相关名词

1. （最大）边独立集：任意两边互不相邻的边子集；
2. （最小）边覆盖集：使该图上每一顶点都与此子集中的至少一条边关联的边子集；
3. （最大）点独立集：任两顶点互不相邻的点子集；
4. （最小）点覆盖集：使该图的每一条边都与此子集中的至少一顶点关联的点子集。

二分图的一些定理/公式

在二分图G(V,E)G(V,E)中： 
1. |最大边独立集|=|最小点覆盖集||最大边独立集|=|最小点覆盖集|（König定理）; 
2. |最大点独立集|=|最小边覆盖集||最大点独立集|=|最小边覆盖集|; 
3. |最大点独立集|=|V|−|最大匹配||最大点独立集|=|V|−|最大匹配|; 
4. |最大边独立集|+|最大点独立集|=|最小点覆盖集|+|最小边覆盖集|=|V||最大边独立集|+|最大点独立集|=|最小点覆盖集|+|最小边覆盖集|=|V|;

最大匹配即最大边独立集。

证明

• |最大边独立集|=|最小点覆盖集||最大边独立集|=|最小点覆盖集|（König定理）; 
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• |最大点独立集|=|V|−|最大匹配||最大点独立集|=|V|−|最大匹配| 
  假设最大独立集为UU，最大匹配为MM，最大匹配中所有顶点集合为EMEM。

  • 先证明|U|≤|V|−|M||U|≤|V|−|M|： 
    MM中任意一条边的两个端点是连接的，所有对于MM中的边必有一个端点不在UU中，所以|M|≤|V|−|U||M|≤|V|−|U|。

  • 再证明|U|≥|V|−|M||U|≥|V|−|M|： 
    首先我们知道一定有|U|≥|V|−|EM||U|≥|V|−|EM|，即将最大匹配的点删除之后，剩下的点一定都不相连。 接下来我们考虑能否将MM集合中的一个端点放入UU中： 
    假设(x,y)∈M(x,y)∈M且∃(a,x),(b,y)∃(a,x),(b,y)，其中a,b∈Ua,b∈U中，则(a,b)∉E(a,b)∉E，有一新增广路a→x→y→ba→x→y→b，因此有一个更大的匹配，矛盾。 
    故有a,ba,b两点中至多只有11个点属于UU，则我们总是可以选取x,yx,y中一个点放入集合UU。 
    所以|U|≥|V|−|EM|+|M|=|V|−|M||U|≥|V|−|EM|+|M|=|V|−|M|。

• |最大点独立集|=|最小边覆盖集||最大点独立集|=|最小边覆盖集| 
  由上面的证明可知，最大匹配中每条边的两个端点有且仅有一个属于最大点独立集。 
  所以容易构造出一种满足的边覆盖集，即选择最大匹配中的所有边，然后剩下的顶点各选一条边。 
  又显然最大点独立集中没有相邻的点，所以不存在更小的边覆盖集。