前情概要

本博文承接的上一篇为 二元二次条件下的线性式最值问题的 20 + 种解法(上) .

在知乎上看到如下问题的解答过程，感觉对开拓数学思维非常有帮助，故整理如下。另外，还想验证整个整理过程能不能全部依托 AI 。同时在编辑格式的过程中，为便于各位理解，对相关步骤做了适当的拓展。问题原解答出处

【典型案例】【问题来自知乎问答】已知 \(x^2\) \(+\) \(y^2\) \(-\) \(xy\) \(=3\)，如何求 \(x\) \(+\) \(y\) 的最小值和最大值？

最终结论：\(x+y\) 的最大值为 \(2\sqrt{3}\)，最小值为 \(-2\sqrt{3}\)，即取值范围为 \(x+y \in [-2\sqrt{3},2\sqrt{3}]\) .

引申：同时由我们研究过的线性表示，可以将以下的好多种解法思路，拓展到求解 \(ax+by\)(\(a\in R\)、\(b\in R\)) 的取值范围 .

我们称这类问题为：二元二次条件下的线性式最值问题，或叫做椭圆约束下的线性最值问题 .

解法展示

解法⓰：【知乎踢歪提供思路】极坐标换元 + 三角变换，没想到极坐标方法求解还这样顺畅。

令: \(x\)\(=\)\(\rho\cos\theta\) 、\(y\)\(=\)\(\rho\sin\theta\)，原等式可化作: \(\rho^2\left(1-\cos\theta\sin\theta\right)=3\)

则 \((x+y)^2\)\(=\)\(\rho^2\left(1+2\cos\theta\sin\theta\right)\)

\(=\)\(\cfrac{3\rho^2\left(1+2\cos\theta\sin\theta\right)}{3}\)

\(=\cfrac{3\rho^2\left(1+2\cos\theta\sin\theta\right)}{\rho^2\left(1-\cos\theta\sin\theta\right)}\)

\(=\)\(\cfrac{3(1+2\cos\theta\sin\theta)}{1-\cos\theta\sin\theta}\) \(=\cfrac{6(1+2\cos\theta\sin\theta)}{2-2\cos\theta\sin\theta}\)

\(=6\left(\cfrac{\sin2\theta-2+3}{2-\sin2\theta}\right)\)\(=6\left(\cfrac{3}{2-\sin2\theta}-1\right)\)

\(-1 \le \sin2\theta \le 1\),

故: \((x+y)^2 \le 12\)，则有 \(-2\sqrt{3} \le x+y \le 2\sqrt{3}\)

不难知道， 当 \(x=y\) 时取得最值。

解法⓱：【知乎踢歪提供思路】对称性思考 + 偏移量构造，我们发现，等式中的 \(x\) 与 \(y\) 的值都是对称分布的， 然后有没有一种可能，当两者相等的时候，取得最大值或最小值。这个思路有点意思。

令 \(x\) 与 \(y\) 的平均值为 \(r\)， \(x\)、\(y\) 与平均值的差值为偏移量为 \(c\)，

故: \(x=r+c\)，\(y=r-c\)，\(x+y\)\(=\)\(2r\) ^[1]，

原等式可化为: \((r+c)^2\)\(+\)\((r-c)^2\)\(-\)\((r+c)(r-c)\)\(=\)\(3\)，

即 \(r^2\)\(+\)\(3c^2\)\(=\)\(3\)，即 \(r^2=3-3c^2\leq 3\)，即 \((\cfrac{x+y}{2})^2\leq 3\)，

故: \((x+y)^2 \le 12\)，则有 \(-2\sqrt{3} \le x+y \le 2\sqrt{3}\)

解法⓲：【知乎踢歪提供思路】对称性思考 + 线性规划

详情略。通过对称性思考证明椭圆的两个对称轴， 然后就显而易见了。(图可参考高赞答主)，参见 解法㉑

解法⓳：【知乎热爱数学的小咖提供思路】几何法，原理待课件验证。

感觉这个方法的适用范围太窄了，且仅仅针对 \(x\)、\(y>0\)，不过还是爱了。

由已知条件， \(x^2\) \(+\) \(y^2\) \(-\) \(xy\) \(=3\)，观察其结构特征，将其变形为 \(x^2\)\(+\)\(y^2\)\(-2\)\(\cdot\)\(x\)\(\cdot\)\(y\)\(\cdot\)\(\cos60^{\circ}\)\(=\)\((\sqrt{3})^2\)，

由条件联想到余弦定理，于是构造如上图所示的 \(\triangle ABC\)，其中 \(\angle BAC = 60^\circ\)，\(BC = \sqrt{3}\)，求 \((x+y)_{\max}\)；

延长 \(BA\) 至 \(D\)，使得 \(AD=AC\)，则 \(x+y=BD\)，

\(\angle D = \angle ACD = \cfrac{\angle BAC}{2} = 30^\circ\) (等边对等角)

则 \(D\) 在以 \(BC\) 为弦，\(30^\circ\) 为圆周角的圆弧上运动

当弦 \(BD\) 过圆心时 \(BD\) 取得最大值 \(2r\)(即直径)

由正弦定理得: \(BD=2r=\cfrac{BC}{\sin D}=2\sqrt{3}\)

解法⓴：【知乎白公子提供思路】三角换元法，这个换元法对学生来说太突兀了。

令 \(\begin{cases}x=\sqrt{3}\sin\alpha+\cos\alpha\\y=\sqrt{3}\sin\alpha-\cos\alpha\end{cases}\)，这一换元的依据和思路来源，具体可以参照解法㉔的说明；

因此，\(x+y= 2\sqrt{3}\sin\alpha \in [-2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}]\)

解法㉑：【知乎白公子提供思路】从形的角度入手分析探究

注意到曲线 \(x^2 + y^2 - xy = 3\) 是一个内切于以 \((-2,2)\)、\((-2,-2)\)、\((2,2)\)、\((2,-2)\) 为顶点的正方形的"椭圆"，且所有切点关于直线 \(y = x\) 对称，因此可得其为某椭圆逆时针旋转 \(45^\circ\) 所得。

因而作直线 \(y = x\) 与椭圆交于点 \((\sqrt{3},\sqrt{3})\) 以及 \((-\sqrt{3},-\sqrt{3})\)，该两点为曲线旋转前的左右顶点。由于椭圆在其左右顶点处的切线和 \(x\) 轴夹角为 \(90^\circ\)，因此椭圆逆时针旋转 \(45^\circ\) 后两切线的斜率为 \(-1\)。然而直线 \(x+y=k\)(即 \(y=k-x\) )的斜率也为 \(-1\)，这说明存在 \(k\) 的值使得直线 \(x + y = k\) 是曲线的切线，根据线性规划的原理，切点 \((\sqrt{3}\),\(\sqrt{3})\) 和 \((-\sqrt{3}\),\(-\sqrt{3})\) 就是 \(x\)\(+\)\(y\) 取得最大值和最小值时 \(x\)、\(y\) 对应的值，因此易得 \(x+y\in\left[-2\sqrt{3},2\sqrt{3}\right]\)

解法 ㉒ ：【知乎freeMaths提供思路】尝试用柯西不等式

将原式 \(x^2\) \(+\) \(y^2\) \(-\) \(xy\) \(=3\)两边同乘以 \(4\)，变形为 \(4x^2 - 4xy + 4y^2 = 12\)，

也即 \((4x^2-4xy+y^2)+3y^2=12\)，即 \((2x-y)^2+3y^2=12\)，

应用柯西不等式变形，即

\(12\times4=[(2x-y)^2+(\sqrt{3}y)^2][(\sqrt{1})^2+(\sqrt{3})^2]\)

\(\geq\)\(((2x-y)\cdot1+\sqrt{3}\cdot\sqrt{3y})^2=(2x+2y)^2=4(x+y)^2\)，

即 \((x+y)^2\le 12\)， \(-2\sqrt{3}\le x+y\le 2\sqrt{3}\) .

当且仅当 \(\cfrac{1}{2x-y}=\cfrac{1}{y}\) 即 \(x=y\) 时取得等号。

解法㉓：【知乎姜很犟提供思路】配方法，非常特别的思路

题目已知 \(x^2+y^2-xy=3\)，对此配方得到 ^[2]

所以 \(3(\cfrac{x}{\sqrt{2}}-\cfrac{y}{\sqrt{2}})^2\)\(+\)\((\cfrac{x}{\sqrt{2}}+\cfrac{y}{\sqrt{2}})^2=6\)，

整理得 \((x+y)^2+3(x-y)^2=12\)，

由于 \((x+y)^2\geq 0\)， \((x-y)^2\geq 0\)，故 \(|x+y|\leq \sqrt{12}=2\sqrt{3}\)

所以，\(x+y\) 的最大值是 \(2\sqrt{3}\)，最小值是 \(-2\sqrt{3}\)。

解法㉔：【知乎我执提供思路】待定系数法+三角换元法，三角换元法的本质在于三角函数中有: \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)， 也就是通过构造平方和等于1建立起与三角函数的关系，从而最终利用三角函数的有界性得到最值的范围。

不妨设 \(a(x+y)^2+b(x-y)^2=x^2+y^2-xy\)，可解得: \(a=\cfrac{1}{4}\)， \(b=\cfrac{3}{4}\)，

那么原式即为: \(\cfrac{1}{4}(x+y)^2\) \(+\) \(\cfrac{3}{4}(x-y)^2=3\)，

故将上式变为: \((x+y)^2+3(x-y)^2=12\)，考虑到： \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)，

将上式再次变形为 \((\cfrac{x+y}{\sqrt{12}})^2+(\cfrac{x-y}{2})^2=1\)

则有 \(\sin\theta=\cfrac{x+y}{2\sqrt{3}}\)，\(\cos\theta=\cfrac{1}{2}(x-y)\)

即 \(x+y=2\sqrt{3}\sin\theta\)，\(x-y=2\cos\theta\)，

解关于 \(x\)、\(y\) 的方程得到

则 \(x=\sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta\)，\(y=\sqrt{3}\sin\theta-\cos\theta\)

于是: \(x+y=2\sqrt{3}\sin\theta\)，

由于 \(\theta\) 是任意角， 所以 \(\sin\theta \in [-1,1]\)，进而得到: \(x+y \in [-2\sqrt{3},2\sqrt{3}]\)

评注: 三角换元法主要运用了 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)，所以在处理约束条件为平方项的问题时较为方便，若在约束条件中出现类似 \(xy\) 的项，则可以通过待定系数法构造出符合要求的式子。

解法㉕：【知乎我执提供思路】化为齐次式法 + 常数代换法 + 均值不等式，由于齐次化这种方法的适用题型也只适用于约束条件为齐次式，故对本题而言，需要将所求的 \(x+y\) 转化为 \((x+y)^2\) 从而构造一个齐次式，又由于已知的约束条件值为 \(3\)，故构造分式形式的齐次式，从计算 \(\cfrac{(x+y)^2}{3}\) 开始。

由于 \(\cfrac{(x+y)^2}{3}=\cfrac{(x+y)^2}{x^2+y^2-xy}=\cfrac{x^2+2xy+y^2}{x^2+y^2-xy}\)

上下同时除以 \(xy\) 后可得：\(\cfrac{(x+y)^2}{3}=\cfrac{2+\cfrac{y}{x}+\cfrac{x}{y}}{\cfrac{y}{x}+\cfrac{x}{y}-1}\)

分离常数并应用基本不等式，可知：

\(\cfrac{(x+y)^2}{3}\)\(=\)\(\cfrac{2+\cfrac{y}{x}+\cfrac{x}{y}}{\cfrac{y}{x}+\cfrac{x}{y}-1}\)\(=\)\(\cfrac{\cfrac{y}{x}+\cfrac{x}{y}-1+3}{\cfrac{y}{x}+\cfrac{x}{y}-1}\)\(=\)\(1+\cfrac{3}{\cfrac{y}{x}+\cfrac{x}{y}-1}\)

即有 \(\cfrac{(x+y)^2}{3}=1+\cfrac{3}{\cfrac{y}{x}+\cfrac{x}{y}-1}\leq 1+\cfrac{3}{2-1}=4\)

即：\((x+y)^2\le 12\)，当且仅当 \(x=y\) 时等号成立，

解得：\(x+y\in[-2\sqrt{3},2\sqrt{3}]\)。

点评：本题在运用齐次化时要注意将待求式平方，否则将无法进行齐次化。

解法㉖：【知乎yyhde3301提供思路】化为齐次式法 + 均值不等式，

\(\cfrac{(x+y)^2}{3}=\cfrac{(x+y)^2}{x^2+y^2-xy}=\cfrac{x^2+2xy+y^2}{x^2+y^2-xy}\)

\(=1+\cfrac{3xy}{x^2+y^2-xy}\)

\(\leq 1+\cfrac{3xy}{2xy-xy}=4\)

即 \(-2\sqrt{3}\leq x+y\leq 2\sqrt{3}\)

当且仅当 \(x=y=\pm\sqrt{3}\) 时取等 .

解法㉗：【知乎世间奇人上官正申提供思路】切线法

由于 \(x+y\) 取极值 \(b\) 时，直线 \(x+y=b\) 肯定与椭圆相切，因此将两个方程 \(x^2+y^2-xy=3\) 和 \(x+y=b\) 联立，

消去 \(y\) 可得，\(x^2+(b-x)^2-x(b-x)\)\(=3\)

也即 \(3x^2-3bx+b^2-3=0\)，

因此判别式 \(9b^2\)\(-\)\(12b^2\)\(+\)\(36\)\(\geq\)\(0\)

即 \(-2\sqrt{3}\)\(\leq\)\(b\)\(\leq\)\(2\sqrt{3}\)

则 \(-2\sqrt{3}\)\(\leq\)\(x+y\)\(\leq\)\(2\sqrt{3}\) 。

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1. 此处当然也可以设为 \(x=r-c\)，\(y=r+c\)，则 \(x+y\)\(=\)\(2r\) ↩︎

2. 注：下述的配方很特别，目的是为了配凑两个平方数之和
   配方过程：给原式乘2，得到 \(2x^2+2y^2-2xy=6\)，
   即 \(\cfrac{4x^2}{2}+\cfrac{4x^2}{2}-2xy=6\)，
   也即 \(3(\cfrac{x^2}{2}-xy+\cfrac{y^2}{2})+(\cfrac{x^2}{2}+xy+\cfrac{y^2}{2})=6\)
   则 \(3\left[(\cfrac{x}{\sqrt{2}})^2-2\times\cfrac{x}{\sqrt{2}}\times\cfrac{y}{\sqrt{2}}+(\cfrac{y}{\sqrt{2}})^2\right]+\left[(\cfrac{x}{\sqrt{2}})^2+2\times\cfrac{x}{\sqrt{2}}\times\cfrac{y}{\sqrt{2}}+(\cfrac{y}{\sqrt{2}})^2\right]=6\) ↩︎