复变量

复数有2部分：实部、虚部. 两部分都是常数. 如果实部和（或）虚部是变量，则称其为复变量. 在拉普拉斯变换中，用符号s表示复变量，即

\[s=σ+jω \]

其中，\(σ\)实部，\(ω\)虚部.

复变函数

复变函数G(s)是s的函数，它有实部、虚部：

\[G(s)=G_x+jG_y \]

其中，\(G_x,G_y\)实数. \(G(s)\)幅值\(\sqrt {G_x^2+G_y^2}\)，\(G(s)\)的角度\(θ=arctan(G_y/G_x)\). θ从正实轴开始，沿着逆时针方向计算. \(G(s)\)共轭复数为\(\overline{G}(s)=G_x-jG_y\)

线性控制系统分析中，通常，复变函数G(s)是s的单值函数，即对于给定s值，G(s)唯一确定.

如果某一域内复变函数G(s)及其所有导数均存在，则称该复变函数在该域内是解析的. 解析函数G(s)的导数：

\[\frac{d}{ds}G(s)=\lim_{Δs\to 0}\frac{G(s+Δs)-G(s)}{Δs}=\lim_{Δs\to 0}\frac{ΔG}{Δs} \]

∵\(Δs=Δσ+jΔω\)
∴\(Δs\)可沿无穷多个不同的路径趋近于0

2条特殊路径：\(Δs=Δσ, Δs=jΔω\)

注意：可以证明（这里未证明），当沿着这2条特殊路径，所得导数相等时，对于任何其他路径所得导数也唯一，因此导数是存在的.

对于路径\(Δs=Δσ\)（该路径//实轴），则

\[\frac{d}{ds}G(s)=\lim_{Δσ\to 0}(\frac{G_x}{Δσ}+j\frac{ΔG_y}{Δσ})=\frac{∂G_x}{∂σ}+j\frac{∂G_y}{∂σ} \]

对于路径\(Δs=jΔω\)，则

\[\frac{d}{ds}G(s)=\lim_{jΔω\to 0}(\frac{ΔG_x}{jΔω}+\frac{ΔG_y}{jΔω})=-j\frac{∂G_x}{∂ω}+\frac{∂G_y}{∂ω} \]

如果这2个导数值相等，则

\[\frac{∂G_x}{∂σ}+j\frac{∂G_y}{∂σ}=\frac{∂G_y}{∂ω}-j\frac{∂G_x}{∂ω}\\ \]

或者说，如果满足2个条件：

\[\frac{∂G_x}{∂σ}=\frac{∂G_y}{∂ω},\frac{∂G_y}{∂σ}=-\frac{∂G_x}{∂ω} \]

那么，导数\(dG(s)/ds\)可唯一确定，称\(G(s)\)是可解析的. 这2个条件就是柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件.

举例，函数G(s)：

\[G(s)=\frac{1}{s+1} \]

∴

\[G(σ+jω)=\frac{1}{σ+jω+1}=G_x+jG_y \]

其中，\(G_x=\frac{σ+1}{(σ+1)^2+ω^2},G_y=\frac{-ω}{(σ+1)^2+ω^2}\)

于是，容易知道当\(s=-1(即σ=-1,ω=0)\)不成立时，

\[\begin{aligned} \frac{∂G_x}{∂σ} &= \frac{∂G_y}{∂ω} = \frac{ω^2 - (σ+1)^2}{[(σ+1)^2+ω^2]^2}\\ \frac{∂G_y}{∂σ} &= -\frac{∂G_x}{∂ω} = \frac{2ω(σ+1)}{[(σ+1)^2+ω^2]^2} \end{aligned} \]

也就是说，G(s)满足柯西-黎曼条件，即除\(s=-1\)外，在整个s平面上\(G(s)=1/(s+1)\)都是解析的.

此时，

\[\begin{aligned} \frac{d}{ds}G(s) &= \frac{∂G_x}{∂σ}+j\frac{∂G_y}{∂σ}=\frac{∂G_y}{∂ω}-j\frac{∂G_x}{∂ω}\\ &= -\frac{1}{(σ+jω+1)^2}=-\frac{1}{(s+1)^2} \end{aligned} \]

在s平面上，使函数G(s)解析的点，称为普通点，使G(s)为非解析的点，称为奇点，使G(s)或其导数趋近于无穷大的奇点称为极点，使G(s)=0的奇点称为零点.

如果当\(s\to -p\)时，\(G(s)\to ∞\)，且函数

\[G(s)(s+p)^n, n=1,2,3,... \]

在\(s=-p\)处具有一个有限的非零值，则\(s=-p\)称为n阶极点； 如果\(n=1\)，则该极点称为简单极点；如果\(n=2,3,...\)，则这些极点分别称为二阶极点、三阶极点等.

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换定义：
f(t)=时间t的函数，且当t<0时，f(t)=0；
s=复变量；
\(\mathcal{L}\)=运算符号，放在某个变量之前表示该量用拉普拉斯积分\(\int_{0}^∞e^{-st}dt\)进行变换；
F(s)=f(t)的拉普拉斯变换.
所以，f(t)的拉普拉斯变换：

\[\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)=\int_{0}^∞ e^{-st}dt[f(t)]=\int_{0}^∞ f(t)e^{-st}dt \]

拉普拉斯反变换定义：从F(s)求(t)的反变换过程. 符号\(\mathcal{L}^{-1}\)

\[\mathcal{L}^{-1}=f(t)=\frac{1}{2πj}\int_{c-j∞}^{c+j∞}F(s)e^{st}ds, t>0 \]

其中，收敛横坐标c为实常数，它选择的实部比F(s)所有奇点的实部都大.

∴积分路径//\(jω\)轴，且与\(jω\)轴距离c，这条积分路径位于所有奇点的右面.

计算反演积分很复杂，实际很少使用该方法求f(t). 经常用的是部分分式展开法.

拉普拉斯变换表

下表给出常用函数的拉普拉斯变换对照关系：

1 单位脉冲δ(t) 1 2 单位阶跃1(t) \(\frac{1}{s}\) 3 t \(\frac{1}{s^2}\) 4 \(\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}(n=1,2,3,...)\)\(\frac{1}{s^n}\) 5 \(t^n(n=1,2,3,...)\)\(\frac{n!}{s^{n+1}}\) 6 \(e^{-at}\)\(\frac{1}{s+a}\) 7 \(te^{-at}\)\(\frac{1}{(s+a)^2}\) 8 \(\frac{1}{(n-1)!}t^{n-1}e^{-at}(n=1,2,3,...)\)\(\frac{1}{(s+a)^n}\) 9 \(t^ne^{-at}(n=1,2,3,...)\)\(\frac{n!}{(s+a)^{n+1}}\) 10 \(sin(ωt)\)\(\frac{ω}{s^2+ω^2}\) 11 \(cos(ωt)\)\(\frac{s}{s^2+ω^2}\) 12 \(sinh(ωt)\)\(\frac{ω}{s^2-ω^2}\) 13 \(cosh(ωt)\)\(\frac{s}{s^2-ω^2}\) 14 $\frac{1}{a}(1-e^{-at}) $ \(\frac{1}{s(s+a)}\) 15 \(\frac{1}{b-a}(e^{-at}-e^{-bt})\)\(\frac{1}{(s+a)(s+b)}\) 16 \(\frac{1}{b-a}(be^{-bt}-ae^{-at})\)\(\frac{s}{(s+a)(s+b)}\) 17 \(\frac{1}{ab}[1+\frac{1}{a-b}(be^{-at}-ae^{-bt})]\)\(\frac{1}{s(s+a)(s+b)}\) 18 \(\frac{1}{a^2}(1-e^{-at}-ate^{-at})\)\(\frac{1}{s(s+a)^2}\) 19 \(\frac{1}{a^2}(at-1+e^{-at})\)\(\frac{1}{s^2(s+a)}\) 20 \(e^{-at}sin(ωt)\)\(\frac{ω}{(s+a)^2+ω^2}\) 21 \(e^{-at}cos(ωt)\)\(\frac{s+a}{(s+a)^2+ω^2}\) 22 \(\frac{ω_n}{\sqrt {1-ξ^2}}e^{-ξω_nt}sin(ω_n\sqrt {1-ξ^2}t)(0<ξ<1)\)\(\frac{ω_n^2}{s^2+2ξω_ns+ω_n^2}\) 23 \(-\frac{1}{\sqrt {1--ξ^2}e^{-ξω_nt}}sin(ω_n\sqrt {1-ξ^2}t-φ)\)
\(φ=arctan\frac{\sqrt{1-ξ^2}}{ξ}\)
(\(0<ξ<1, 0<φ<π/2\)) \(\frac{s}{s^2+2ξω_ns+ω_n^2}\) 24 \(1-\frac{1}{\sqrt {1--ξ^2}e^{-ξω_nt}}sin(ω_n\sqrt {1-ξ^2}t+φ)\)
\(φ=arctan\frac{\sqrt{1-ξ^2}}{ξ}\)
(\(0<ξ<1, 0<φ<π/2\)) \(\frac{ω_n^2}{s(s^2+2ξω_ns+ω_n^2)}\) 25 \(1-cos(ωt)\)\(\frac{ω^2}{s(s^2+ω^2)}\) 26 \(ωt-sin(ωt)\)\(\frac{ω^3}{s^2(s^2+ω^2)}\) 27 \(sin(ωt)-ωt cos(ωt)\)\(\frac{2ω^3}{(s^2+ω^2)^2}\) 28 \(\frac{1}{2ω}tsin(ωt)\)\(\frac{s}{(s^2+ω^2)^2}\) 29 \(tcos(ωt)\)\(\frac{s^2-ω^2}{(s^2+ω^2)^2}\) 30 \(\frac{1}{ω_2^2-ω_1^2}[cos(ω_1t-cos(ω_2t)] (ω_1^2\neq ω_2^2)\)\(\frac{s}{(s^2+ω_1^2)(s^2+ω_2^2)}\) 31 \(\frac{1}{2ω}[sin(ωt)+ωtcos(ωt)]\)\(\frac{s^2}{(s^2+ω^2)^2}\)

	f(t)	F(s)

双曲正弦函数：\(sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\)
双曲余弦函数：\(cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\)

普通正弦函数：\(sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\)
普通余弦函数：\(cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2i}\)

参考

[1]尾形克彦 著,卢伯英,佟明安.国外计算机科学教材系列:现代控制工程(第5版) [Modern Control Engineering Fifth Edition][M].电子工业出版社,2011.