假设我们有一个表格存储学生成绩信息：

学生成绩表

学号 (SNo)	课程号 (CNo)	分数 (Score)	姓名 (Name)	班级 (Class)

1. 函数依赖分类

前提：X——>Y（即X决定Y）

1.1 分类1：平凡/非平凡依赖

依据‌：依赖关系中Y是否为X的子集。即基于属性集的包含关系（Y是否属于X）

• ‌平凡函数依赖‌：若Y⊆X，则X→Y为平凡函数依赖‌。例如关系模式（学号，姓名，年级）中，（学号，姓名）→姓名属于平凡依赖，因“姓名”是属性组（学号，姓名）的子集‌。
• ‌非平凡函数依赖‌：若X→Y且Y∉X，则为非平凡依赖‌。例如学号→年级，因“年级”不包含于“学号”这一属性‌。

1. 平凡依赖（Trivial Dependency）

平凡依赖指的是属性集中的某个属性依赖于自身。不需要从其他属性获得信息。

例子：

• 在表中，对于任何属性集 {SNo, CNo, Score}，平凡依赖有 {SNo} → SNo, {CNo, Score} → Score 等。

2. 非平凡依赖（Non-Trivial Dependency）

非平凡依赖是指如果 X → Y 成立并且 Y 不属于 X，这称为非平凡依赖。

例子：

• 在学生成绩表中，{SNo, CNo} → Score 是一个非平凡依赖，因为分数 Score 不属于组合键 {SNo, CNo}。

1.2 分类2：完全/部分（传递）依赖

依据‌：依赖关系中X的真子集是否决定Y，或是否通过中间属性间接决定。 即 基于依赖的完整性（是否需全部属性）或传递性（是否通过中间属性）‌

• ‌完全函数依赖‌：Y完全依赖于X，当且仅当X的任意真子集均无法决定Y‌。例如（学号，课程号）→成绩，因单独学号或课程号均无法确定成绩‌。
• ‌部分函数依赖‌：Y部分依赖于X，若存在X的真子集X'能决定Y‌。例如（学号，课程号）→姓名，因仅“学号”即可决定“姓名”，无需组合属性‌。
• ‌传递函数依赖‌：通过中间属性间接依赖，即X→Y，Y→Z，但Y↛X，则X→Z为传递依赖‌。例如学号→系名，系名→系主任，则学号→系主任为传递依赖‌。

1. 完全函数依赖（Full Functional Dependency）

完全函数依赖是指 Y 对 X 是完全依赖的，但对 X 的任何真子集都不依赖，即去掉任何一个 X 的成分，依赖关系不再成立。

例子：

• {SNo, CNo} → Score 是完全函数依赖，因为只有通过学号和课程号的组合才能唯一确定一个分数。

2. 部分函数依赖（Partial Functional Dependency）

部分函数依赖指的是在一个复合主键中，如果有一个非主属性依赖于主键的一部分，而不是整个主键。

假设学生成绩表的主键是由“学号 (SNo)”和“课程号 (CNo)”组合而成，这样能唯一标识一条记录。

然而，“姓名 (Name)”和“班级 (Class)”只依赖于“学号 (SNo)”而非整个主键，因为一个学生会有多个课程。因此，这里有部分函数依赖：

• 名称 (Name) 依赖于 学号 (SNo)
• 班级 (Class) 依赖于 学号 (SNo)

3. 传递函数依赖（Transitive Dependency）

传递函数依赖是指如果存在 X → Y 和 Y → Z，那么就有 X → Z。通常在属性集合中隐含信息传递。

例子：

• 假设我们有一个额外的表记录班级信息，比如班级代表：

  班级信息表
  | 班级 (Class) | 班长 (Leader) |
  |--------------|---------------|

在这种情况下，学生成绩表中的班级对班长存在传递函数依赖：{SNo} → {Class} 和 {Class} → {Leader}，因此 {SNo} → {Leader} 是传递依赖。

这些不同类型的依赖关系帮助我们识别数据库设计中的冗余、异常，并指导我们进行范式化处理。

2. 规范化

2.1 不规范

不会发生插入异常、删除异常、更新异常，数据冗余应尽可能少。

https://fangkaipeng.com/?p=921

例：关系模式R中  （学生的学号（Sno）、所在系（Sdept）系主任姓名（Mname）、课程名（Cname）、成绩（Grade））

• 数据冗余
  比如，每一个系的系主任姓名重复出现，重复次数与该系所有学生的所有课程成绩出现次数相同，如表6.1所示。这将浪费大量的存储空间。
  • 冗余的根本原因‌是‌存在部分函数依赖‌（非完全函数依赖）：
    • 候选键为（Sno, Cname），但非主属性 Sdept 和 Mname ‌仅依赖于 Sno‌（候选键的真子集），而非完整的候选键‌23。
    • 即：Sno → Sdept → Mname，而（Sno, Cname）→ Sdept 是冗余的依赖路径‌

• 更新异常（update anomalies）
  由于数据冗余，当更新数据库中的数据时，系统要付出很大的代价来维护数据库的完整性,否则会面临数据不一致的危险。比如,某系更换系主任后,必须修改与该系学生有关的每一个元组。
• 插入异常（insertion anomalies）
  如果一个系刚成立,尚无学生，则无法把这个系及其系主任的信息存入数据库
• 删除异常（deletion anomalies）
  如果某个系的学生全部毕业了，则在删除该系学生信息的同时，这个系及其系主任的信息也丢掉了。

上述的关系模式不是一个好的关系模式。这是由存在于模式中的某些数据依赖引起的，可以通过分解关系模式来消除其中不合适的数据依赖。

2.2 解决：规范化

1NF：

第一：属性 不可再分

（消除多值属性与重复字段）

2NF：

2NF：满足1NF，且 非主属性 完全依赖 主属性，而不是部分依赖（消除冗余更新异常）

将原关系 R 分解为以下两个表：

1. ‌学生-系表（Student_Dept）‌：

   • 属性：Sno（学号）、Sdept（系）、Mname（系主任）

   • 候选键：Sno（完全函数依赖）

   • 依赖关系：Sno → Sdept → Mname‌。

2. ‌选课成绩表（SC）‌：
   • 属性：Sno（学号）、Cname（课程名）、Grade（成绩）
   • 候选键：（Sno, Cname）（完全函数依赖）
   • 依赖关系：（Sno, Cname）→ Grade‌。

通过分解，原关系中的冗余数据和部分依赖被消除，满足第二范式要求‌

3NF

第三：满足第二，且消除传递依赖

（消除传递依赖导致的数据冗余）

BCNF 

BCNF：满足3NF，且对于每一个非平凡的函数依赖 X -> Y，X 必须是一个候选键，而不仅仅涉及主键（或候选键）的一部分。

示例1：

假设我们有一个表 Enrollments：候选键(CourseID, ProfessorID)，但是有依赖 CourseID -> ProfessorID，违反BCNF

假设 CourseID 是唯一的课程标识，所以 CourseID -> ProfessorID 是一个函数依赖。在这种情况下，ProfessorName 对 ProfessorID 和 CourseID 的依赖不是符合BCNF的，因为 ProfessorID 本身应该是一个候选键。

为使表进入BCNF，我们需要分解表：

1. ProfessorDetails 表：

2. Enrollments 表：

在这里，通过分解 we 能够消除 ProfessorName 的传递依赖，因为它直接从 ProfessorID 派生，而 ProfessorID 是一个候选键。

通过这些示例，我们可以看到，2NF 主要关注消除部分依赖，而 BCNF 关注任何情况下的函数依赖，确保候选键的充分利用。

示例2：

好的，让我们来看看一个符合第二范式 (2NF) 但是不符合 Boyce-Codd 范式 (BCNF) 的例子。

示例表：Assignments

假设我们有一个表 Assignments，其中：

• 主键是组合键 (StudentID, AssignmentID)。
• 这些属性意味着每个学生可以有多个作业，每个作业可以由不同的课程指定。

假设表结构如下：

依赖关系：

• 主键为 (StudentID, AssignmentID)。
• CourseID 和 CourseInstructor 是对 (StudentID, AssignmentID) 的完全依赖，因为它们由两个属性决定。
• CourseID -> CourseInstructor 是一个非主属性到非主属性的依赖。

2NF 分析

该表已满足 1NF，因为所有属性均为原子值。
通过查看 (StudentID, AssignmentID) 的组合，我们看不到部分依赖。
因此，该表符合 2NF，因为所有非主属性都对整个主键而不是部分主键完全依赖。

BCNF 分析

BCNF 要求每个函数依赖具有候选键。

• CourseID -> CourseInstructor 是一个非平凡的函数依赖，但 CourseID 不是候选键。
  这个非平凡的依赖性违反了 BCNF 的要求，因为 CourseID 不是候选键。

分解到BCNF

为了使表达到 BCNF，我们可以通过将表分解为两个表：

1. Courses 表：

2. Assignments 表：

这样，CourseInstructor 直接依赖于候选键 CourseID，符合 BCNF 要求。在这种情况下，我们消除了非主键间的依赖关系，并确保所有非平凡的函数依赖都有一个候选键。