前情概要

以前整理总结过换元法，后来感觉比值换元法比较多见，故另起一页，单独整理。一句话总结，使用比值换元法的好处，可以将双变量函数问题转化为单变量函数问题。也有人总结，这个方法对极值点偏移问题特别友好。

比值换元法[比例/齐次式专用]，核心原理：当变量满足比例关系( 如 \(\cfrac{x}{a}=\cfrac{y}{b}=\cfrac{z}{c}=k\) )或齐次式( 分子分母次数相同 )时，设比值为新元，将多元问题转化为一元问题。

适用场景：比例式方程( 如 \(\cfrac{x}{2}=\cfrac{y}{3}=\cfrac{z}{4}\) )；齐次式求值( 如 \(\cfrac{\sin\theta\cos\theta}{\sin^2\theta+\cos^2\theta}\) )；解析几何中斜率相关问题；

典例剖析

已知\(x_1>x_2>0\)，证明\(\ln\cfrac{x_1}{x_2}>2\cfrac{x_1-x_2}{x_1+x_2}\).

解：比值换元法+构造函数法，令\(\cfrac{x_1}{x_2}=t\)，则\(t>1\)；

则有 \(\ln\cfrac{x_1}{x_2}>2\cfrac{x_1-x_2}{x_1+x_2}\) 等价于 \(\ln t>2\cfrac{t-1}{t+1}\)；

然后作差构造函数\(g(t)=lnt-2\cfrac{t-1}{t+1}\)，想办法证明\(g(t)>0\)恒成立即可。

解析：\(g'(t)=\cfrac{1}{t}-2\cfrac{1\cdot(t+1)-(t-1)\cdot 1}{(t+1)^2}=\cfrac{1}{t}-\cfrac{4}{(t+1)^2}=\cfrac{(t-1)^2)}{t(t+1)^2}\ge 0\)

故函数\(g(x)\)在区间\((1，+\infty)\)上单调递增，\(g(x)_{min}\rightarrow g(1)=0\)，故\(g(x)>0\)在区间\((1，+\infty)\)上恒成立，

故原命题得证。

解后反思：若要利用导数工具来证明不等式\(f(x)>g(x)\)，其一般的思路就是作差构造函数\(h(x)=f(x)-g(x)>0\)，然后用导数求函数\(h(x)\)的最小值大于0即可。

【2017 \(\cdot\) 陕西西安质检】已知实数\(x，y\)满足\(x>y>0\)，且\(x+y=\cfrac{1}{2}\) ，则\(\cfrac{2}{x+3y}+\cfrac{1}{x-y}\)的最小值是_________.

法1️⃣：整体换元法，令 \(x+3y=s>0\)，\(x-y=t>0\)，

求解上述以 \(x，y\) 为元的方程组，得到 \(x=\cfrac{s+3t}{4}\)；\(y=\cfrac{s-t}{4}\)；

由\(x+y=\cfrac{1}{2}\)，将上述结果代入得到\(s+t=1\)，

故此时题目转化为"已知 \(s+t=1\) ，\(s，t>0\) ，求 \(\cfrac{2}{s}+\cfrac{1}{t}\) 的最小值”问题。

接下来，利用乘常数除常数的思路就可以求解。

简单提示如下：\(\cfrac{2}{s}+\cfrac{1}{t}=(\cfrac{2}{s}+\cfrac{1}{t})(s+t)=3+\)\(\cfrac{2t}{s}+\cfrac{s}{t}\ge 3+2\sqrt{2}\)

(当且仅当 \(\cfrac{2t}{s}=\cfrac{s}{t}\) 且 \(s+t=1\) 时取到等号)

法2️⃣：比值换元法，令 \(t=\dfrac{x}{y}\) \(\quad (t>1)\)，则 \(x=ty\)。

代入条件 \(x+y=\dfrac12\) ，解得 \(x=\dfrac{t}{2(t+1)}\)，\(y=\dfrac{1}{2(t+1)}\)，

代入目标式，\(\dfrac{2}{x+3y}+\dfrac{1}{x-y}\)\(=\dfrac{4(t+1)}{t+3} + \dfrac{2(t+1)}{t-1}\)\(=\dfrac{6t^2+8t+2}{t^2+2t-3}\) \((t>1)\)，

接下来，可以考虑用两个思路来求解：

思路一：导数法求极值最值，令 \(g(t)=\dfrac{6t^2+8t+2}{t^2+2t-3}\)，\((t>1)\)，

则 \(g'(t)=\cdots=\cfrac{4(t^2-10t-7)}{(t^2+2t-3)^2}\)，令 \(g'(t)=0\)，

求得 \(t=5\pm 4\sqrt{2}\)，由于 \(t>1\)，故保留 \(t=5+4\sqrt{2}\)，

即求得极小值点 \(t=5+4\sqrt{2}\)，代入 \(g(t)\) 得最小值为：\(3+2\sqrt{2}\)，

思路二：看表达式的样子，让我们想到用判别式法，

令 \(k=\dfrac{6t^2+8t+2}{t^2+2t-3}\)，\((t>1)\)，

变形为 \((k-6)t^(2k-8)t-3k-2=0\)，

由判别式法可知 \(\Delta=(2k-8)^2-4(k-6)(-3k-2)\geq0\)，

化简为 \(k^2-6k+1\geq0\)，

解得 \(k\leq 3-2\sqrt{2}\) 或 \(k\geq 3+2\sqrt{2}\) ，

将 \(k=3-2\sqrt{2}\) 代回二次方程，会发现原方程 \(t=0\)，不符合 \(t>1\)，舍去。

故 \(k\geq 3+2\sqrt{2}\) ，即所求的最小值为 \(3+2\sqrt{2}\) .

【豆包提供例题，已人工验证】已知 \(\cfrac{x}{2}=\cfrac{y}{3}=\cfrac{z}{4}\)，求 \(\cfrac{x+y+z}{x-y+z}\) 的值。

解：设 \(\cfrac{x}{2}=\cfrac{y}{3}=\cfrac{z}{4}=k\)，则 \(x=2k\)、\(y=3k\)、\(z=4k\)，

代入得 \(\cfrac{2k+3k+4k}{2k-3k+4k}=\cfrac{9k}{3k}=3\)。

相关引申：比如已知 \(a:b:c\) \(=\) \(2:3:4\)，则可以利用非零比例因子，将三个元依次设为 \(a=2k\)、\(b=3k\)、\(c=4k\)；又或者已知 \(3a\)\(=\)\(4b\)\(=\)\(6c\)，可以先变形为 \(\cfrac{3a}{12}\)\(=\)\(\cfrac{4b}{12}\)\(=\)\(\cfrac{6c}{12}\)，故可以设为 \(a=4k\)、\(b=3k\)、\(c=2k\)；

【待编辑】【问题来自知乎问答】\(x,y>0\)，\(3x+2y=5\)，求 \(\cfrac{2x^2+3y^2}{2xy+y}\) 的最值。

解：比值换元法，令 \(\cfrac{y}{x}=t>0\)，则 \(y=xt\)，代入已知条件，

得到 \(x=\cfrac{5}{3+2t}\)，\(y=\cfrac{5t}{3+2t}\)，到此可以看成参数方程，