\(\text{0x01}\). 问题定义 \(\text{Problem}\space \text{Definition}\).

最近公共祖先简称\(\text{LCA}\)。两个节点的最近公共祖先，就是这两个点的公共祖先里面，离根最远的那个。
为了方便，我们记某点集 \(S=\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}\) 的最近公共祖先为 \(\text{LCA}(v_1,v_2,\ldots,v_n)\) 或 \(\text{LCA}(S)\)。

\(\text{0x02}\). 解法 \(\text{Solutions}\).

\(\text{0x02.1}\) 前置知识 \(\text{Prerequisite}.\)

欧拉序

在树上做一次深度优先遍历(DFS)，每当到达一个节点(无论是首次进入,还是处理完所有子节点后回溯回来)，就把该节点记录下来，由此得到的节点序列称为欧拉序(Euler tour)。
一种较为形式化描述是：
从根节点 root 开始执行以下递归过程：

%%{init: {'themeCSS': 'svg { transform: scale(0.6); transform-origin: top left; }'}}%% flowchart TD Start([开始: dfs u ]) --> RecordEntry[记录节点 u 到欧拉序] RecordEntry --> CheckChild{还有未处理的子节点?} CheckChild -- 是 --> NextChild[取下一个子节点 v] NextChild --> Recurse[[递归调用 dfs v]] Recurse --> RecordBack[记录节点 u 到欧拉序] RecordBack --> CheckChild CheckChild -- 否 --> End([结束])

RMQ

RMQ 问题指区间最值查询（Range Minimum/Maximum Query）。

\(\text{0x02.2}\) 欧拉序与RMQ问题 \(\text{Euler Tour and RMQ}.\)

好了，了解完前面的知识，我们就要引出一个重要性质：

性质1

记 \(pos[u]\) 为节点 u 第一次在欧拉序中出现的位置。
对于任意两个节点 u,v，设 \(l=min(pos[u],pos[v])\),$ r=max(pos[u],pos[v])$
则:

\[\text{LCA}(u,v)=arg\space min_{i \in [l,r]}\space dep[euler[i]] \]

即区间 [l,r] 中深度最小的节点就是 u 与 v 的最近公共祖先。

\(\text{Proof}.\)

设 \(w = \text{LCA}(u, v)\)。节点 \(u\) 和 \(v\) 分别位于 \(w\) 的不同子树中，或者其中一个就是 \(w\) 本身。
考察从首次进入 \(u\) 到首次进入 \(v\) 这段欧拉序对应的遍历过程：当 DFS 首次到达 \(u\)（位置 \(pos[u]\)）后，算法会回溯到 \(w\)，再向下进入 \(v\)（到达位置 \(pos[v]\)）。因此 \(w\) 必然在区间 \([l, r]\) 内至少出现一次。
对于该区间内的任意一个节点 \(x\)，它出现在 \(pos[u]\) 到 \(pos[v]\) 之间，意味着在从 \(u\) 回溯到 \(w\) 并前往 \(v\) 的过程中访问了 \(x\)。由 DFS 的性质，这期间访问的所有节点都位于 \(w\) 的子树中（包括 \(w\) 本身）。故有：

\[dep[x] \ge dep[w] \]

当且仅当 \(x = w\) 时等号成立。因此，区间 \([l, r]\) 内深度最小的节点恰好就是 \(w\)，即：

\[\text{LCA}(u, v) = \arg\min_{i \in [l, r]} dep[\text{euler}[i]] \]

证毕。

\(\text{0x02.2}\) RMQ求法 \(\text{RMQ Calculation Method}.\)

你该不会认为这章最简单吧
你该不会直接套ST表吧，很显然，还是太不优秀了
当然不会直接套 ST 表。注意到我们的欧拉序有一个极其特殊的性质：相邻两个元素的深度差恰好为 \(\pm 1\)。这引出了解决一般 RMQ 问题最优秀的算法之一——\(\pm 1\) RMQ，它可以将预处理复杂度压到真正的 \(O(n)\)，同时保持 \(O(1)\) 查询。

\(\pm 1\) RMQ 算法

我们面对的序列 \(A[0..m-1]\)（此处 \(m = 2n-1\)，即欧拉序长度）满足：

\[|A[i] - A[i-1]| = 1, \quad \forall i \in [1, m-1] \]

我们要在线回答 \(\min_{i \in [l, r]} A[i]\) 的位置。
算法的核心思想是分块 + 状态压缩
第一步：分块与块间稀疏表
令块大小 \(B = \lfloor \frac{\log_2 m}{2} \rfloor\)（在 \(n=10^5\) 时 \(B \approx 8\)）。将序列划分为 \(\lceil m/B \rceil\) 个块。
对块的最小值建立稀疏表（Sparse Table）。具体地，令 \(b_i = \min\{\text{第 } i \text{ 块中的 } A \text{ 值}\}\)，在数组 \(b\) 上运行标准 ST 表预处理。这一步时空复杂度均为 \(O(\frac{m}{B} \log \frac{m}{B})\)，由于 \(B = \Theta(\log n)\)，这其实是 \(O(n)\) 的。
第二步：块内本质类的数量
对于块内查询，若对整个数组的每一块都暴力跑 ST 表或全预处，空间会爆炸。但注意到 \(\pm 1\) 性质把块内的“形状”限制在极小的范围内。
考虑任意一个长度为 \(B\) 的块，对其内部元素作差分：

\[\Delta_k = A[\text{start}+k] - A[\text{start}+k-1] \in \{+1, -1\}, \quad k=1..B-1 \]

因此，给定该块的首元素值，整个块由这个长度为 \(B-1\) 的 \(\pm 1\) 差分序列唯一决定其相对形态。差分序列总共只有 \(2^{B-1}\) 种。由 \(B \approx \frac{1}{2}\log_2 m\)，得种类数约为：

\[2^{B-1} \le 2^{(\log_2 m)/2} = \sqrt{m} \]

这是一个远远小于 \(m\) 的数量级（\(n=10^5\) 时约 \(300\) 多种）。
第三步：块内查询的预打表
对于这至多 \(\sqrt{m}\) 种差分类型，我们完全可以预处理出每一种类型在任意区间 \([l', r']\)（\(0 \le l' \le r' < B\)）内的最小值位置。
第四步：回答查询
对于一个查询 \([l, r]\)：

• 若 \(l, r\) 在同一块内，直接用块内预打表结果，\(O(1)\)。
• 若跨块，则区间被分为：左端块的后缀 + 中间若干整块 + 右端块的前缀。
  • 左端块后缀、右端块前缀：分别用块内预打表 \(O(1)\) 得到最小值位置。
  • 中间整块：在第一步的块稀疏表上做一次 \(O(1)\) RMQ。
  • 在得到的至多三个候选位置中，比较它们在原序列 \(A\) 中的深度，选取最小的那个。\(O(1)\)。

\(\text{0x03}\). 时间复杂度分析 \(\text{Time Complexity Analysis}\).

\(\text{0x03.1}\) 符号约定与基础规模

设树有 \(n\) 个节点。进行一次深度优先遍历（DFS）得到欧拉序，欧拉序的长度 \(m\) 具有如下性质：

性质2（欧拉序长度）
对于 \(n \ge 1\)，欧拉序的长度 \(m = 2n - 1\)。
证明. 在DFS过程中，每个非根节点被记录两次：一次进入，一次回溯至父节点；根节点被记录一次进入，且最后一次回溯不产生新的记录。总计记录次数为 \(2(n-1) + 1 = 2n-1\)。
故 \(m = \Theta(n)\)，在后继复杂度分析中可直接视 \(m\) 与 \(n\) 同阶。

我们的目标是在序列 \(A[0..m-1]\)（此处 \(A[i] = \text{dep}[\text{euler}[i]]\)）上支持区间最小值位置查询，并且序列满足 \(\pm 1\) 性质：

\[|A[i] - A[i-1]| = 1,\quad \forall i\in[1,m-1] \]

\(\text{0x03.2}\) 分块与块间稀疏表

令块大小 \(B = \left\lfloor \dfrac{\log_2 m}{2} \right\rfloor\)。将 \(A\) 划分为 \(K = \left\lceil \dfrac{m}{B} \right\rceil\) 个块，记第 \(j\) 个块的最小值（按深度）为 \(b_j\)。

对数组 \(b[0..K-1]\) 建立稀疏表（Sparse Table），以支持在 \(O(1)\) 时间内查询任意连续块区间的最小值位置。稀疏表的预处理时间复杂度为 \(O(K \log K)\)，空间复杂度也为 \(O(K \log K)\)。

块间稀疏表复杂度计算：
已知 \(B = \left\lfloor \frac{1}{2}\log_2 m \right\rfloor = \Theta(\log n)\)，于是块数

\[K = \left\lceil \frac{m}{B} \right\rceil = O\!\left(\frac{m}{\log m}\right) = O\!\left(\frac{n}{\log n}\right). \]

代入稀疏表开销：

\[O(K \log K) = O\!\left( \frac{m}{\log m} \cdot \log\!\left(\frac{m}{\log m}\right) \right) = O\!\left( \frac{m}{\log m} \cdot (\log m - \log\log m) \right) = O(m) = O(n). \]

因此块间稀疏表的预处理时间与空间均为 \(O(n)\)。

\(\text{0x03.3}\) 块内本质类的数量与预打表

对于任意一个长度为 \(B\) 的块，给定其首元素的值，该块的相对形态完全由长度为 \(B-1\) 的差分序列

\[\Delta_k = A[\text{start}+k] - A[\text{start}+k-1] \in \{+1,-1\},\quad k=1..B-1 \]

决定。因此可能的差分序列种类数为

\[C = 2^{B-1}. \]

由 \(B\) 的定义可得上界：

\[B-1 < \frac{\log_2 m}{2} \quad\Rightarrow\quad C = 2^{B-1} < 2^{\frac{1}{2}\log_2 m} = \sqrt{m}. \]

故 \(C = O(\sqrt{m}) = O(\sqrt{n})\)，种类数量远小于 \(n\)。

对每一种差分类型，我们都可以预处理出一个 \(B \times B\) 的查询表，存放该块内所有区间 \([l',r']\)（\(0 \le l' \le r' < B\)）上最小值的位置（相对于块起始的偏移）。构建该表的时间为 \(O(B^2)\)，空间也为 \(O(B^2)\)。

块内预打表复杂度计算：
类型数 \(C = O(\sqrt{m})\)，每类耗时 \(O(B^2)\)，因此总预处理时间为

\[O(C \cdot B^2) = O\!\left( \sqrt{m} \cdot \left(\frac{\log m}{2}\right)^2 \right) = O\!\left( \sqrt{n} \cdot \log^2 n \right) = o(n). \]

同样，块内打表所需额外空间为 \(O(\sqrt{n} \cdot \log^2 n) = o(n)\)。

\(\text{0x03.4}\) 单次查询的时间复杂度

对于一次区间查询 \([l, r]\)，分为两种情况：

1. 若 \(l\) 与 \(r\) 位于同一块内：直接使用该块对应的块内预打表，在 \(O(1)\) 时间内返回最小值位置。
2. 若 \(l\) 与 \(r\) 跨越多个块：
   • 左端块的后缀查询：使用块内预打表，\(O(1)\)；
   • 中间连续整块的查询：使用块间稀疏表进行一次 RMQ，\(O(1)\)；
   • 右端块的前缀查询：使用块内预打表，\(O(1)\)；
   • 比较上述至多三个候选位置的深度值，取深度最小者，\(O(1)\)。

因此无论何种情形，单次查询均可在严格 \(O(1)\) 时间内完成。

\(\text{0x03.5}\) 总体复杂度

将欧拉序生成、深度数组计算、\(\pm 1\) RMQ 预处理与单次查询的开销汇总如下：

阶段	时间复杂度	空间复杂度
DFS 生成欧拉序、深度及首次出现位置	\(O(n)\)	\(O(n)\)
块间稀疏表预处理	\(O(n)\)	\(O(n)\)
块内本质类预打表	\(o(n)\)（亚线性）	\(o(n)\)（亚线性）
总预处理	\(O(n)\)	\(O(n)\)
单次 LCA 查询	\(O(1)\)	—

\(\text{0x04}\). 代码实现 \(\text{Code implementation}\).

自己写，不要总想抄。这是信息学竞赛，不是文科。
以P3379为题

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int block_size;
vector<int> eul,dep,fst;
vector<vector<int>> tree;
vector<int> block,belong,lookup;

void dfs(int now,int pre,int step){
    dep[now]=step;
    eul.push_back(now);
    fst[now]=min(fst[now],(int)eul.size()-1);
    for(int i=0;i<tree[now].size();i++){
        if(tree[now][i]==pre){
            continue;
        }
        int nxt=tree[now][i];
        dfs(nxt,now,step+1);
        eul.push_back(now);
    }
    return ;
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    int n,m,s;
    cin >> n >> m >> s;
    fst.resize(2*n+1,INT_MAX);
    dep.resize(n+1);
    tree.resize(n+1);
    for(int i=0;i<n-1;i++){
        int x,y;
        cin >> x >> y;
        tree[x].push_back(y);
        tree[y].push_back(x);
    }
    eul.reserve(2*n-1);
    dfs(s,-1,0);
    int len=eul.size();
    vector<int> dep_eul(len);
    for(int i=0;i<len;++i) dep_eul[i]=dep[eul[i]];
    int B=1;
    if(len>2){
        int log_len=31-__builtin_clz(len);
        B=max(1,log_len/2);
    }
    int nb=(len+B-1)/B;
    block.resize(len);
    vector<int> type(nb,0);
    for(int i=0;i<len;++i) block[i]=i/B;
    for(int b=0;b<nb;++b){
        int L=b*B,R=min(len,L+B);
        int mask=0;
        for(int i=L+1;i<R;++i) if(dep_eul[i]>dep_eul[i-1]) mask|=(1<<(i-L-1));
        type[b]=mask;
    }
    int tot=(B>1)?(1<<(B-1)):1;
    lookup.assign(tot*B*B,0);
    for(int mask=0;mask<tot;++mask){
        vector<int> rel(B,0);
        for(int i=1;i<B;++i){
            if((mask>>(i-1))&1) rel[i]=rel[i-1]+1;
            else rel[i]=rel[i-1]-1;
        }
        int base=mask*B*B;
        for(int l=0;l<B;++l){
            int p=l;
            for(int r=l;r<B;++r){
                if(rel[r]<rel[p]) p=r;
                lookup[base+l*B+r]=p;
            }
        }
    }
    vector<int> bmin(nb);
    for(int b=0;b<nb;++b){
        int L=b*B,R=min(len,L+B);
        int best=L;
        for(int i=L+1;i<R;++i) if(dep_eul[i]<dep_eul[best]) best=i;
        bmin[b]=best;
    }
    int K=0;
    while((1<<K)<=nb) ++K;
    vector<vector<int>> st(nb,vector<int>(K));
    for(int i=0;i<nb;++i) st[i][0]=bmin[i];
    for(int j=1;j<K;++j){
        for(int i=0;i+(1<<j)-1<nb;++i){
            int a=st[i][j-1],b=st[i+(1<<(j-1))][j-1];
            st[i][j]=dep_eul[a]<dep_eul[b]?a:b;
        }
    }
    auto qblock=[&](int b,int l,int r)->int{
        int idx=type[b]*B*B+l*B+r;
        return b*B+lookup[idx];
    };
    auto rmq=[&](int l,int r)->int{
        if(l>r) swap(l,r);
        int bl=block[l],br=block[r];
        if(bl==br) return qblock(bl,l-bl*B,r-bl*B);
        int a1=qblock(bl,l-bl*B,B-1);
        int a2=qblock(br,0,r-br*B);
        int best=dep_eul[a1]<dep_eul[a2]?a1:a2;
        if(bl+1<=br-1){
            int midlen=br-bl-1;
            int k=31-__builtin_clz(midlen);
            int m1=st[bl+1][k];
            int m2=st[br-(1<<k)][k];
            int amid=dep_eul[m1]<dep_eul[m2]?m1:m2;
            if(dep_eul[amid]<dep_eul[best]) best=amid;
        }
        return best;
    };
    while(m--){
        int u,v;
        cin>>u>>v;
        int l=fst[u],r=fst[v];
        if(l>r) swap(l,r);
        int pos=rmq(l,r);
        cout<<eul[pos]<<'\n';
    }
    return 0;
}