洛谷 \(P1862\) 输油管道问题

如果只有一口井，那么显然是越近越好。如果有两口井，那么显然是有以下三种情况：

• 两口井都在主管道北边，那么这个时候的两个连接管道的长度和肯定大于两口井的\(Y\)坐标之差。

• 两口井都在主管道南边，和情况1是一样的

• 两口井，一个在主管道南边，一个在主管道北边，那么两个连接管道的长度和就等于两口井的\(Y\)坐标之差。

显然情况三是所要的最短管道的设计情况。就是当主管道在两口井之间的任意位置时，连接管道长度之和都等于两口井的\(Y\)坐标之差，是最短的长度。

那么将这个结论推广，当有\(n\)口井的时候，

• \(n\)是偶数 只要这\(n\)口井分布在主管道的两边，一边\(n/2\)个，那么就是距离之和最小的。

• \(n\)是奇数，只要将这\(n\)个井中，\(Y\)坐标最中间的（也就是\(Y\)是中值的那个）井不算，其余的偶数个井分布在主管道的两侧，这个时候移动主管道，那么这\(n\)个连接管道长度之和就决定于那个没有算的井了，因为其余的井的距离之和是固定了的，这个时候只要主管道最接近那个点就好了。

也就是说，输油管道的位置就是最中间的那口井（或中间的区间）。我的方法是将各口井的\(y\)坐标排序（\(x\)坐标不用管），再取 \(n\) \(div\) \(2\)+\(1\) 的位置，即最中间的位置。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 10005;
/*
文件名：petroleum
题目：洛谷 P1862 输油管道问题
题目网址：https://www.luogu.com.cn/problem/P1862

输入：
5
1 2
2 2
1 3
3 -2
3 3
输出：
6
*/

int n, a[N]; // a[0..n-1]。第i口油井的纵坐标在a[i]

int main() {
    // 输入数据
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i] >> a[i]; // 横坐标说没有用的，可以直接抛弃掉

    // 排序
    sort(a, a + n);

    // 两端对称取长短。中位数原理。
    int sum = 0;
    for (int i = 0, j = n - 1; i <= j; i++, j--) sum += a[j] - a[i];

    cout << sum << endl;
    return 0;
}