本章会介绍用于评估聚类模型的指标SC系数和CH系数，并解释其为什么可以用于聚类模型的评估

一、SC轮廓系数法（Silhouette Coefficient）

轮廓系数法同时考虑簇内的内聚程度(Cohesion)与簇间的分离程度(Separation)，具体计算过程如下：

1. 计算每一个样本 \(i\) 到同簇内其他样本的平均距离 \(a_i\)，该值越小，代表簇内样本相似度越高。
2. 计算每一个样本 \(i\) 到最近其他簇 \(j\) 内所有样本的平均距离 \(b_{ij}\)，该值越大，代表该样本越不容易被误分到其他簇。
3. 通过公式计算单个样本的轮廓系数：

\[S = \frac{b-a}{\max(a,b)} \]

4. 取全部样本轮廓系数的平均值作为整体聚类效果评估指标。
5. 轮廓系数取值范围：\([-1, 1]\)，SC数值越接近1，代表聚类效果越好。

参数说明

• \(a\)：样本\(i\)到自身簇内其余样本的平均距离
• \(b\)：样本\(i\)到所有其他簇平均距离中的最小值
• 我们希望\(a\)越小越好（簇内样本接近），\(b\)越大越好（各簇之间样本远离）；当\(b\)变大时，\(S\)变大，当\(a\)变小时，\(S\)变小。

二、CH系数（Calinski-Harabasz）

CH 系数综合考虑簇内的内聚程度、簇外的离散程度以及聚类质心的个数。

优化目标：类别内部数据的距离平方和越小越好，类别之间的距离平方和越大越好，聚类的类别数量越少越好。

1.计算公式

\[\text{CH}(k) = \frac{SSB}{SSW} \cdot \frac{m-k}{k-1} \]

\[SSW = \sum_{i=1}^{m} \left\| x_i - C_{pi} \right\|^2 \]

\[SSB = \sum_{j=1}^{k} n_j \left\| C_j - \bar{X} \right\|^2 \]

SSW（簇内距离，等价于SSE）

• \(C_{pi}\)：当前样本所属簇的质心
• \(x_i\)：单个样本
• 含义：所有样本点到自身簇质心的距离平方累加和，用来衡量簇内的内聚程度
• 指标特性：\(SSW\) 越小，簇内样本越紧密，聚类效果越好

SSB（簇间距离）

• \(C_j\)：第\(j\)个簇的质心
• \(\bar{X}\)：全部样本的全局均值
• \(n_j\)：第\(j\)个簇内的样本数量
• 含义：衡量不同簇之间的分离程度
• 指标特性：\(SSB\) 越大，簇与簇之间区分越明显

参数说明

• \(m\)：总样本数量
• \(k\)：聚类质心（簇）的个数
• \(SSW\)越小，说明各簇之前越接近，CH系数越大；\(SSB\) 越大，相当于各簇之前越离散，CH系数越大；K越小，CH也会变大；因此我们希望寻找CH更大的模型。

CH系数评价规则

CH系数数值越大，代表簇内越紧凑、簇间越分散，整体聚类效果越优。

三、代码实现

导入相关的库

import os
os.environ['OMP_NUM_THREADS'] = '4' # 设置OMP程序运行时使用的线程数
from sklearn.cluster import KMeans
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import make_blobs
from sklearn.metrics import calinski_harabasz_score,silhouette_score

1.定义函数，演示：SC轮廓系数法

def dm02_sc():
    # 1. 定义sc列表，记录：每个K值的sc值
    sc_list = []

    # 2.生成数据集. 参1：样本数量；参2：特征数量；参3：4个簇；参4：标准差
    x,y = make_blobs(
        n_samples=1000,
        n_features=2,
        centers=[[-1,-1],[0,0],[1,1],[2,3]],
        cluster_std=[0.4,0.2,0.2,0.2],
        random_state=23
    )
    # 3.for 训练遍历，获取到每个K值，计算其对应的sc值，并添加到sc_list列表中
    for k in range(2,100): #考虑簇外，至少两个簇
        # 3.1 创建Kmeans对象.参1：簇的数量；参2：最大迭代次数；参3：固定的随机数种子
        estimator = KMeans(n_clusters=k,max_iter=100,random_state=23)
        # 3.2 训练模型
        estimator.fit(x)
        # 3.3 模型预测
        y_pred = estimator.predict(x)
        # 3.4 获取每个簇的sc值
        sc_value = silhouette_score(x,y_pred)
        # 3.5 将每个k值对应的sc值，添加到sc_list列表中
        sc_list.append(sc_value)
    # 4.绘制sc曲线-->数据可视化
    # 4.1 创建画布，指定：画布的尺寸
    plt.figure(figsize=(20,10))
    # 4.2 设置标题
    plt.title('sc value')
    # 4.3 设置x的刻度
    plt.xticks(range(2,100,3))
    # 4.4 添加x轴，y轴的标签
    plt.xlabel('k')
    plt.ylabel('sc')
    # 4.5 绘制网格
    plt.grid()
    # 4.6 绘制折线图
    # 参1：k值；参2：该k值对应的sc值
    plt.plot(range(2,100),sc_list)
    # 4.7 显示图像
    plt.show()
dm02_sc()

2.定义函数，演示：ch轮廓系数法

def dm03_ch():
    # 1. 定义ch列表，记录：每个K值的ch值
    ch_list = []

    # 2.生成数据集. 参1：样本数量；参2：特征数量；参3：4个簇；参4：标准差
    x,y = make_blobs(
        n_samples=1000,
        n_features=2,
        centers=[[-1,-1],[0,0],[1,1],[2,3]],
        cluster_std=[0.4,0.2,0.2,0.2],
        random_state=23
    )
    # 3.for 训练遍历，获取到每个K值，计算其对应的ch值，并添加到ch_list列表中
    for k in range(2,100): #考虑簇外，至少两个簇
        # 3.1 创建Kmeans对象.参1：簇的数量；参2：最大迭代次数；参3：固定的随机数种子
        estimator = KMeans(n_clusters=k,max_iter=100,random_state=23)
        # 3.2 训练模型
        estimator.fit(x)
        # 3.3 模型预测
        y_pred = estimator.predict(x)
        # 3.4 获取每个簇的ch值
        ch_value = calinski_harabasz_score(x,y_pred)
        # 3.5 将每个k值对应的ch值，添加到ch_list列表中
        ch_list.append(ch_value)
    # 4.绘制ch曲线-->数据可视化
    # 4.1 创建画布，指定：画布的尺寸
    plt.figure(figsize=(20,10))
    # 4.2 设置标题
    plt.title('ch value')
    # 4.3 设置x的刻度
    plt.xticks(range(2,100,3))
    # 4.4 添加x轴，y轴的标签
    plt.xlabel('k')
    plt.ylabel('ch')
    # 4.5 绘制网格
    plt.grid()
    # 4.6 绘制折线图
    # 参1：k值；参2：该k值对应的ch值
    plt.plot(range(2,100),ch_list)
    # 4.7 显示图像
    plt.show()
dm03_ch()