О баллистической кривой

Баллистическая кривая — это траектория материальной точки, движущейся в сопротивляющейся среде под действием силы тяжести.

Основной пример баллистической кривой — это траектория дробины в атмосфере.

Сила сопротивления воздуха считается направленной против скорости материальной точки:

$\mathbf{F} = -f(\mathbf{v}) \mathbf{v}.$

Чаще всего рассматриваются гипотезы квадратичного и линейного сопротивления. В этих случаях $f = c_1|\mathbf{v}|$ и соответственно. Здесь — положительные постоянные. В обоих случаях система интегрируется в квадратурах. Существуют и другие случаи интегрируемости (см. Аппель П. Теоретическая механика. Т. 1. М.: Физматлит, 1960).

Характерной чертой данной задачи является наличие у траектории частицы вертикальной асимптоты и существование предельной скорости, к которой стремится скорость частицы.

Оба этих свойства выводятся в учебниках путём явного интегрирования уравнений движения.

Мы опишем довольно широкий класс сил сопротивления, для которых траектория обладает указанными свойствами. В этом классе уравнения движения уже не обязаны интегрироваться в квадратурах, и динамика исследуется методами качественного анализа.

Итак, второй закон Ньютона для частицы массы имеет вид:

$m\mathbf{\dot v}=m\mathbf g-\mathbf vf(\mathbf{v}).$

Введём декартову систему координат так, чтобы ось была направлена вертикально вверх. Тогда второй закон Ньютона принимает вид:

$m\dot v_x = -v_x f(v_x, v_y), \qquad(1)$ $m\dot v_y = -mg - v_y f(v_x, v_y), \quad \mathbf v=(v_x,v_y). \qquad(2)$

Будем считать, что выполнены следующие условия:

1) $f \in C(\mathbb{R}^2) \cap C^1(\mathbb{R}^2 \setminus \{0\})$ ;

2) равенство влечет ;

3) $f \ge 0$ в $\mathbb{R}^2$ ;

4) найдутся такие положительные числа и , что если $|\mathbf{v}| > r$ , то $f(\mathbf{v}) > k$ ;

5) уравнение имеет единственное решение , причем

$\frac{d(w f(0, w))}{dw} \bigg|_{w=v_y^*} \ne 0.$

Из данных условий вытекают неравенства

$\frac{d(w f(0, w))}{dw} \bigg|_{w=v_y^*} > 0, \qquad (3)$

и .

Теорема. Все решения системы (1), (2) определены при $t \in [0, \infty)$ . Каждая траектория $\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t))$ имеет вертикальную асимптоту:

$x(t) \to x^*, \quad y(t) \to -\infty \quad \text{при} \quad t \to \infty.$

Более того,

$v_x(t) \to 0, \quad v_y(t) \to v_y^*.$

Доказательство.

Дальнейшее изложение требует от читателя владения аппаратом дифференциальных уравнений в объеме книги: Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: Едиториал УРСС, 2004.

В силу условия 4) и энергетического неравенства

$\frac{m}{2}\frac{d}{dt}|\mathbf{v}|^2 = m(\mathbf{g}, \mathbf{v}) - |\mathbf{v}|^2 f(\mathbf{v}) \le mg|\mathbf{v}| - |\mathbf{v}|^2 f(\mathbf{v})$

все решения системы (1), (2) ограничены и, соответственно, бесконечно продолжаемы вправо.

Покажем, что $v_x(t) \to 0$ .

Действительно, перепишем уравнение (1) в интегральной форме:

$v_x(t) = v_x(0) \exp \left( -\frac{1}{m} \int_0^t f(\mathbf{v}(\tau)) \, d\tau \right).$

В силу условия 3) экспонента является невозрастающей функцией времени , поэтому существует предел $v_x(t) \to v_x^*$ . Таким образом, $\omega$ -предельное множество данного решения лежит на прямой $\{v_x = v_x^*\}$ .

Всякое решение системы (1), (2), лежащее в $\omega$ -предельном множестве, имеет вид

$v_x(t) = v_x^*, \quad v_y = v_y(t).$

Подставим это решение в уравнение (1):

Предположим, что $v_x^* \neq 0$ . Тогда . В силу условия 2) должно быть . Полученное противоречие доказывает, что .

На прямой $\{v_x = 0\}$ уравнение (1) удовлетворяется тождественно, а динамика описывается уравнением (2), которое принимает вид:

$m\dot{v}_y = -mg - v_y f(0, v_y). \qquad (4)$

Легко показать, что все решения этого уравнения асимптотически стремятся к единственному положению равновесия . Из этого наблюдения следует, что всякое замкнутое инвариантное множество уравнения (4) содержит точку , а значит, $\omega$ -предельное множество любого решения системы (1), (2) содержит точку .

Следовательно, для любого решения системы (1), (2) найдётся последовательность $t_k \to \infty$ такая, что

$(v_x, v_y)(t_k) \to (0, v_y^*). \qquad (5)$

Линеаризуем систему (1), (2) в окрестности положения равновесия . Система линейного приближения имеет вид:

$m \begin{pmatrix} \dot{\xi} \\ \dot{\eta} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-f^* & 0 \\-v_y^* f_1 & -(f^* + f_2 v_y^*)\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \xi \\ \eta \end{pmatrix},$

где , $f_1 = \frac{\partial f}{\partial v_x}(0, v_y^*)$ , $f_2 = \frac{\partial f}{\partial v_y}(0, v_y^*)$ .

Собственные числа этой системы отрицательны:

$-\frac{f^*}{m} < 0, \quad -\frac{f^* + f_2 v_y^*}{m} < 0.$

Первое неравенство вытекает из условий 3),5); второе — из формулы (3).

Таким образом, положение равновесия экспоненциально устойчиво. Поскольку для каждого решения верно (5), т.е. каждое решение посещает сколь угодно малую окрестность положения равновесия, имеем

$(v_x, v_y)(t) \to (0, v_y^*), \quad t \to \infty.$

Более того,

$v_x(t) = O(e^{-\alpha t}), \quad v_y(t) = v_y^* + O(e^{-\alpha t}), \qquad (6)$

где положительная константа $\alpha$ связана с собственными числами.

Асимптотики $x(t) \to x^*$ и $y(t) \to -\infty$ следуют непосредственно из формул (6) и равенств

$x(t) = x(0) + \int_0^t v_x(\tau) d\tau, \quad y(t) = y(0) + \int_0^t v_y(\tau) d\tau.$

Теорема доказана.

推荐订阅源

Все публикации подряд на Хабре