1948年，美国数学家克劳德·香农发表论文《通信的数学理论》（A Mathematical Theory of Communication），奠定了信息论的基础。
今天，信息论在信号处理、数据压缩、自然语言等许多领域，起着关键作用。虽然，它的数学形式很复杂，但是核心思想非常简单，只需要中学数学就能理解。
本文使用一个最简单的例子，帮助大家理解信息论。
一、词汇的编码
小张是我的好朋友，最近去了美国。
我们保持着邮件联系。小张写信的时候，只使用4个词汇：狗，猫，鱼，鸟。
信的所有内容就是这4个词的组合。第一封信写着"狗猫鱼鸟"，第二封信写"鱼猫鸟狗"。
信件需要二进制编码，在互联网传递。两个二进制位就可以表示四个词汇。
- 狗 00
- 猫 01
- 鱼 10
- 鸟 11
所以，第一封信"狗猫鱼鸟"的编码是00011011，第二封信"鱼猫鸟狗"的编码是10011100。
二、词汇的分布
最近，小张开始养狗，信里提到狗的次数，多于其他词汇。假定概率分布如下。
- 狗：50%
- 猫：25%
- 鱼：12.5%
- 鸟：12.5%
小张的最新一封信是这样的。
狗狗狗狗猫猫鱼鸟
上面这封信，用前一节的方法进行编码。
0000000001011011
一共需要16个二进制。互联网的流量费很贵，有没有可能找到一种更短编码方式？
很容易想到，"狗"的出现次数最多，给它分配更短的编码，就能减少总的长度。请看下面的编码方式。
- 狗 0
- 猫 10
- 鱼 110
- 鸟 111
使用新的编码方式，小张的信"狗狗狗狗猫猫鱼鸟"编码如下。
00001010110111
这时只需要14个二进制位，相当于把原来的编码压缩了12.5%。
根据新的编码，每个词只需要1.75个二进制位（14 / 8）。可以证明，这是最短的编码方式，不可能找到更短的编码，详见后文。
三、编码方式的唯一性
前一节的编码方式，狗的编码是0，这里的问题是，可以把这个编码改成1吗，即下面的编码可行吗？
- 狗 1
- 猫 10
- 鱼 110
- 鸟 111
回答是否定的。如果狗的编码是1，会造成无法解码，即解码结果不唯一。110有可能是"狗猫"，也可能是"鱼"。只有"狗"为0，才不会造成歧义。
下面是数学证明。一个二进制位有两种可能0和1，如果某个事件有多于两种的结果（比如本例是四种可能），就只能让0或1其中一个拥有特殊含义，另一个必须空出来，保证能够唯一解码。比如，0表示狗，1就必须空出来，不能有特殊含义。
同理，两个二进制位可以表示四种可能：00、01、10和11。上例中，0开头的编码不能用了，只剩下10和11可用，用10表示猫，为了表示"鱼"和"鸟"，必须将11空出来，使用三个二进制位表示。
这就是，上一节的编码方式是如何产生的。
四、编码与概率的关系
根据前面的讨论，可以得到一个结论：概率越大，所需要的二进制位越少。
- 狗的概率是50%，表示每两个词汇里面，就有一个是狗，因此单独分配给它1个二进制位。
- 猫的概率是25%，分配给它两个二进制位。
- 鱼和鸟的概率是12.5%，分配给它们三个二进制位。
香农给出了一个数学公式。L表示所需要的二进制位，p(x)表示发生的概率，它们的关系如下。
通过上面的公式，可以计算出某种概率的结果所需要的二进制位。举例来说，"鱼"的概率是0.125，它的倒数为8， 以 2 为底的对数就是3，表示需要3个二进制位。
知道了每种概率对应的编码长度，就可以计算出一种概率分布的平均编码长度。
上面公式的H，就是该种概率分布的平均编码长度。理论上，这也是最优编码长度，不可能获得比它更短的编码了。
接着上面的例子，看看这个公式怎么用。小张养狗之前，"狗猫鱼鸟"是均匀分布，每个词平均需要2个二进制位。
H = 0.25 x 2 + 0.25 x 2 + 0.25 x 2 + 0.25 x 2
= 2
养狗之后，"狗猫鱼鸟"不是均匀分布，每个词平均需要1.75个二进制位。
H = 0.5 x 1 + 0.25 x 2 + 0.125 x 3 + 0.125 x 3
= 1.75
既然每个词是 1.75 个二进制位，"狗狗狗狗猫猫鱼鸟"这8个词的句子，总共需要14个二进制位（8 x 1.75）。
五、信息与压缩
很显然，不均匀分布时，某个词出现的概率越高，编码长度就会越短。
从信息的角度看，如果信息内容存在大量冗余，重复内容越多，可以压缩的余地就越大。日常生活的经验也是如此，一篇文章翻来覆去都是讲同样的内容，摘要就会很短。反倒是，每句话意思都不一样的文章，很难提炼出摘要。
图片也是如此，单调的图片有好的压缩效果，细节丰富的图片很难压缩。
由于信息量的多少与概率分布相关，所以在信息论里面，信息被定义成不确定性的相关概念：概率分布越分散，不确定性越高，信息量越大；反之，信息量越小。
六、信息熵
前面公式里的H（平均编码长度），其实就是信息量的度量。H越大，表示需要的二进制位越多，即可能发生的结果越多，不确定性越高。
比如，H为1，表示只需要一个二进制位，就能表示所有可能性，那就只可能有两种结果。如果H为6，六个二进制位表示有64种可能性，不确定性大大提高。
信息论借鉴了物理学，将H称为"信息熵"（information entropy）。在物理学里，熵表示无序，越无序的状态，熵越高。
七、信息量的实例
最后，来看一个例子。如果一个人的词汇量为10万，意味着每个词有10万种可能，均匀分布时，每个词需要 16.61 个二进制位。
log₂(100, 000) = 16.61
所以，一篇1000个词的文章，需要 1.6 万个二进制位（约为 2KB）。
16.61 x 1000 = 16,610
相比之下，一张 480 x 640、16级灰度的图片，需要123万个二进制位（约为 150KB）。
480 x 640 x log₂(16) = 1,228,800
所以，一幅图片所能传递的信息远远超过文字，这就是"一图胜千言"吧。
上面的例子是均匀分布的情况，现实生活中，一般都是不均匀分布，因此文章或图片的实际文件大小都是可以大大压缩的。
八、参考链接
- Visual Information Theory, by Christopher Olah
- Information Theory (PDF), Roni Rosenfeld
（完）