，解为齐次通解+非齐次特解，懒得写具体解法了，就是代公式。

齐次通解为

u′(t)=C1cos⁡tLC+C2sin⁡tLCu^{'}(t)=C_1\cos{\frac{t}{\sqrt{LC}}}+C_2\sin{\frac{t}{\sqrt{LC}}}

特解是一个常数。把Uout=C0U_{out}=C_0带入原方程，解得C0=UVCCC_0=U_{VCC}。

此时解为

u(t)=C1cos⁡tLC+C2sin⁡tLC+UVCCu(t)=C_1\cos{\frac{t}{\sqrt{LC}}}+C_2\sin{\frac{t}{\sqrt{LC}}}+U_{VCC}

找初始条件。注意到t=0t=0时，Uout=0U_{out}=0，I=0I=0，结合电容公式，dUoutdt=0\frac{{\rm d}U_{out}}{{\rm d}t}=0，解得C1=−UVCCC_1=-U_{VCC}，C2=0C_2=0，所以

Uout=−UVCCcos⁡tLC+UVCCU_{out}=-U_{VCC}\cos{\frac{t}{\sqrt{LC}}}+U_{VCC}

令L=1H，C=1F，仿真一下

结果正确。

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附一个表，输入LC参数自动计算频率。

L(H)	C(F)	ω(rad/s)	T(s)	f(Hz)
1	1	1	6.28	0.16

Q.E.D.