前情概要

以前碰到的换元问题，似乎与整体换元的关联比较弱，在今年的陕西学业水平合格性考试中碰到的题目，提醒我们对整体换元的这种换元策略还需要给以足够的重视。

典例剖析

【2026陕西省学业水平合格性考试第19题改编】已知函数 \(f(x)\)\(=\)\(\log_2\)\((x^2-3x+2)\)，函数 \(g(x)\) \(=\) \(4^x\) \(+4^{-x}\) \(-m\cdot\)\((2^x\)\(+\)\(2^{-x})\)\(-4\)，

(1). 求函数 \(f(x)\) 的定义域；

解：函数 \(f(x)\)\(=\)\(\log_2\)\((x^2-3x+2)\) 为对数型复合函数，

要求真数为正，令 \(x^2-3x+2>0\)，解得 \(x<1\) 或 \(x>2\)，

即定义域为 \((-\infty,1)\cup(2,+\infty)\) .

(2). 判断函数 \(f(x)\) 的单调性； 阅读更多

解：函数 \(f(x)\)\(=\)\(\log_2\)\((x^2-3x+2)\) 为对数型复合函数，外函数为对数函数，底数为 \(2\)，故外函数是单调递增的，

内函数 \(y\)\(=\)\(x^2\)\(-3x\)\(+2\) 为二次函数，由于 \(y=x^2-3x+2=(x-\cfrac{3}{2})^2-\cfrac{1}{4}\)，

对称轴为 \(x=\dfrac{3}{2}\)，故内函数在定义域 \((-\infty,1)\) 上单调递减，在定义域 \((2,+\infty)\) 上单调递增，

故经复合后，函数 \(f(x)\) 在 \((-\infty,1)\) 上单调递减，在 \((2,+\infty)\) 上单调递增，

(3). 若存在 \(x_1\)\(\in\)\([0,1]\)，对任意的 \(x_2\)\(\in\)\([0,1]\) 都满足 \(f(x_1)\)\(\leqslant\)\(g(x_2)\)，求 \(m\) 的取值范围。 更多例题赏析

分析：本题的这一问是价值比较高的题目，对这类题目的分析，我们往往是花开两朵，先表一支。比如，先按下 \(f(x)\) 不管，题目要求对任意的 \(x_2\)\(\in\)\([0,1]\) 都满足 \(f(x_1)\) \(\leqslant\)\(g(x_2)\)，则我们需要求当 \(x\in[0,1]\) 上时的 \(g(x)_{\min}\)，为便于好表述，令 \(g(x)_{\min}=n\)，则问题转化为存在 \(x\)\(\in\)\([0,1]\)，满足 \(f(x)\) \(\leqslant\)\(n\)，这样我们就需要求当 \(x\in[0,1]\) 上时的 \(f(x)_{\max}\)，到此，思路框架基本有了，接下来我们填充其中的内容就可以了。

解：由原题可知，存在 \(x_1\)\(\in\)\([0,1]\)，对任意的 \(x_2\)\(\in\)\([0,1]\) 都满足 \(f(x_1)\) \(\leqslant\) \(g(x_2)\)，

则我们需要求 \(x_1\)\(\in\)\([0,1]\) 时的 \(f(x_1)_{\max}\)，和 \(x_2\)\(\in\)\([0,1]\) 时的 \(g(x_2)_{\min}\)，

由第二问可知，函数 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上单调递减，故 \(f(x)_{\max}=f(0)=1\)，

即问题转化为对任意的 \(x\in[0,1]\)，\(g(x)\geqslant 1\)恒成立， 即需要求 \(x\in[0,1]\) 上时的 \(g(x)_{\min}\)，

为此，我们采用整体换元的方法来转化这个函数。令 \(2^x\)\(+2^{-x}\)\(=t\)\((t=2^x+2^{-x}\geq 2\sqrt{2^x\cdot2^{-x}}=2)\)，则 \(4^x\)\(+4^{-x}\)\(=\)\((2^x+2^{-x})^2\)\(-2\)\(=t^2\)\(-2\)，则 \(g(x)\)\(=\)\(l(t)\)\(=t^2\)\(-2-mt\)\(-4\)\(=t^2\)\(-mt\)\(-6\)，即求函数 \(l(t)=t^2-mt-6\) \((t\geq 2)\) 的最小值 \(l(t)_{\min}\) .

接下来的思路一，采用分离参数法 ，简单快捷，由于要求对任意的 \(x\in[0,1]\)，\(g(x)\geqslant 1\)恒成立，

即 \(t^2-mt-6\geq 1\)恒成立，故移项变形为，\(mt\leq t^2-5\) 恒成立，对 \(t\in [2,\cfrac{5}{2}]\) 恒成立，

也即 \(m\leq t-\cfrac{5}{t}\) 对 \(t\in [2,\cfrac{5}{2}]\) 恒成立，

又由于 \(p(t)=t-\cfrac{5}{t}\) 在 \([2,\cfrac{5}{2}]\) 上单调递增，故 \(p(t)_{\min}=p(2)=-\cfrac{1}{2}\)，

故 \(m\leq -\cfrac{1}{2}\) ，即 \(m\) 的取值范围是 \((-\infty,-\cfrac{1}{2}]\) .

对于思路二，需要分类讨论，很麻烦，我们也做一整理，由于 \(t^2-mt-5\geq 0\) 对 \(t\in [2,\cfrac{5}{2}]\) 恒成立，

我们要求 \(q(t)=t^2-mt-5\) 的最小值 \(q(t)_{\min}\)，需要针对对称轴分类讨论，对称轴 \(t=\cfrac{m}{2}\)，

\(1^{\circ}\) . 当 \(\cfrac{m}{2}\)\(\leq\)\(2\) 时，即 \(m\leq 4\) 时，函数 \(q(t)\) 在区间 \([2,\cfrac{5}{2}]\) 上单调递增，故\(q(t)_{\min}\)\(=\)\(q(2)\)\(=-2m-1\)\(\geq\)\(0\)，即 \(m\)\(\leq\)\(4\) 且 \(m\leq\)\(-\cfrac{1}{2}\)，故 \(m\)\(\leq\)\(-\cfrac{1}{2}\) .

\(2^{\circ}\) . 当 \(\cfrac{m}{2}\)\(\leq\)\(\cfrac{5}{2}\) 时，即 \(m\)\(\geq\)\(5\) 时，函数 \(q(t)\) 在区间 \([2,\cfrac{5}{2}]\) 上单调递减，\(q(t)_{\min}\)\(=\)\(q(\cfrac{5}{2})\)\(=\)\(\cfrac{5}{4}\)\(-\)\(\cfrac{5m}{2}\)\(\geq\)\(0\)，即 \(m\)\(\geq\)\(5\) 且 \(m\)\(\leq\)\(\cfrac{1}{2}\)，故 \(m\)\(\in\)\(\varnothing\) .

\(3^{\circ}\) . 当 \(2\)\(<\)\(\cfrac{m}{2}\)\(<\)\(\cfrac{5}{2}\) 时，即 \(4<\)\(m\)\(<5\) 时，函数 \(q(t)\) 在区间 \([2,\cfrac{m}{2}]\) 上单调递减，在区间 \([\cfrac{m}{2},\cfrac{5}{2}]\) 上单调递增，则 \(q(t)_{\min}\)\(=\)\(q(\cfrac{m}{2})\)\(=\)\(-\cfrac{m^2}{4}\)\(-\)\(5\)\(\geq\)\(0\)，即 \(4\)\(<\)\(m\)\(<\)\(5\) 且 \(m^2\)\(<\)\(-20\)，故 \(m\)\(\in\)\(\varnothing\) .

综上所述， \(m\) 的取值范围是 \((-\infty,-\cfrac{1}{2}]\) .

① 我个人认为，此题目比较出彩的地方之一在于，使用了恒成立和能成立的嵌套结构，也就是存在 \(x_1\)\(\in\)\([0,1]\)，对任意的 \(x_2\)\(\in\)\([0,1]\)，使得题目的难度一下子就上去了；

② 出彩的地方之二在于，要求解函数 \(g(x)\) 的最值，必须先采用整体换元将比较复杂的函数，等价转化为二次函数问题；也就是令 \(2^x\)\(+2^{-x}\)\(=t\)，则 \(4^x\)\(+4^{-x}\)\(=\)\((2^x+2^{-x})^2\)\(-2\)\(=t^2\)\(-2\)，且 \(t=2^x+2^{-x}\geq 2\sqrt{2^x\cdot2^{-x}}=2\) 也是难点；

③ 本题目还可以将原来的指数型函数 \(g(x)\)，替换为幂函数型 \(h(x)=x^2+x^{-2}-m(x+\cfrac{1}{x})-4\)；

④ 对于函数 \(y=x\pm\cfrac{1}{x}\)，\(y=e^x\pm e^{-x}\) 等基础函数的图像和性质要非常熟悉，

⑤ 熟悉相关的变形：

由 \(x\pm\cfrac{1}{x}\) \(\Rightarrow\) \(x^2+\cfrac{1}{x^2}=(x+\cfrac{1}{x})^2-2\)； \(x\pm\cfrac{1}{x}\) \(\Rightarrow\) \(x^2+\cfrac{1}{x^2}=(x-\cfrac{1}{x})^2+2\)；

由 \(e^x+e^{-x}\) \(\Rightarrow\) \(e^{2x}+\cfrac{1}{e^{2x}}=(e^x+e^{-x})^2-2\)； \(e^x-e^{-x}\) \(\Rightarrow\) \(e^{2x}+\cfrac{1}{e^{2x}}=(e^x-e^{-x})^2+2\)；