中国科学院大学2025年数学分析考研真题

1. (25分)计算下列极限.

(1) $\displaystyle\lim_{x\to1}x^{\frac1{1-x}}$.

(2) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{4}}\left(1+2^{3}+\cdots
+n^{3}\right)$.

2.用闭区间套定理证明$[0,1]$不可数.

3.设$f(x)$在$[0,1]$上连续可微, $f(0)=0$.证明:
$$\int_0^1\left| f'(x)f(x)\right|\mathrm{d}x\leqslant
\frac{1}{2}\int_0^1{\left| f'(x)\right|}^2\mathrm{d}x.$$

4.求重积分
$$\iint_D(x+y)\sin(x-y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y,$$
其中$D=\{(x,y)\mid 0\leqslant x+y\leqslant\pi,0\leqslant x-y\leqslant\pi\}$.

5.求曲面积分
$$\iint_\Gamma\left(y^2-x\right)
\mathrm{d}y\mathrm{d}z
+\left(z^2-y\right)\mathrm{d}z\mathrm{d}x
+\left(x^2-z\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y,$$
其中$\Gamma=\left\{(x,y,z)\mid z=1-x^{2}-y^{2},z\geqslant 0\right\}$,方向取外侧.

6.设$f(x)$在$\displaystyle\left(-\frac\pi2,0\right)$上可积或绝对可积,怎么将$f(x)$延拓为到$(-\pi,\pi)$上,满足其傅里叶级数为
$$\sum_{n=1}^\infty b_{2n-1}\sin(2n-1)x.$$

7.设$f(x)$在$[0,\pi]$上可积,且$\displaystyle\int _0^{\pi}f(x)\mathrm{d}x= \pi$.
求系数$c_1,c_2,\cdots,c_n$,使得
$$\int_0^\pi\left[f(x)-\sum_{k=1}^nc_k\cos kx\right]^2\mathrm{d}x$$
最小,并求$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}c_{k}\cos kx=F(x)$的表达式.

8.设$f(x)$三次连续可微,且
$$f'(0)=1,f''(0)=0,f'''(0)=-1$$
令$f(a_n)=a_{n+1}$,且$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$.求$\displaystyle\lim_{n\to\infty}na_n^2$.

9.设$\{a_n\}$单调收敛到$0$,若$\alpha\in(0,\pi)$,则$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nx$在$[\alpha,2\pi-\alpha]$上一致收敛.

10.求$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac12+\cdots
+\frac1n\right)x^{n}$的收敛域与和函数.

中国科学院大学2025年高等代数考研真题

1. (18分)设$\displaystyle F(x)=\prod_{i=1}^n(x-a_i)$,其中$a_1,a_2,\cdots,a_n$是两两不同的实数.

(1)记$\displaystyle l_i(x)=\frac{F(x)}{(x-a_{i})F'(a_{i})}$,证明: $l_1(x),l_{2}(x),\cdots,l_{n}(x)$线性无关.

(2)证明: $\displaystyle\sum_{i=1}^nl_i(x)=1$.

(3)任取次数小于$n$的多项式$f(x)$,
将$f(x)$用$l_1(x),l_2(x),\cdots,l_n(x)$进行线性表示.

2. (20分)设$n$阶矩阵$A$为实对称正定矩阵$(n>2)$.证明: $A=I$当且仅当$A^\ast=A$.

3. (20分)设$n+1$阶矩阵$A$有特征值$0$和$n$个不同的单位根$\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_n$ ($(\omega_i)^n=1)$.
证明$2I-A$可逆,并求其逆矩阵.

4. (20分)设$B\in M^{n\times n}(\mathbb{R})$为正定矩阵, $C\in M^{n\times m}(\mathbb{R})$为列满秩矩阵,记
$$A=\begin{pmatrix}
B&C\\
C^T&O\end{pmatrix}.$$
求$A$的正负惯性指数.

5. (20分)若数域$\mathbb{F}$上的$n$阶矩阵$A$有$n$个不同的特征值$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$, $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$为对应的特征
向量,记$\beta=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n$.

(1)证明: $\beta,A\beta,\cdots,A^{n-1}\beta$线性无关.

(2)若$A^n\beta=A\beta$,求$A-I_n$的秩.

6. (18 分)设$n$阶矩阵$A$的特征多项式为$f(x)$,其中$f(x)=g(x)h(x)$, $(g(x),h(x))=1$,且$\deg (g(x))< n$, $\deg (h(x))< n$.证明:存在可逆矩阵$P$和$m_1$阶矩阵$A_1$, $m_2$阶矩阵$A_{2}$,使得
$$P^{-1}AP=\begin{pmatrix}
A_1&\\&A_2
\end{pmatrix}$$
且 $m_1,m_2< n$.

7. (18分)设$A,B,X\in M^{3\times3}(\mathbb{C})$,对于复系数多项式$f(t),g(t)$,有$f(X)=A,g(X)=B$,且
$A^2=B^2=O$.证明:存在$\lambda\in\mathbb{C}$,
满足$A=\lambda B$或$B=\lambda A$.

8. (16分)设$\varphi:M^{n\times n}(\mathbb{F})\to M^{m\times m}(\mathbb{F})$为线性映射,且满足$\varphi(I_n)=I_m$,对任意的
$A,B\in M^{n\times n}(\mathbb{F})$,
有$\varphi(AB)=\varphi(A)\varphi(B)$.证明:

(1) $\varphi$为单射.

(2) $n\mid m$.

(2025年佛山一模)已知函数$f\left(x\right)=\left(x+k\right)\mathrm{e}^{x}$,其中$k\in\mathbf{R}$.

(1)当$k=-1$时,讨论关于$x$的方程$f(x)=a\ (a\in\mathbf{R})$的实根个数;

(2)当$k> -1$时,证明:对于任意的实数$x_1,x_2\ (x_1\neq x_2)$,都有$\displaystyle\frac{f(x_1)-f(x_2)}{\mathrm{e}^{x_1}-\mathrm{e}^{x_2}}> \frac{x_1+x_2}2$.

Hermite$-$ Hadamard积分不等式:若$f(x)$是$[a,b]$上的可积凸函数,则有
$$f\left(\frac{a+b}2\right)\leqslant
\frac1{b-a}\int_a^bf(x)\mathrm{d}x
\leqslant\frac{f(a)+f(b)}2.$$

由Hermite$-$ Hadamard积分不等式可得
$$
f'\left( \frac{a+b}{2} \right) \leqslant \frac{1}{b-a}\int_a^b{f'\left( x \right) dx}=\frac{f\left( b \right) -f\left( a \right)}{b-a}\leqslant\frac{f'(a)+f'(b)}2.
$$
取$g(x)=x(\ln x+k)$可知$g'(x)=\ln x+k+1$, $\displaystyle g''(x)=\frac{1}{x}>0$, $\displaystyle g'''(x)=-\frac{1}{x^2}<0$,于是$g'(x)$为$(0,+\infty)$上的凹函数.

令$a=\mathrm{e}^{x_1},b=\mathrm{e}^{x_2}$,则
$$
\frac{g\left( \text{e}^{x_2} \right) -g\left( \text{e}^{x_1} \right)}{\text{e}^{x_2}-\text{e}^{x_1}}>\frac{g'\left( \text{e}^{x_2} \right) +g'\left( \text{e}^{x_1} \right)}{2}=\frac{\left( \ln\text{e}^{x_2}+k+1 \right) +\left( \ln\text{e}^{x_1}+k+1 \right)}{2}
>\frac{x_1+x_2}{2}+k+1>\frac{x_1+x_2}{2},
$$
故$\displaystyle\frac{f(x_1) -f(x_2)}{\mathrm{e} ^{x_1}- \mathrm{e}^{x_2}} > \frac{x_1+x_2} 2$.

类似地,可得
$$
\frac{g\left( \text{e}^{x_2} \right) -g\left( \text{e}^{x_1} \right)}{\text{e}^{x_2}-\text{e}^{x_1}}< g'\left( \frac{\text{e}^{x_2}+\text{e}^{x_1}}{2} \right) =\ln \frac{\text{e}^{x_2}+\text{e}^{x_1}}{2}+k+1.
$$