中国科学院大学2024年数学夏令营试题

1. (1)设数列$a_n>0$并且$\lim_{n\to\infty}a_n=a$.
计算极限
$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a_1}
+\sqrt[n]{a_2}+\cdots+\sqrt[n]{a_n}}{n}\right)^n.$$

(2)对$\alpha\geqslant 2$,求极限
$$\lim_{x\to 0^+}\frac{\int_0^xe^{-t^\alpha}\mathrm{d}t-\sin x}{\sin x-x}.$$

2. (1) 设$n$为正整数,计算积分$\int_0^{\frac\pi2}\frac{\sin(2n+1)\theta}{\sin\theta}\mathrm{d}\theta$.

(2)计算二重积分$\iint _D( x+ y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$,其中$D=\{(x,y)\mid (x-1)^2+(y-1)^2\leqslant 2,y\geqslant x\}$.

3.设$f(x)$在$[0,1]$上有连续的二阶导函数, $f(0)=f(1)=0$,当$x\in(0,1)$时, $f(x)\neq0$.证明:
$$\int_0^1\left|\frac{f''(x)}{f(x)}\right|\mathrm{d}x\geqslant 4.$$

4.设$A,B,C$是三个$n$阶实方阵,并且满足: $(AB)^7=C$, $\det(C)\neq 0$,以及$AC=CA$或者$BC=CB$.求$(BA)^{14}$与$C$的关系.

5.令$x,y,z$表示三维空间中的点.设定义在三维空间中的开区域$D$上的函数$u(x)$二阶连续可导且满足调和条件$\Delta u=0$.对任意的$x\in D$,定义如下关于半径$r$的函数
$$\phi(r)=\frac{1}{4\pi r^{2}}\oint_{\partial B(x,r)}u(y)\mathrm{d}\sigma(y).$$
其中, $B(x,r)$表示以$x$为球心, $r$为半径的球. $\partial B(x,r)$表示这个球的外表面,这里$r$充分小使得$B(x,r)\subseteq D$.

(1)证明:
$$\frac{\partial\phi}{\partial r}=0.$$

(2)证明:
$$u(x)=\frac{1}{4\pi r^{2}}\oint_{\partial B(x,r)}u(y)\mathrm{d}\sigma(y).$$

(3)证明:
$$u(x)=\frac{3}{4\pi r^3}\int_{B(x,r)}u(y)\mathrm{d}y.$$

6.证明如下两个结论:

(1)设$f$是$n$维欧式空间$V$上的一个正交变换,证明: $f$的不变子空间的正交补也是$f$的不变子空间.

(2)令$A=(a_{ij})\in M_n(\mathbb{C})$,记$\mathrm{tr}( A) = a_{11}+ a_{22}+ \cdots + a_{nn}$,证明: $\det(e^A)=e^ {\mathrm{tr}(A)}$.