AcWing 104. 货仓选址

一、题目描述

1. 问题核心

在一条数轴上有N家商店，各自的坐标为A₁∼Aₙ。需要在数轴上选择一个位置建立货仓，使得货仓到所有商店的距离之和最小，最终输出这个最小距离和。

2. 输入输出格式

• 输入：第一行输入整数N（商店数量），第二行输入N个整数（各商店的坐标）。
• 输出：一个整数，表示货仓到所有商店的最小距离之和。

3. 数据范围与样例

• 数据范围：1≤N≤100000，0≤Aᵢ≤40000。
• 输入样例：

4
6 2 9 1

• 输出样例：12

二、解题思路

1. 核心问题：为什么是中位数？

货仓选址的关键是找到一个位置，使得所有点到该位置的距离之和最小。这一问题的最优解并非平均数，而是中位数，具体推导如下：

假设货仓初始位于最优位置，此时：

• 货仓左侧有a家商店，右侧有n-a家商店。
• 左侧商店到货仓的距离和为p，右侧为q，总距离和p+q为最小值。

当货仓向左移动x个单位时，新的总距离和为：

p - a·x + q + (n-a)·x = p+q + (n-2a)·x

由于初始位置是最优解，移动后的总距离和不能减小，因此(n-2a)·x≥0（x>0）。当a=n/2时，n-2a=0，移动货仓不会改变总距离和，此时位置即为中位数，是最优解。

2. 中位数的取值规则

• 若数组下标从0开始，中位数为排序后数组的a[n/2]。
• 若数组下标从1开始，中位数为排序后数组的a[n/2 + 1]。
• 补充说明：中位数所在的“中间范围”内，任意位置的总距离和均相同，无需严格局限于某个点。

三、代码实现

1. 代码整体框架

解题步骤可简化为：输入数据→排序数组→计算各点到中位数的距离和→输出结果。具体代码如下：

   public static int minDistance(int[] arr, int n){
        Arrays.sort(arr);
        int p = arr[n/2];
        int total =0;
        for (int e:arr){
            total+=Math.abs(e-p);
        }
        return total;
    }

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        int n = Integer.parseInt(br.readLine());
        String[] tokens = br.readLine().split(" ");
        int[] a = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            a[i] = Integer.parseInt(tokens[i]);
        }
        System.out.println(minDistance(a,a.length));
    }

2. 关键代码解释

• sort：对坐标数组排序是获取中位数的前提，排序后数组按从小到大排列，时间复杂度O(nlogn)，适配N=1e5的规模。
• abs(a[i] - a[n / 2])：计算每个坐标与中位数的距离绝对值，累加后得到最小距离和，时间复杂度O(n)。

四、总结

货仓选址问题的核心是利用“中位数最小化距离和”的数学性质，解题流程简洁高效：排序数组后取中位数，再计算各点到中位数的距离和。该解法时间复杂度为O(nlogn)。

车辆移动到连续位置：最小总步数问题详解

在直线坐标上的优化问题中，“车辆移动到连续位置”是经典题型。本文将从题目分析、思路推导到代码实现，完整拆解这类问题的解题逻辑，帮助你掌握核心解法。

一、题目描述

1. 问题核心

给定 N 辆车在无限长直线上的整数坐标（可负，绝对值最大达 2×10⁹），需将所有车移动到 连续的整数位置（形如 x, x+1, x+2, ..., x+N-1）。每次移动一辆车一步（距离为 1），求最少需要的总步数。

2. 关键约束

• 车辆初始位置：整数坐标，可正可负，范围无上限（仅绝对值≤2×10⁹）。
• 目标状态：所有车的位置为连续整数序列，长度为 N。
• 优化目标：总移动步数最小（每步计 1 次）。

二、解题思路

1. 关键观察

最终目标是让车辆分布在长度为 N 的连续整数区间内，核心是找到合适的起始点 x，使所有车移动到目标序列 [x, x+1, ..., x+N-1] 的总步数最小。

2. 数学转化（核心步骤）

• 第一步：对原始车辆位置数组 positions 排序，得到有序数组 a[0], a[1], ..., a[N-1]。
• 第二步：定义目标序列 t[i] = x + i（i 从 0 到 N-1），其中 x 是目标序列的起始点。
• 第三步：总移动步数为各车辆初始位置与目标位置的距离绝对值之和，即：

  总步数 = Σ|a[i] - t[i]| = Σ|a[i] - (x + i)|
  

• 第四步：简化表达式，令 b[i] = a[i] - i，则总步数转化为：

  总步数 = Σ|b[i] - x|
  

• 第五步：根据数学性质，当 x 取 b 数组的 中位数 时，绝对值之和最小，这是该问题的最优解。

3. 解题流程总结

1. 对原始位置数组排序。
2. 计算辅助数组 b[i] = 排序后的位置[i] - i。
3. 找到 b 数组的中位数，作为最优起始点 x。
4. 计算所有 |b[i] - x| 的和，即为最小总步数。

三、代码实现与分析

1. 正确代码（Java 版）

    private static long minMoveSteps(long[] positions) {
        int n = positions.length;
        // 创建 b[i] = positions[i] - i
        long[] b = new long[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            b[i] = positions[i] - i;
        }
        Arrays.sort(b);
        long x = b[n / 2]; // 中位数
        long total = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            total += Math.abs(b[i] - x);
        }
        return total;
    }

2. 代码关键解析

• 排序操作：对原始位置数组排序是后续计算 b 数组的基础，确保辅助数组的规律性，时间复杂度 O(NlogN)。
• 辅助数组 b：通过 positions[i] - i 转化，将“连续位置”的约束转化为“找中位数最小化绝对值和”的经典问题，降低解题难度。
• 中位数取值：b[n/2] 是数组排序后的下中位数，对于奇偶长度的数组均适用，能保证绝对值和最小。
• 总步数计算：通过 Math.abs(positions[i] - (x + i)) 还原每个车辆的实际移动距离，累加得到结果，时间复杂度 O(N)。