以下是将十进制数213转换为二进制数的完整过程，使用除2取余法（也称为“重复除法法”）。该方法通过反复除以2并记录余数，直到商为0，然后将余数从下到上（即最后一个余数为最高位）读取，得到二进制表示。
计算步骤：
- 213 ÷ 2：
- 213 ÷ 2 = 106（商），余数 = 1（因为 2 × 106 = 212，213 - 212 = 1）。
- 106 ÷ 2：
- 106 ÷ 2 = 53（商），余数 = 0（因为 2 × 53 = 106）。
- 53 ÷ 2：
- 53 ÷ 2 = 26（商），余数 = 1（因为 2 × 26 = 52，53 - 52 = 1）。
- 26 ÷ 2：
- 26 ÷ 2 = 13（商），余数 = 0（因为 2 × 13 = 26）。
- 13 ÷ 2：
- 13 ÷ 2 = 6（商），余数 = 1（因为 2 × 6 = 12，13 - 12 = 1）。
- 6 ÷ 2：
- 6 ÷ 2 = 3（商），余数 = 0（因为 2 × 3 = 6）。
- 3 ÷ 2：
- 3 ÷ 2 = 1（商），余数 = 1（因为 2 × 1 = 2，3 - 2 = 1）。
- 1 ÷ 2：
- 1 ÷ 2 = 0（商），余数 = 1（因为 2 × 0 = 0，1 - 0 = 1）。
整理余数：
- 余数序列（从上到下，按计算顺序）：1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1。
- 二进制表示需从下到上读取余数（即最后一个余数为最高位）：
- 最后一个余数（步骤8）：1（最高位，MSB）
- 步骤7：1
- 步骤6：0
- 步骤5：1
- 步骤4：0
- 步骤3：1
- 步骤2：0
- 第一个余数（步骤1）：1（最低位，LSB）
- 因此，二进制序列为：11010101。
验证（可选检查）：
- 二进制 (11010101_2) 转换为十进制：
- (1 \times 2^7 + 1 \times 2^6 + 0 \times 2^5 + 1 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0)
- = (1 \times 128 + 1 \times 64 + 0 \times 32 + 1 \times 16 + 0 \times 8 + 1 \times 4 + 0 \times 2 + 1 \times 1)
- = (128 + 64 + 0 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 213)，结果正确。
最终答案：
[
(213)_{10} = (11010101)_2
]
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将十进制数 (26.375_{10}) 转换为二进制数的过程需要分别处理整数部分（26）和小数部分（0.375），因为整数部分使用除2取余法，小数部分使用乘2取整法。以下是详细步骤：
步骤1: 转换整数部分（26）为二进制（使用除2取余法）
- 方法：反复将整数除以2，记录余数，直到商为0。余数从下到上（最后一个余数为最高位）读取即为二进制整数部分。
- 计算过程：
| 步骤 |
除法运算 |
商 |
余数 |
说明 |
| 1 |
(26 \div 2) |
13 |
0 |
(2 \times 13 = 26)，余数 (26 - 26 = 0) |
| 2 |
(13 \div 2) |
6 |
1 |
(2 \times 6 = 12)，余数 (13 - 12 = 1) |
| 3 |
(6 \div 2) |
3 |
0 |
(2 \times 3 = 6)，余数 (6 - 6 = 0) |
| 4 |
(3 \div 2) |
1 |
1 |
(2 \times 1 = 2)，余数 (3 - 2 = 1) |
| 5 |
(1 \div 2) |
0 |
1 |
(2 \times 0 = 0)，余数 (1 - 0 = 1) |
- 余数序列（从下到上读取）：1（步骤5）、1（步骤4）、0（步骤3）、1（步骤2）、0（步骤1）。
- 整数部分二进制结果：(11010_2)。
- 验证：(11010_2 = 1 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 0 \times 2^0 = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26)（正确）。
步骤2: 转换小数部分（0.375）为二进制（使用乘2取整法）
- 方法：反复将小数部分乘以2，记录整数部分，直到小数部分为0。整数部分从上到下（第一个整数为最高位）读取即为二进制小数部分。
- 计算过程：
| 步骤 |
乘法运算 |
乘积 |
整数部分 |
小数部分 |
说明 |
| 1 |
(0.375 \times 2) |
0.75 |
0 |
0.75 |
整数部分为0，继续计算 |
| 2 |
(0.75 \times 2) |
1.5 |
1 |
0.5 |
整数部分为1，继续计算 |
| 3 |
(0.5 \times 2) |
1.0 |
1 |
0.0 |
整数部分为1，小数部分为0，停止 |
- 整数部分序列（从上到下读取）：0（步骤1）、1（步骤2）、1（步骤3）。
- 小数部分二进制结果：(.011_2)（注意：二进制小数点后部分）。
- 验证：(.011_2 = 0 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2} + 1 \times 2^{-3} = 0 \times 0.5 + 1 \times 0.25 + 1 \times 0.125 = 0.375)（正确）。
步骤3: 组合整数和小数部分
- 整数部分：(11010_2)
- 小数部分：(.011_2)
- 最终结果：(11010.011_2)
最终答案
[
(26.375)_{10} = (11010.011)_2
]
