现有 LTV 预测工作主要分为两种：一种是直接基于 MSE 建模 LTV；一种是两阶段建模，先用BCE建模付费概率，然后用MSE建模付费金额，排除 LTV 为0的样本的影响
但是LTV 数据的分布及其特殊，存在大量零值（大量客户是"一次性购买者"，其 residual LTV = 0）和严重的高偏态连续值（少数高价值客户的 LTV 比普通客户高出几个数量级）。现有使用 MSE 损失的工作试图用一个单一的连续分布去拟合两个本质不同的群体，结果是"两边不讨好"；使用两阶段建模又需要两个模型、复杂度高，MSE 对异常值敏感
本文主要提出了 Zero-Inflated LogNormal（ZILN） 损失函数本文来同时建模用户是否付费以及付费金额，其中第一项用交叉熵来建模用户是否付费，第二项用对数正态分布建模 LTV（假设了用户在已知付费的前提下付费金额服从对数正态分布），其中 \(x\) 为真实值，均值 \(\mu\) 和方差 \(\sigma\) 为模型的输出值：
\[L_{\text{ZILN}}(x; p, \mu, \sigma) = L_{\text{CrossEntropy}}(1_{\{x>0\}}; p) + 1_{\{x>0\}}L_{\text{Lognormal}}(x; \mu, \sigma) \]
\[L_{\text{Lognormal}}(x; \mu, \sigma) = \log(x\sigma\sqrt{2\pi}) + \frac{(\log x - \mu)^2}{2\sigma^2} \]
线上 infer 时模型的预估输出为学到的分布的期望 \(\exp(\mu + \sigma^2 / 2)\)，最优预测会自动大于观测样本的算术平均；此外，从图中可以看到（真实值是 20，横坐标是模型输出的点预测值），在原始值空间中 lognormal loss 对高值的惩罚比 MSE 小。综上所述，对数正态分布所以更匹配 LTV 数据 "零值多、右尾厚" 的分布特征
本文使用 DNN 作为模型架构，DNN 的最后一层包含 3 个输出，分别表示付费概率、均值 μ 和方差 σ（分别使用 sigmoid、identity、softplus 激活函数）。最终通过 ZILN 混合损失实现一个模型同时完成分类和回归两个任务
Gini 系数是经济学中衡量收入或财富不平等程度的指标，值越大代表越不平等，本文对这个原始概念做了改造以用于 LTV 数据：
按客户的真实 LTV 从大到小排序
画出 Lorenz 曲线：横轴是累积客户百分比，纵轴是累积 LTV 百分比（20% 的客户贡献了 80% 的 LTV 即 80/20 法则）
Gini 系数 = Lorenz 曲线与 45° 对角线之间面积的两倍
所以标签 Gini 系数反映了客户消费的不平等程度，值越大说明头部客户越集中。本文还引入归一化 Gini 系数：Normalized Gini = (模型 Gini 系数) / (标签 Gini 系数) 用来衡量模型的区分度，有没有把真正的高价值用户排到前面
校准图（Decile Chart）的构建方法：
把所有客户按预测 LTV 从低到高排序
均匀分成 10 组（每组 10% 的客户，称为一个 decile）
对每个 decile，分别计算 该组内预测 LTV 的平均值 和 真实 LTV 的平均值
用柱状图并排展示这两个均值
这篇是谷歌在 LTV 领域非常经典的一篇论文，给出了一个将分类和回归集成在一个 Loss 中的比较好的方案（ZILN 混合损失），也给后续所有工作都提供了一个新的视角
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