洛谷 \(P1889\) 士兵站队

问题简述

这道题我们可以换另一种思路去看待它，就容易理解了：

在一个平面上，把 \(n\) 个点排列在一条与 \(x\) 轴平行的直线的整点上，且相邻两点的距离为 \(1\) 。

求一种排列方案，使得这\(n\) 个点到目标位置的 曼哈顿距离和最小。

解法综述

由于是求曼哈顿距离，所以可以将 \(x\) ,\(y\) 分开考虑。

首先，要找到最优的一列（使移动步数最少的一列），其实就是要找一条平行于\(x\)轴的直线，设此直线为\(y=k\)，那么，每个点到这条线距离为\(|y_i-k|\)，不难发现，当\(k\)是所有点纵坐标的中位数时，距离之和最小。

找到了这条直线之后，又该把每个点移到哪个位置才能使结果最优呢？

可以设最左边的点（第一个点）移动后的位置为\(b\),因为所有点必须排在一条线段上，那么第二个点的移动后的位置即为\(b+1\)，第三个移动后的位置为\(b+2\)......以此类推，第\(n\)个点移动后的位置为\(b+n-1\)。

那么横向移动的步数之和为\(|x_0-b|+|x_1-b-1|+|x_2-b-2|+......+|x_{n-1}-b-n+1|\)，所以，要使步数之和最小，只需要 再找一次中位数 即可。

\(Code\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 10010;
int x[N], y[N];

int n, res;
int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> x[i] >> y[i];

    sort(y, y + n);
    sort(x, x + n);

    for (int i = 0; i < n; i++) res += abs(y[i] - y[n / 2]); // 对与x轴的一条平等线的最短距离和

    for (int i = 0; i < n; i++) x[i] -= i;

    sort(x, x + n);
    for (int i = 0; i < n; i++) res += abs(x[i] - x[n / 2]);

    // 输出
    cout << res << endl;
    return 0;
}