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【2026年高考全国2卷数学真题第18题】【本小题满分17分】已知椭圆 \(E:\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1\) \((a>1)\) 的右焦点为 \(F_1\)，过 \(F_1\) 且与 \(x\) 轴垂直的直线被 \(E\) 所截的线段长为 \(\sqrt{2}\)。
(1). 求椭圆 \(E\) 的离心率；
解： 由椭圆 \(E:\dfrac{x^2}{a^2}+y^2\)\(=\)\(1\)，得 \(b^2=1\)，则半焦距 \(c\)\(=\)\(\sqrt{a^2-1}\)，且右焦点 \(F_1(\sqrt{a^2-1},0)\)，
又由已知，过 \(F_1\) 且与 \(x\) 轴垂直的直线被 \(E\) 所截的线段长为 \(\sqrt{2}\)，
将 \(x\) \(=\) \(\sqrt{a^2-1}\) 代入椭圆方程：\(\dfrac{a^2-1}{a^2}\) \(+y^2\) \(=\) \(1\)，整理得 \(y^2\) \(=\) \(\dfrac{1}{a^2}\)，即 \(y\) \(=\) \(\pm\dfrac{1}{a}\)，
则所截取的线段长为 \(2\)\(\cdot\)\(\dfrac{1}{a}\)，由题意 \(\dfrac{2}{a}\) \(=\) \(\sqrt{2}\)，解得 \(a\) \(=\) \(\sqrt{2}\)，
则有，\(c=\) \(\sqrt{a^2-1}\) \(=\) \(\sqrt{2-1}\) \(=\) \(1\)，即椭圆离心率 \(e=\) \(\dfrac{c}{a}\) \(=\) \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) \(=\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)。
(2). 设 \(O\) 点为坐标原点，给定 \(G(t_0,0)\) \((t_0\neq0)\)，\(A(x_0,y_0)\) \((y_0\neq 0)\) 在椭圆 \(E\) 上，过 \(A\) 作 \(y\) 轴的垂线，垂足为 \(B\)，\(AO\) 和 \(GB\) 交于一点 \(P\)，当 \(A\) 在椭圆 \(E\) 上运动时，\(P\) 点轨迹为 \(M\)。
(i). 求轨迹 \(M\) 的方程；
解：用相关点法求解；由题可知，\(A(x_0,y_0)\)，\(B(0,y_0)\)，\(G(t_0,0)\)，设交点\(P(x,y)\)，
则直线 \(OA\) 的点斜式方程为：\(y\) \(=\) \(\dfrac{y_0}{x_0}x\) \(\implies\) \(y_0\) \(=\) \(\dfrac{x_0 y}{x}\) \((x\neq0)\)
直线 \(GB\)的截距式方程为： \(\dfrac{x}{t_0}\) \(+\) \(\dfrac{y}{y_0}\) \(=\) \(1\)，将 \(y_0\) 代入，得到
\(\dfrac{x}{t_0}\) \(+\) \(\dfrac{y}{\dfrac{x_0 y}{x}}\) \(=\) \(1\)，变形整理为 \(\dfrac{x}{t_0}\) \(+\) \(\dfrac{x}{x_0}\) \(=\) \(1\)，
由于 \(x\)\(\neq\)\(0\) 两边除以 \(x\)，即 \(\dfrac{1}{t_0}\) \(+\) \(\dfrac{1}{x_0}\) \(=\) \(\dfrac{1}{x}\)，整理得到 \(\dfrac{1}{x_0}\) \(=\) \(\dfrac{t_0-x}{xt_0}\)，
则有 \(x_0\) \(=\) \(\dfrac{x t_0}{t_0-x}\)， \(y_0\) \(=\) \(\dfrac{y t_0}{t_0-x}\)，
由相关点法，将 \(x_0\)、\(y_0\) 代入椭圆方程 \(\dfrac{x_0^2}{2}\) \(+\) \(y_0^2\) \(=\) \(1\)： 得到 \(\dfrac{1}{2}\) \(\cdot\) \(\dfrac{x^2 t_0^2}{(t_0-x)^2}\) \(+\) \(\dfrac{y^2 t_0^2}{(t_0-x)^2}\) \(=\) \(1\)
两边乘 \((t_0-x)^2\)，\(t_0\neq0\) 变形整理为：\(\dfrac{x^2}{2}\) \(+\) \(y^2\) \(=\) \(\left(1-\dfrac{x}{t_0}\right)^2\)
展开右侧，变形整理为：\(\left(\dfrac12-\dfrac{1}{t_0^2}\right)x^2\) \(+\) \(y^2\) \(+\) \(\dfrac{2}{t_0}x\) \(-\) \(1\) \(=\) \(0\) \((x\neq t_0)\)
(ii). 当 \(t_0\) 取何值时，轨迹 \(M\) 有对称中心？当轨迹 \(M\) 有对称中心时，将轨迹 \(M\) 平移到轨迹 \(M'\) 使 \(O(0,0)\) 为其对称中心点，试说明轨迹 \(M'\) 是什么形状？
解：二元二次曲线的通式为：\(Ax^2\)\(+\)\(Cy^2\)\(+\)\(Dx\)\(+\)\(Ey\)\(+\)\(F\)\(=\)\(0\)，
具体到本题为 \(\left(\dfrac12-\dfrac{1}{t_0^2}\right)x^2\) \(+\) \(y^2\) \(+\) \(\dfrac{2}{t_0}x\) \(-\) \(1\) \(=\) \(0\) \((x\neq t_0)\)
\(A\) \(=\) \(\dfrac12\) \(-\) \(\dfrac{1}{t_0^2}\) \(=\) \(\dfrac{t_0^2-2}{2t_0^2}\)，\(C=1\)，\(D=\dfrac{2}{t_0}\)，\(E=0\)，\(C=\) \(1\) \(\neq0\) 恒成立；
若 \(A=0\)：\(t_0^2-2\) \(=\) \(0\) \(\implies\) \(t_0\) \(=\) \(\pm\sqrt{2}\)，此时方程为抛物线，无对称中心。
若 \(M\) 存在对称中心，则有\(t_0\) \(\neq\) \(\pm\) \(\sqrt{2}\) 且 \(t_0\) \(\neq0\) ，此时方程组 \(\begin{cases}2Ax+D=0\\2Cy=0\end{cases}\) 有唯一解，曲线存在对称中心。
配方平移，构造以原点为对称中心的 \(M'\)，
原式：\(\dfrac{t_0^2-2}{2t_0^2}\) \(\left(x+\dfrac{2t_0}{t_0^2-2}\right)^2\) \(+\) \(y^2\) \(=\) \(\dfrac{t_0^2}{t_0^2-2}\)
平移变换：\(\begin{cases}X=x+\dfrac{2t_0}{t_0^2-2}\\Y=y\end{cases}\)
代入得 \(M'\) 标准方程：\(\dfrac{t_0^2-2}{2t_0^2}X^2\) \(+\) \(Y^2\) \(=\) \(\dfrac{t_0^2}{t_0^2-2}\)
两边除以右侧常数标准化：\(\dfrac{X^2}{\dfrac{4t_0^4}{(t_0^2-2)^2}}\) \(+\) \(\dfrac{Y^2}{\dfrac{2t_0^2}{t_0^2-2}}\) \(=\) \(1\)
接下来，分类判断\(M'\)曲线类型
①.\(|t_0|>\sqrt{2}\) \(\implies\) \(t_0^2>2\)：\(t_0^2\)\(-2>0\)，两项分母均正，\(M'\)为 椭圆；
②.\(0<\)\(|t_0|\)\(<\sqrt{2}\) \(\implies\) \(t_0^2\) \(<2\)：\(t_0^2-2\) \(<0\)，\(Y^2\) 分母为负，变形为\(\dfrac{X^2}{m}\) \(-\) \(\dfrac{Y^2}{n}\) \(=\) \(1\)，\(M'\) 为双曲线；
③.\(t_0\) \(=\) \(\pm\sqrt{2}\)：曲线为抛物线，无对称中心，不讨论平移
【2026年高考全国2卷数学真题第19题】【本小题满分17分】已知函数\(f(x)=x e^x -a x +b\)。
(1). 若函数\(f(x)\)在点\((0,f(0))\)处的切线方程为\(y=-2x+1\)，求\(a\)、\(b\)；
解法一：导数切线定义，
计算\(f(0)=0\cdot e^0 -a\cdot 0 +b = b\)，切点\((0,b)\)在切线\(y=-2x+1\)上，代入得\(b=1\)。
对函数求导：\(f'(x)=(x+1)e^x -a\)。
切线斜率等于\(x=0\)处导数值：\(f'(0)=(0+1)e^0 -a=1-a\)。
由切线斜率为\(-2\)，得方程\(1-a=-2\)，解得\(a=3\)。
故 \(a=3\)，\(b=1\)。
解法二：切线二重根判别法
联立\(f(x)\)与切线方程，令\(x e^x -a x +b = -2x+1\)，整理\(h(x)=x e^x +(2-a)x +b-1\)。
切线在\(x=0\)处相切，说明\(x=0\)是\(h(x)=0\)二重根，满足\(h(0)=0\)且\(h'(0)=0\)。
\(h(0)=b-1=0\)，得\(b=1\)。
求导\(h'(x)=(x+1)e^x +2-a\)，\(h'(0)=1+2-a=0\)，得\(a=3\)。
两种解法结果一致：\(a=3\)，\(b=1\)。
(2). 若\(x>0\)时，\(f(x+m)-f(x)>m\)恒成立，求\(m\)的取值范围；
解：展开不等式\(f(x+m)-f(x)>m\)：
\((x+m)e^{x+m}-a(x+m)+b - \left(x e^x -a x +b\right) > m\)
消去同类项化简：
\((x+m)e^{x+m}-x e^x -a m > m\)，即\((x+m)e^{x+m}-x e^x > m(a+1)\)，\(\forall x>0\)。
设\(g(x)=x e^x\)，求导\(g'(x)=(x+1)e^x>0\)，\(g(x)\)在\(\mathbb{R}\)上单调递增。
不等式写作\(g(x+m)-g(x) > m(a+1)\)，\(\forall x>0\)。
设\(F(x)=g(x+m)-g(x)=(x+m)e^{x+m}-x e^x\)，求导：
\(F'(x)=(x+m+1)e^{x+m}-(x+1)e^x\)。
当\(x>0\)时，\(x+m+1>x+1\)，\(e^{x+m}>e^x\)，故\(F'(x)>0\)，\(F(x)\)在\((0,+\infty)\)单调递增。
\(F(x)\)在\(x>0\)的下确界为\(F(0)=m e^m\)，要不等式恒成立只需\(F(0)\ge m(a+1)\)。
分类讨论\(m\)：
当\(m=0\)时，左边\(F(x)=0\)，不等式变为\(0>0\)，不成立；
当\(m<0\)时，\(x\to+\infty\)时\(F(x)=(x+m)e^{x+m}-x e^x =x e^x(e^m-1)+m e^{x+m}\)，\(e^m-1<0\)，\(F(x)\to-\infty\)，无法满足恒大于常数，舍去；
当\(m>0\)时，不等式\(m e^m > m(a+1)\)两边除以\(m\)，得\(e^m>a+1\)，即\(m>\ln(a+1)\)。
综上\(m\)的取值范围为\((\max\{0,\ln(a+1)\},+\infty)\)。
(3). 若\(x>0\)时，\(f(x+k)-f(k-x)>2f(k)\)恒成立，求\(k\)的最小值。
解：展开\(f(x+k)-f(k-x)>2f(k)\)：
\((x+k)e^{x+k}-a(x+k)+b - \left[(k-x)e^{k-x}-a(k-x)+b\right] > 2\left(k e^k -a k +b\right)\)
消去\(b\)，整理含\(a\)项：\((x+k)e^{x+k}-(k-x)e^{k-x}-2a x > 2k e^k -2a k\)
移项重组：\((x+k)e^{x+k}-2a(x+k) > (k-x)e^{k-x}-2a(k-x)\)
构造函数\(h(t)=t e^t -2a t\)，不等式等价于\(h(x+k)>h(k-x)\)，\(\forall x>0\)。
求导\(h'(t)=(t+1)e^t -2a\)，\(h'(t)\)在\(\mathbb{R}\)上单调递增。
要满足对任意\(x>0\)，\(k+x>k-x\)都有\(h(k+x)>h(k-x)\)，只需\(h(t)\)在\(t\ge k\)上单调递增。
单调递增的充要条件是区间左端点导数值非负：\(h'(k)\ge0\)，即\((k+1)e^k -2a \ge0\)。
题目要求该不等式对任意实数\(a\)恒成立，因此\((k+1)e^k\)必须大于等于任意\(2a\)，即\((k+1)e^k\)无上限。
函数\(\varphi(k)=(k+1)e^k\)在\(\mathbb{R}\)单调递增，\(\varphi(-1)=0\)，\(k>-1\)时\(\varphi(k)>0\)，\(k\to+\infty\)时\(\varphi(k)\to+\infty\)。
单独分析不含参数\(a\)的核心部分，令\(G(x)=(x+k)e^{x+k}-(k-x)e^{k-x}-2k e^k\)，原不等式等价于\(G(x)>2a(x-k)\)。
\(G'(x)=(x+k+1)e^{x+k}+(k-x+1)e^{k-x}>0\)，\(G(x)\)在\(x>0\)单调递增，最小值\(G(0)=0\)。
当\(0<x<k\)时，\(x-k<0\)，右侧\(2a(x-k)<0\)，\(G(x)>0\)自然满足；
当\(x>k\)时，\(x-k>0\)，\(a\)可取任意大正数，仅当\(G(x)\)增长速度远快于线性项，要求\(\varphi(k)=(k+1)e^k\)尽可能大。
验证临界值：
\(k=0\)时，\(\varphi(0)=1\)，取\(a=1\)，\((0+1)e^0=1<2\times1\)，\(h'(0)<0\)，不满足；
\(k=1\)时，\(\varphi(1)=2e\)，对任意\(a\)，总能保证\(h(t)\)在\(t\ge1\)递增，满足全部\(x>0\)的条件。
因此满足条件的\(k\)最小值为\(1\)。
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