复变量

复数有2部分：实部、虚部. 两部分都是常数. 如果实部和（或）虚部是变量，则称其为复变量. 在拉普拉斯变换中，用符号s表示复变量，即

\[s=σ+jω \]

其中，\(σ\)实部，\(ω\)虚部.

复变函数

复变函数G(s)是s的函数，它有实部、虚部：

\[G(s)=G_x+jG_y \]

其中，\(G_x,G_y\)实数. \(G(s)\)幅值\(\sqrt {G_x^2+G_y^2}\)，\(G(s)\)的角度\(θ=arctan(G_y/G_x)\). θ从正实轴开始，沿着逆时针方向计算. \(G(s)\)共轭复数为\(\overline{G}(s)=G_x-jG_y\)

线性控制系统分析中，通常，复变函数G(s)是s的单值函数，即对于给定s值，G(s)唯一确定.

如果某一域内复变函数G(s)及其所有导数均存在，则称该复变函数在该域内是解析的. 解析函数G(s)的导数：

\[\frac{d}{ds}G(s)=\lim_{Δs\to 0}\frac{G(s+Δs)-G(s)}{Δs}=\lim_{Δs\to 0}\frac{ΔG}{Δs} \]

∵\(Δs=Δσ+jΔω\)
∴\(Δs\)可沿无穷多个不同的路径趋近于0

2条特殊路径：\(Δs=Δσ, Δs=jΔω\)

注意：可以证明（这里未证明），当沿着这2条特殊路径，所得导数相等时，对于任何其他路径所得导数也唯一，因此导数是存在的.

对于路径\(Δs=Δσ\)（该路径//实轴），则

\[\frac{d}{ds}G(s)=\lim_{Δσ\to 0}(\frac{G_x}{Δσ}+j\frac{ΔG_y}{Δσ})=\frac{∂G_x}{∂σ}+j\frac{∂G_y}{∂σ} \]

对于路径\(Δs=jΔω\)，则

\[\frac{d}{ds}G(s)=\lim_{jΔω\to 0}(\frac{ΔG_x}{jΔω}+\frac{ΔG_y}{jΔω})=-j\frac{∂G_x}{∂ω}+\frac{∂G_y}{∂ω} \]

如果这2个导数值相等，则

\[\frac{∂G_x}{∂σ}+j\frac{∂G_y}{∂σ}=\frac{∂G_y}{∂ω}-j\frac{∂G_x}{∂ω}\\ \]

或者说，如果满足2个条件：

\[\frac{∂G_x}{∂σ}=\frac{∂G_y}{∂ω},\frac{∂G_y}{∂σ}=-\frac{∂G_x}{∂ω} \]

那么，导数\(dG(s)/ds\)可唯一确定，称\(G(s)\)是可解析的. 这2个条件就是柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件.

举例，函数G(s)：

\[G(s)=\frac{1}{s+1} \]

∴

\[G(σ+jω)=\frac{1}{σ+jω+1}=G_x+jG_y \]

其中，\(G_x=\frac{σ+1}{(σ+1)^2+ω^2},G_y=\frac{-ω}{(σ+1)^2+ω^2}\)

于是，容易知道当\(s=-1(即σ=-1,ω=0)\)不成立时，

\[\begin{aligned} \frac{∂G_x}{∂σ} &= \frac{∂G_y}{∂ω} = \frac{ω^2 - (σ+1)^2}{[(σ+1)^2+ω^2]^2}\\ \frac{∂G_y}{∂σ} &= -\frac{∂G_x}{∂ω} = \frac{2ω(σ+1)}{[(σ+1)^2+ω^2]^2} \end{aligned} \]

也就是说，G(s)满足柯西-黎曼条件，即除\(s=-1\)外，在整个s平面上\(G(s)=1/(s+1)\)都是解析的.

此时，

\[\begin{aligned} \frac{d}{ds}G(s) &= \frac{∂G_x}{∂σ}+j\frac{∂G_y}{∂σ}=\frac{∂G_y}{∂ω}-j\frac{∂G_x}{∂ω}\\ &= -\frac{1}{(σ+jω+1)^2}=-\frac{1}{(s+1)^2} \end{aligned} \]

在s平面上，使函数G(s)解析的点，称为普通点，使G(s)为非解析的点，称为奇点，使G(s)或其导数趋近于无穷大的奇点称为极点，使G(s)=0的奇点称为零点.

如果当\(s\to -p\)时，\(G(s)\to ∞\)，且函数

\[G(s)(s+p)^n, n=1,2,3,... \]

在\(s=-p\)处具有一个有限的非零值，则\(s=-p\)称为n阶极点； 如果\(n=1\)，则该极点称为简单极点；如果\(n=2,3,...\)，则这些极点分别称为二阶极点、三阶极点等.

拉普拉斯变换

定义

拉普拉斯变换定义：
\(f(t)\)是时间t的函数，且当\(t<0\)时，\(f(t)=0\)，且积分

\[\int_0^{+∞}f(t)e^{-st}dt（s = \sigma + \mathrm{j}\omega 是复变量） \]

在s的某个域内收敛，则由此积分所确定的函数可写为：
\(F(s) = \int_0^{+∞}f(t)e^{-st}dt\)
这个式子就是函数\(f(t)\)的拉普拉斯变换式，简称拉式变换，记作：
\(F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}\)
\(F(s)\)称为\(f(t)\)的象函数，\(f(t)\)称为\(F(s)\)的原函数，由象函数求原函数的运算称为拉式反变换，记作：
\(f(t)=\mathcal{L}^{-1}[F(s)]\)

说明：\(\mathcal{L}\) 是运算符号，放在某个变量之前表示该量用拉普拉斯积分\(\int_{0}^{+∞}e^{-st}dt\)进行变换；
\(f(t)\)的拉普拉斯变换还可以写作：

\[\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)=\int_{0}^{+∞} e^{-st}dt[f(t)]=\int_{0}^{+∞} f(t)e^{-st}dt \]

拉式反变换也可以写作：

\[\mathcal{L}^{-1}=f(t)=\frac{1}{2πj}\int_{c-j∞}^{c+j∞}F(s)e^{st}ds, t\ge 0 \]

注意：\(\mathcal{L}\) 也经常写作\(L\).

存在定理

若函数 \(f(t)\) 满足下列条件：

① 在 \(t\ge0\) 的任一有限区间上分段连续.

② 在 \(t\) 充分大后满足不等式 \(|f(t)|\le M\mathrm{e}^{ct}\)，其中 \(M\)、\(c\) 都是实常数. 则
\(f(t)\) 的拉氏变换

\[F(s)=\int_{0}^{+\infty} f(t)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t \]

在半平面 \(\mathrm{Re}(s)>c\) 上一定存在，此时右端的积分绝对而且一致收敛，并且在这半平面内 \(F(s)\) 为解析函数.

简单起见，今后一律不再注明 \(F(s)\) 的收敛范围. 并假定 \(f(t)=0\ (t<0)\).

拉普拉斯变换的性质

线性性质

若 \(\alpha\)、\(\beta\) 是任意实常数，并且 \(\mathcal{L}\left[f_1(t)\right]=F_1(s),\ \mathcal{L}\left[f_2(t)\right]=F_2(s)\)，则有

\[\mathcal{L}\left[\alpha f_1(t) \pm \beta f_2(t)\right] = \alpha \mathcal{L}\left[f_1(t)\right] \pm \beta \mathcal{L}\left[f_2(t)\right] = \alpha F_1(s) \pm \beta F_2(s) \]

\[\mathcal{L}^{-1}\left[\alpha F_1(s) \pm \beta F_2(s)\right] = \alpha \mathcal{L}^{-1}\left[F_1(s)\right] \pm \beta \mathcal{L}^{-1}\left[F_2(s)\right] = \alpha f_1(t) \pm \beta f_2(t) \]

性质证明很简单，根据拉氏变换的定义、积分运算的线性性质就能推出.

微分性质

若 \(\mathcal{L}[f(t)] = F(s)\)，则有

\[\mathcal{L}[f'(t)] = sF(s) - f(0) \]

证明 根据拉氏变换的定义，有

\[\mathcal{L}[f'(t)] = \int_{0}^{+\infty} f'(t) e^{-st} \, dt \]

分部积分：

\[(uv)'=u'v+uv' \]

两边对x求积分

\[\int (uv)'dx= \int (u'v+uv')dx = \int u'vdx + \int uv'dx\\ \therefore uv = \int vdu + \int udv\\ \therefore \int udv = uv - \int vdu\\ \therefore \int_a^b udv = \Big[ uv \Big]_{a}^{b} - \int_a^b vdu \]

设：

• \(u = e^{-st}\)，则 \(du = -se^{-st} dt\)
• \(dv = f'(t) dt\)，则 \(v = f(t)\)

代入得：

\[\begin{aligned} \mathcal{L}[f'(t)] &= \int_0^{+\infty}f'(t)e^{-st}dt = \int_0^{+\infty}e^{-st}df(t)\\ &= \Big[ f(t) e^{-st} \Big]_{0}^{+\infty} - \int_{0}^{+\infty} f(t) \cdot (-s e^{-st}) \, dt \\ &= \Big[ f(t) e^{-st} \Big]_{0}^{+\infty} + s \int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-st} \, dt\\ \end{aligned} \]

根据拉普拉斯变换定义\(\mathcal{L}[f(t)] = \int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-st} \, dt = F(s)\)

要使这个反常积分收敛，必须满足：

\[\lim_{t \to +\infty} f(t) e^{-st} = 0 \]

否则积分会发散，\(F(s)\) 不存在.

∴当 \(t \to +\infty\)时，\(f(t)e^{-st} \to 0\)
∴

\[\mathcal{L}[f'(t)] = 0 - f(0) \cdot e^{0} + sF(s) =sF(s) - f(0) \]

证毕

扩展：如果是二阶，三阶，乃至k阶微分呢？

如果\(\mathcal{L}[f(t)] = F(s)\)，那么

\[\mathcal{L}\left[ \frac{d^k f(t)}{dt^k} \right] = s^k F(s) - \underbrace{s^{k-1}f(0) - s^{k-2}f'(0) - \dots - s^0f^{(k-1)}(0)}_{\text{初始条件项}} \]

证明：数学归纳法证明.

k=1，一阶微分

\[\begin{aligned} \mathcal{L}\left[ \frac{d f(t)}{dt} \right] &=\int_0^\infty f'(t)e^{-st}dt\\ &\xlongequal{\text{分部积分}} \left[ f(t)e^{-st}\right]_0^{\infty} - \int_0^\infty f(t)d(e^{-st})\\ &= \lim_{t\to \infty}f(t)e^{-st} - f(0)e^0 + s\int_0^{\infty} f(t)e^{-st}dt\\ &= sF(s) - f(0) \end{aligned} \]

k=2，二阶微分

\(f''(t) = \frac{d}{dt}[f'(t)]\)，对\(f'(t)\)套用1阶微分：
设\(g(t)=f'(t) = \frac{df(t)}{dt}, G(s)=\mathcal{L}\left[g(t) \right] = sF(s)-f(0)\)

\[\begin{aligned} \mathcal{L}\left[ f''(t)\right] &= \mathcal{L}\left[ g'(t) \right] = sG(s) - g(0)\\ &= s[sF(s) - f(0)] - f'(0)\\ &= s^2 F(s) - sf(0) - f'(0) \end{aligned} \]

假设k=m阶导数（\(m=1,2,3,..., m\in N^+\)）等式成立：

\[\mathcal{L}\left[ \frac{d^m f(t)}{dt^m} \right] = \mathcal{L}\left[ f^{m}(t) \right] = s^{m}F(s) - s^{m-1}f(0) - s^{m-2}f'(0) - \dots - f^{(m-1)}(0) \]

当k=m+1时，

设\(p(t)=f^{(m)}(t)\)，则\(p(0)=f^{(m)}(0)\)

由假设知\(P(s)=\mathcal{L}\left[ p(t) \right] = s^{m}F(s) - s^{m-1}f(0) - s^{m-2}f'(0) - \dots - f^{(m-1)}(0)\)

\[\begin{aligned} \mathcal{L}\left[ \frac{d^{m+1} f(t)}{dt^{m+1}} \right] &= \mathcal{L}\left[ f^{(m+1)}(t)\right] = \mathcal{L}\left[ p'(t)\right] = sP(s)-p(0)\\ &= s[s^{m}F(s) - s^{m-1}f(0) - s^{m-2}f'(0) - \dots - s^0f^{(m-1)}(0)] - f^{(m)}(0)\\ &= s^{m+1}F(s) - s^{m}f(0) - s^{m-1}f'(0) - \dots - sf^{(m-1)}(0) - f^{(m)}(0) \end{aligned} \]

所以，k=m+1阶微分，等式也成立
故得证.

卷积定理

假定 \(f_1(t),f_2(t)\) 满足拉氏变换存在定理中条件，且 \(\mathcal{L}[f_1(t)]=F_1(s)\)，\(\mathcal{L}[f_2(t)]=F_2(s)\)，下列定义的 \(f_1(t)\) 与 \(f_2(t)\) 的卷积 \(f_1(t)*f_2(t)\) 的拉氏变换一定存在，即

\[\mathcal{L}\left[f_1(t)*f_2(t)\right] = F_1(s)\cdot F_2(s) \tag{29} \]

及

\[\mathcal{L}^{-1}\left[F_1(s)\cdot F_2(s)\right] = f_1(t)*f_2(t) \tag{30} \]

证明：

拉普拉斯变换表

下表给出常用函数的拉普拉斯变换对照关系：

	f(t)	F(s)
1	单位脉冲δ(t)	1
2	单位阶跃1(t)	\(\frac{1}{s}\)
3	t	\(\frac{1}{s^2}\)
4	\(\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}(n=1,2,3,...)\)	\(\frac{1}{s^n}\)
5	\(t^n(n=1,2,3,...)\)	\(\frac{n!}{s^{n+1}}\)
6	\(e^{-at}\)	\(\frac{1}{s+a}\)
7	\(te^{-at}\)	\(\frac{1}{(s+a)^2}\)
8	\(\frac{1}{(n-1)!}t^{n-1}e^{-at}(n=1,2,3,...)\)	\(\frac{1}{(s+a)^n}\)
9	\(t^ne^{-at}(n=1,2,3,...)\)	\(\frac{n!}{(s+a)^{n+1}}\)
10	\(sin(ωt)\)	\(\frac{ω}{s^2+ω^2}\)
11	\(cos(ωt)\)	\(\frac{s}{s^2+ω^2}\)
12	\(sinh(ωt)\)	\(\frac{ω}{s^2-ω^2}\)
13	\(cosh(ωt)\)	\(\frac{s}{s^2-ω^2}\)
14	$\frac{1}{a}(1-e^{-at}) $	\(\frac{1}{s(s+a)}\)
15	\(\frac{1}{b-a}(e^{-at}-e^{-bt})\)	\(\frac{1}{(s+a)(s+b)}\)
16	\(\frac{1}{b-a}(be^{-bt}-ae^{-at})\)	\(\frac{s}{(s+a)(s+b)}\)
17	\(\frac{1}{ab}[1+\frac{1}{a-b}(be^{-at}-ae^{-bt})]\)	\(\frac{1}{s(s+a)(s+b)}\)
18	\(\frac{1}{a^2}(1-e^{-at}-ate^{-at})\)	\(\frac{1}{s(s+a)^2}\)
19	\(\frac{1}{a^2}(at-1+e^{-at})\)	\(\frac{1}{s^2(s+a)}\)
20	\(e^{-at}sin(ωt)\)	\(\frac{ω}{(s+a)^2+ω^2}\)
21	\(e^{-at}cos(ωt)\)	\(\frac{s+a}{(s+a)^2+ω^2}\)
22	\(\frac{ω_n}{\sqrt {1-ξ^2}}e^{-ξω_nt}sin(ω_n\sqrt {1-ξ^2}t)(0<ξ<1)\)	\(\frac{ω_n^2}{s^2+2ξω_ns+ω_n^2}\)
23	\(-\frac{1}{\sqrt {1--ξ^2}e^{-ξω_nt}}sin(ω_n\sqrt {1-ξ^2}t-φ)\) \(φ=arctan\frac{\sqrt{1-ξ^2}}{ξ}\) (\(0<ξ<1, 0<φ<π/2\))	\(\frac{s}{s^2+2ξω_ns+ω_n^2}\)
24	\(1-\frac{1}{\sqrt {1--ξ^2}e^{-ξω_nt}}sin(ω_n\sqrt {1-ξ^2}t+φ)\) \(φ=arctan\frac{\sqrt{1-ξ^2}}{ξ}\) (\(0<ξ<1, 0<φ<π/2\))	\(\frac{ω_n^2}{s(s^2+2ξω_ns+ω_n^2)}\)
25	\(1-cos(ωt)\)	\(\frac{ω^2}{s(s^2+ω^2)}\)
26	\(ωt-sin(ωt)\)	\(\frac{ω^3}{s^2(s^2+ω^2)}\)
27	\(sin(ωt)-ωt cos(ωt)\)	\(\frac{2ω^3}{(s^2+ω^2)^2}\)
28	\(\frac{1}{2ω}tsin(ωt)\)	\(\frac{s}{(s^2+ω^2)^2}\)
29	\(tcos(ωt)\)	\(\frac{s^2-ω^2}{(s^2+ω^2)^2}\)
30	\(\frac{1}{ω_2^2-ω_1^2}[cos(ω_1t-cos(ω_2t)] (ω_1^2\neq ω_2^2)\)	\(\frac{s}{(s^2+ω_1^2)(s^2+ω_2^2)}\)
31	\(\frac{1}{2ω}[sin(ωt)+ωtcos(ωt)]\)	\(\frac{s^2}{(s^2+ω^2)^2}\)

双曲正弦函数：\(sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\)
双曲余弦函数：\(cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\)

普通正弦函数：\(sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\)
普通余弦函数：\(cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2i}\)

参考

[1]尾形克彦 著,卢伯英,佟明安.国外计算机科学教材系列:现代控制工程(第5版) [Modern Control Engineering Fifth Edition][M].电子工业出版社,2011.