前情概要

在知乎上看到如下问题的解答过程，甚为喜欢，顿感知乎大神云集，能从中学习到好多东西。就大神提供的解题思路方法对开拓数学思维非常有帮助，故几乎整理了绝大多数如下，重复思路略过，大学数学中的几个方法略过。

同时，还想借助整个整理过程来验证能不能全部依托 AI 来完成 。同时在编辑格式的过程中，为便于各位理解，对相关步骤做了适当的拓展。 问题原解答出处

【典型案例】【问题来自知乎问答】已知 \(x^2\) \(+\) \(y^2\) \(-\) \(xy\) \(=3\)，如何求 \(x\) \(+\) \(y\) 的最小值和最大值？

最终结论：\(x+y\) 的最大值为 \(2\sqrt{3}\)，最小值为 \(-2\sqrt{3}\)，即取值范围为 \(x+y \in [-2\sqrt{3},2\sqrt{3}]\) .

引申：同时由我们研究过的线性表示，可以将以下的好多种解法思路，拓展到求解 \(ax+by\)(\(a\in R\)、\(b\in R\)) 的取值范围 .

鉴于篇幅太长，分上下两篇编辑，具体链接见页面最后。

具体流程

首先，咨询豆包，对这个问题归类为：二元二次条件下的线性式最值问题，还可以叫做椭圆约束下的线性最值问题 .

其次，将网址喂给豆包，让豆包爬取这个网页中的所有解法，并修改显示方法；最终的结果似乎不大满足要求，要不就是我还没有调教好豆包。以下是整理编辑的爬取内容。

解法展示

解法❶：【艾劳曼斯同学提供思路，换元系列解法-解法1】三角换元法，这个解法思路常规、步骤易懂，适配高考、期中期末等应试场景，但是换元思路在高中阶段非常少见。

配方，将原等式整理为 \((x-y)^2+xy=3\) [1]

三角换元：令\(x-y=\sqrt{3}\cos\theta\)，\(xy=3\sin^2\theta\)，

推导\((x+y)^2\)：利用完全平方公式展开，

\((x+y)^2=(x-y)^2+4xy\)，代入换元式得：

\((x+y)^2=3\cos^2\theta+12\sin^2\theta=3+9\sin^2\theta\)

确定取值范围：由\(\sin^2\theta\in[0,1]\)，可得 \(3+9\sin^2\theta\leq12\)，即 \((x+y)^2\leq12\)

开方得到，\(-2\sqrt{3}\leq x+y \leq2\sqrt{3}\)，

因此 \(x+y\) 的最大值为\(2\sqrt{3}\)，最小值为\(-2\sqrt{3}\)。

解法❷：【艾劳曼斯同学提供思路，换元系列解法-解法2】标准三角换元法，高中基础解法[考试必拿分]，这类解法思路常规、步骤易懂，适配高考、期中期末等应试场景，无超纲知识点，干净利落，但是配方的过程比较复杂。

核心思路：将约束式配方为椭圆标准型，利用三角恒等式换元，转化为三角函数值域问题。

对约束式配方：\(\left(x-\cfrac{y}{2}\right)^2\)\(+\)\(\left(\cfrac{\sqrt{3}}{2}y\right)^2\)\(=\)\(3\) [2]

三角换元：令 \(x-\cfrac{y}{2}=\sqrt{3}\cos\theta\)，\(\cfrac{\sqrt{3}}{2}y=\sqrt{3}\sin\theta\)；

解出 \(x=\sqrt{3}\cos\theta+\sin\theta\)，\(y=2\sin\theta\)；

合并 \(x+y=3\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta=2\sqrt{3}\sin(\theta+\varphi)\)（辅助角公式）；

由正弦函数值域 \([-1,1]\)，得 \(x+y \in [-2\sqrt{3},2\sqrt{3}]\)。

解法❸：【艾劳曼斯同学提供思路，换元系列解法-解法3】线性换元法[整体消元]，高中技巧解法 [知友原创·秒杀速解]，适配小题秒杀、快速验算，思路巧妙，考场节省时间。

设 \(x=a+b\)，\(y=a-b\) [对称换元，消去交叉项，网上有人也称这个换元法为和差换元法]；

代入约束式化简：\(a^2+3b^2=3\)；由 \(a^2=3-3b^2 \leq 3\)，得 \(a \in [-\sqrt{3},\sqrt{3}]\)；

由于 \(x+y=2a\)，故 \(x+y \in [-2\sqrt{3},2\sqrt{3}]\)。

点评：这个解法的好处是，通过对 \(x\)、\(y\) 的线性变换，代回原式后发现 \(ab\) 项被消去了，可以简化原等式 .

解法❹：【艾劳曼斯同学提供思路，知乎大佬予一人最擅长使用判别式法】判别式法 [万能通法]，高中基础解法[考试必拿分]，这类解法思路常规、步骤易懂，适配高考、期中期末等应试场景，无超纲知识点。

核心思路：设 \(t=x+y\)，将 \(y=t-x\) 代入约束条件，转化为一元二次方程，利用方程有实根则判别式非负求解。

设 \(t=x+y\)，则 \(y=t-x\)；代入约束式：\(x^2+(t-x)^2 - x(t-x)=3\)；

展开整理：\(3x^2 - 3tx + t^2 - 3=0\)；方程有实数解，故判别式 \(\Delta \geq 0\)；

计算判别式：\(\Delta=(-3t)^2 - 4 \times 3 \times (t^2-3)=-3t^2+36 \geq 0\)；

化简得 \(t^2 \leq 12\)，即 \(-2\sqrt{3} \leq t \leq 2\sqrt{3}\)，

也即 \(x+y \in [-2\sqrt{3},2\sqrt{3}]\) .

解法❺：【艾劳曼斯同学提供思路，不等式系列解法-解法1】基本不等式法，高中基础解法（考试必拿分），这类解法思路常规、步骤易懂，适配高考、期中期末等应试场景，无超纲知识点。

核心思路：对 \(x+y\) 平方，结合约束条件消元，再利用均值不等式放缩求解。

平方展开：\((x+y)^2 = x^2+y^2+2xy\)；由约束式得 \(x^2+y^2=3+xy\)，

代入得：\((x+y)^2=3+3xy\)；利用均值不等式 \(xy \leq \left(\cfrac{x+y}{2} \right)^2\) 放缩；

代入得：\((x+y)^2 \leq 3 + 3 \times \cfrac{(x+y)^2}{4}\)；

移项化简：\(\cfrac{(x+y)^2}{4} \leq 3\)，即 \((x+y)^2 \leq 12\)，

开方得\(-2\sqrt{3}\leq x+y \leq2\sqrt{3}\)，

因此 \(x+y\) 的最大值为\(2\sqrt{3}\)，最小值为\(-2\sqrt{3}\)。

解法❻：【艾劳曼斯同学提供思路，不等式系列解法-解法2】配方后使用基本不等式法，高中基础解法（考试必拿分），这类解法思路常规、步骤易懂，适配高考、期中期末等应试场景，无超纲知识点。细看解法基本同于解法五。

\(x^2+y^2-xy=3\)，配方得到，\((x+y)^2-3xy=3\)，

即 \((x+y)^2-3=3xy\) ，又 \(3\) \(\cdot\) \(xy\) \(\leq\) \(3\times\left(\cfrac{x+y}{2}\right)^2\)，即 \((x+y)^2-3\leq 3\times\left(\cfrac{x+y}{2}\right)^2\)，

整理为 \((x+y)^2 \leq 12\)，开方得\(-2\sqrt{3}\leq x+y \leq2\sqrt{3}\)，

因此 \(x+y\) 的最大值为\(2\sqrt{3}\)，最小值为\(-2\sqrt{3}\)。

解法❼：【艾劳曼斯同学提供思路，不等式系列解法-解法3】配方后使用柯西不等式法，有超纲知识点。

柯西不等式：\((ac+bd)^2\)\(\leq\)\((a^2+b^2)(c^2+d^2)\)

对约束式配方：\(\left(x-\cfrac{y}{2}\right)^2\)\(+\)\(\left(\cfrac{\sqrt{3}}{2}y\right)^2\)\(=\)\(3\)；

\(12=3\times4\)

\(=\left[(x-\cfrac{y}{2})^2+(\cfrac{\sqrt{3}}{2}y)^2\right]\cdot\left[1^2+(\sqrt{3})^2\right]\)

\(\geq\left[(x-\cfrac{y}{2})\times1+\cfrac{\sqrt{3}}{2}y\times\sqrt{3}\right]^2=(x+y)^2\)

整理为 \((x+y)^2 \leq 12\)，开方得\(-2\sqrt{3}\leq x+y \leq2\sqrt{3}\)，

因此 \(x+y\) 的最大值为\(2\sqrt{3}\)，最小值为\(-2\sqrt{3}\)。

解法❽：【爬取知乎的问题网页时豆包给出的解法，对照后发现没有人用这种解法】地位等价法，高中技巧解法，适配小题秒杀、快速验算，思路巧妙，考场节省时间。

核心思路：约束式为轮换对称式，\(x\) 与 \(y\) 互换后式子不变，二者地位完全对等，最值必在 \(x=y\) 处取得。虽然一时半会对其原因没有彻底想明白，但感觉对我整理的轮换对称式有帮助 。后来针对这个解法原理，单独成篇。如感兴趣，请参阅 地位等价法求取值范围 .

解析：先判断对称性：\(x^2+y^2-xy=3\) 互换 \(x、y\) 无变化，故 \(x\)、\(y\) 的地位等价；

令 \(x=y\)，代入约束式：\(x^2+x^2-x^2=3\)，得到 \(x^2=3\) ，即 \(x=y=\pm\sqrt{3}\)；

当 \(x=y=\sqrt{3}\)时，代入计算最大值 \(x+y=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}\)，

当 \(x=y=-\sqrt{3}\)时，代入计算最小值 \(x+y=-\sqrt{3}-\sqrt{3}=-2\sqrt{3}\)。

解法❾：【艾劳曼斯同学提供思路】解方程 + 柯西不等式：

把原等式变为关于\(y\) 的一元二次方程：\(y^2 - xy + x^2 - 3 = 0\)，

解方程得：\(y=\cfrac{x\pm\sqrt{12-3x^2}}{2}\)，两边同时加 \(x\) ，

所以 \(x+y=\cfrac{3x\pm\sqrt{12-3x^2}}{2}\)，

利用柯西不等式，有

\((x+y)^2=\left(\cfrac{3x\pm\sqrt{12-3x^2}}{2}\right)^2\)

\(=\)\(\cfrac{1}{4}(3x\pm\sqrt{12-3x^2})^2\)

\(=\cfrac{1}{4}(\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}x\pm 1\cdot\sqrt{12-3x^2})^2\)

\(\leq\cfrac{1}{4}\left[(\sqrt{3}x)^2+(\sqrt{12-3x^2})^2\right]\left[1^2+(\sqrt{3})^2\right]=12\)

所以 \(x+y\in[-2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}]\)

解法❿：【艾劳曼斯同学提供思路】导数法，

由上我们知道：\(x+y\)\(=\)\(\cfrac{3x\pm\sqrt{12-3x^2}}{2}\)，

令 \(f(x)\)\(=\)\(\cfrac{3x\pm\sqrt{12-3x^2}}{2}\)，

对其求导：\(f'(x) = \cfrac{3\sqrt{12 - 3x^2} \pm 3x}{2\sqrt{12 - 3x^2}}\)，

令 \(f'(x) = 0 \implies \sqrt{12 - 3x^2} = \pm x\)

\(\implies (\sqrt{12 - 3x^2})^2 = x^2 \implies x^2 = 3\)

经过检验知当 \(x = y = \sqrt{3}\) 时，\(x + y\) 有最大值 \(2\sqrt{3}\)；当 \(x = y = -\sqrt{3}\) 时，\(x + y\) 有最小值 \(-2\sqrt{3}\)

求导的方法是笔者熬夜撰稿是突然想到的，也许严谨性有待商榷，但是大概意思就是这样。也许需要讨论 \(x=2\) 或 \(-2\) 的情形(分母不为0)，这一部分留给读者自行完成吧。

解法⓫：【艾劳曼斯同学提供思路】拉格朗日乘数法，高等数学拓展解法，适合大学高数、竞赛场景，逻辑严谨，适用于多元函数条件极值求解。

核心思路：构造拉格朗日函数，利用偏导数为零+KKT最优条件，求解极值点。具体原理请自行百度。不大建议高中学生学习这个高档方法，大学里有的是时间学习。

目标函数：\(f(x,y)=x+y\)；约束条件：\(\varphi(x,y)=x^2+y^2-xy-3=0\)；

构造拉格朗日函数：\(\mathcal{L}(x,y,\lambda)=x+y+\lambda(x^2+y^2-xy-3)\)；

求偏导并令其为0：\(\mathcal{L}_x=1+\lambda(2x-y)=0\)，\(\mathcal{L}_y=1+\lambda(2y-x)=0\)，\(\mathcal{L}_\lambda=x^2+y^2-xy-3=0\)；

联立前两式：\(2x-y=2y-x \implies x=y\)；代入约束式得 \(x=y=\pm\sqrt{3}\)，求得最值同上。

解法⓬：【wen0WJ提供思路，几何解法】这个方法的运算量很小，这种求导的做法没有想到。

方程 \(x^2\)\(+\)\(y^2\)\(-\)\(xy\)\(-\)\(3\)\(=\)\(0\) 的图像为一个倾斜椭圆[3]：

在方程 \(x^2\)\(+\)\(y^2\)\(-\)\(xy\)\(-\)\(3\)\(=\)\(0\) 两端对 \(x\) 求导得：\(2x\)\(+\)\(2yy'\)\(-\)\(y\)\(-\)\(y'x\)\(=\)\(0\) [4]

解出：\(y'\)\(=\)\(\cfrac{y-2x}{2y-x}\) [5] ，并设 \(x+y\)\(=\)\(z\)，也即 \(y\)\(=\)\(-x+z\)，

利用线性规划，使 \(l:y\)\(=\)\(-x+z\) 与椭圆 \(x^2\)\(+\)\(y^2\)\(-\)\(xy\)\(-\)\(3\)\(=\)\(0\) 相切，此时 \(y\) 轴截距 \(z\) 取最大或最小值，

令 \(y'\)\(=\)\(\cfrac{y-2x}{2y-x}\)\(=\)\(-1\)，并联立 \(x^2\)\(+\)\(y^2\)\(-\)\(xy\)\(-\)\(3\)\(=\)\(0\)，

解得切线过 \((\sqrt{3},\sqrt{3})\) 或 \((-\sqrt{3},-\sqrt{3})\)，

切线方程为 \(x+y\)\(=\)\(2\sqrt{3}\) 或 \(x+y\)\(=-2\sqrt{3}\)，

因此 \(x+y\) 的最大值为 \(2\sqrt{3}\) ，最小值为\(-2\sqrt{3}\)。

亲测，这个方法可应对中学阶段大多数形如：已知 \(f(x, y)\)\(=\)\(0\)，求 \(ax\)\(+\)\(by\) 最值的问题

1.在隐式方程 \(f(x, y) = 0\) 两端对 \(x\) 求导，得到 \(y'\)；

2.线性规划，设 \(ax + by = z\)，并令 \(y' = -\frac{a}{b}\)，带回 \(f(x, y) = 0\)，解得切线方程；

3.切线方程中取得 \(z = ax + by\) 的最值；

对于偏难怪的问题，此方法很好用，对于普通问题，如果考场上寻常方法突然卡壳，可以救命。

解法⓭：【知乎踢歪提供思路】均值不等式的灵活应用

由已知 \(\cfrac{x^2+y^2}{2}\)\(\ge\)\(\left(\cfrac{x+y}{2}\right)^2\)\(\ge\)\(xy\)

由题设，\(x^2\) \(+\) \(y^2\) \(-\) \(xy\) \(=3\) 可知，

则 \(3\)\(=\)\(\cfrac{x^2+y^2}{2}\)\(+\)\(\cfrac{x^2+y^2}{2}\)\(-\)\(xy\)\(\ge\)\(\cfrac{x^2+y^2}{2}\)\(\ge\)\(\left(\cfrac{x+y}{2}\right)^2\)

即 \(-2\sqrt{3}\)\(\le\)\(x+y\)\(\le\)\(2\sqrt{3}\)， \(x\)\(=\)\(y\)\(=\)\(\sqrt{3}\) 时取得最大值，\(x\)\(=\)\(y\)\(=\)\(-\sqrt{3}\) 时取得最小值 .

解法⓮：【知乎踢歪提供思路】二次函数求根公式 + 柯西不等式

将原式变换为 \(x^2\)\(-\)\(yx\)\(+\)\(y^2\)\(-\)\(3\)\(=\)\(0\)，求解关于 \(x\) 的一元二次方程，

则 \(x\)\(=\)\(\cfrac{1}{2}\left(y\pm\sqrt{3}\cdot\sqrt{4-y^2}\right)\)，两边同加 \(y\)，

则 \(x+y=\cfrac{1}{2}\left(3y+\sqrt{3}\cdot\sqrt{4-y^2}\right)\) 或 \(x+y=\cfrac{1}{2}\left(3y-\sqrt{3}\cdot\sqrt{4-y^2}\right)\)

由柯西不等式知:

\(\cfrac{1}{2}\left|3y+\sqrt{3}\cdot\sqrt{4-y^2}\right|\)

\(\leq\cfrac{1}{2}\sqrt{\left(3^2+(\sqrt{3})^2\right)\left(y^2+(\sqrt{4-y^2})^2\right)}\)

\(=\cfrac{1}{2}\sqrt{\left(3^2+3\right)\left(y^2+4-y^2\right)}=2\sqrt{3}\)

不难得知，当 \(y=\sqrt{3}\) 时，\(\cfrac{1}{2}\left(3y+\sqrt{3}\cdot\sqrt{4-y^2}\right)\) 取得最大值 \(2\sqrt{3}\)，此时 \(x=\sqrt{3}\)

同理，当 \(y=-\sqrt{3}\) 时，\(\cfrac{1}{2}\left(3y-\sqrt{3}\cdot\sqrt{4-y^2}\right)\) 取得最小值 \(-2\sqrt{3}\)，此时\(x=-\sqrt{3}\)

故: \(x+y\) 的最大值 \(2\sqrt{3}\)，最小值 \(-2\sqrt{3}\) .

解法⓯：【知乎踢歪提供思路】整体构造换元法 + 椭圆模型，这个解法包含了斜椭圆变形为标准椭圆的方法。

令: \(x+y=m①\)，\(x-y=n②\)，由于: \((x+y)^2\)\(=\)\(x^2+y^2+2xy\)，\((x-y)^2\)\(=\)\(x^2+y^2-2xy\)

故:\(x^2+y^2\)\(=\)\(\cfrac{1}{2}\left(m^2+n^2\right)\)，\(xy\)\(=\)\(\cfrac{1}{4}\left(m^2-n^2\right)\)

故原等式可化作: \(\cfrac{m^2}{12}\)\(+\)\(\cfrac{n^2}{4}\)\(=\)\(1\)，

显然为椭圆， 所以有 \(-2\sqrt{3}\)\(\le\)\(m\)\(=x+y\)\(\le\)\(2\sqrt{3}\)

\(m\) 取到最值时， \(n\) 等于 \(0\) ， 联立①、②两方程可解 \(x\)、\(y\) 的具体取值。

相关链接

篇幅太长，故分割为两篇，如有兴趣，请参阅 二元二次条件下的线性式最值问题的20+种解法(下) .

1. 这个配方的方向，还是比照着 \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\) 来的，同时感觉换元的做法很大胆，思维很开阔。 ↩︎

2. 这个配方的方向，也还是比照着 \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\)，同时还有要消去 \(xy\)，把它涵盖在平方项下面。 ↩︎

3. 二元二次方程的一般形式为\(Ax^2\) \(+\) \(Bxy\) \(+\) \(Cy^2\) \(+\) \(Dx\) \(+\) \(Ey\) \(+\) \(F\) \(=\) \(0\)，其图形类型由\(\Delta\) \(=\) \(B^2-4AC\)判断，本题中\(A=1\)、\(B=-1\)、\(C=1\)，则\(\Delta\)\(=\)\((-1)^2-4\times1\times1\)\(=\)\(-3\)\(<\)\(0\)，且\(A\)\(\neq\)\(C\)，因此该方程表示以原点为中心的倾斜椭圆（无对称轴与坐标轴重合）。 ↩︎

4. 此处用到了复合函数求导公式，其中 \((x^2)'=2x\)，由于 \(y\) 本身是 \(x\) 的函数，故 \((y^2)'=(2y)\cdot y'\)，\((xy)'\)\(=\)\(x'\)\(\cdot\)\(y\)\(+\)\(x\)\(\cdot\)\(y'\)\(=\)\(y\)\(+\)\(xy'\)，整理即为题中的结果。 ↩︎

5. \(y'\) 刻画的是 \(y\) 对 \(x\) 的导函数，从形上解释就是，曲线上的任意一点的切线斜率的函数，注意，此时这个不是常量，而是变量。故下一步才定义，让其等于\(-1\)，这样就和表达式 \(x+y\) 有了关联。令 \(x+y=z\)，则 \(y=-x+z\) 的斜率就是 \(-1\) . ↩︎