Физика, задача 1.5.9 из Савченко: что с ней не так?

Вот эта задача:

В этой статье обсуждается не методика преподавания данной задачи в средней школе, а методика исследования задачи механики как таковая.

В частности, мы собираемся обосновать следующий тезис: предположение, подчёркнутое красным, избыточно — задача прекрасно решается и без него.

Отметим также (см. конец статьи), что исследование закона движения катушки может оказаться интересной задачей теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Перейдем к изучению системы.

Обозначим через центр катушки, через — конец нити, через — точку контакта катушки с плоскостью, а через — точку отрыва нити от катушки.

Начало подвижной системы координат совпадает с центром катушки, ось направлена вдоль свободного конца нити, а ось проходит через точку . Ось направлена перпендикулярно плоскости рисунка — на зрителя.

Скорость точки задана:

$\boldsymbol{v}_B = v \boldsymbol{e}_y,\quad v>0.\qquad(1)$

Через $\boldsymbol{\omega}$ обозначим угловую скорость катушки: $\boldsymbol{\omega} = \omega \boldsymbol{e}_z$ .

Эта угловая скорость слагается из угловой скорости системы

$\boldsymbol{\omega}^e = \dot{\alpha} \boldsymbol{e}_z$

и угловой скорости катушки относительно системы

$\boldsymbol{\omega}^r = \omega^r \boldsymbol{e}_z,\quad \omega=\omega^r+\dot\alpha.$

Индексами и мы, как обычно, помечаем относительные и переносные скорости соответственно.

Отметим следующие равенства:

$\boldsymbol{v}_O = -\omega R \boldsymbol{e},$

где единичный вектор

$\boldsymbol{e} = \cos\alpha \boldsymbol{e}_y + \sin\alpha \boldsymbol{e}_x$

направлен горизонтально вправо;

$\boldsymbol{OB} = r \boldsymbol{e}_x + y \boldsymbol{e}_y.$

Здесь — координата точки по оси .

Скорость точки относительно системы вычисляется по формуле

$\boldsymbol{v}_B^r = r \omega^r \boldsymbol{e}_y, \quad \dot{y} = r \omega^r.$

Имеем:

$\boldsymbol{v}_B = \boldsymbol{v}_B^r + \boldsymbol{v}_B^e,$

где

$\boldsymbol{v}_B^e = \boldsymbol{v}_O + [\boldsymbol{\omega}^e, \boldsymbol{OB}].$

Итого:

$\boldsymbol{v}_B^e = -(\dot{\alpha} y + \omega R \sin\alpha) \boldsymbol{e}_x + (\dot{\alpha} r - \omega R \cos\alpha) \boldsymbol{e}_y,$ $\boldsymbol{v}_B = -(\dot{\alpha} y + \omega R \sin\alpha) \boldsymbol{e}_x + (\dot{\alpha} r - \omega R \cos\alpha + r \omega^r) \boldsymbol{e}_y.$

Сравнивая последнее равенство с равенством (1), получаем систему:

$\dot{\alpha} y + \omega R \sin\alpha = 0, \qquad (2)$ $\dot{\alpha} r - \omega R \cos\alpha + r \omega^r = v. \qquad (3)$

Эту систему следует дополнить уравнениями, которые уже отмечались ранее:

$\dot{y} = r \omega^r, \quad \omega = \omega^r + \dot{\alpha}. \qquad (4)$

Выражая $\omega^r$ из (3) и подставляя во второе уравнение системы (4), мы получаем ответ задачи:

$\omega = \frac{v}{r- R\cos\alpha}.$

Однако можно продвинуться и дальше. Исключим $\omega^r$ и $\omega$ из системы (2),(3),(4):

$\dot\alpha(y+R\sin\alpha)+\dot y\frac{R}{r}\sin\alpha=0,$ $\dot\alpha r+\dot y=\frac{vr}{r - R \cos \alpha}.$

При

$y > 0, \quad r - R \cos \alpha \neq 0$

полученная система дифференциальных уравнений представима в нормальной форме Коши и, следовательно (по крайней мере при малых ), имеет решение, и притом единственное, при заданных начальных условиях:

$\alpha\big|_{t=0}, \quad y\big|_{t=0}.$

Исследование данной системы ОДУ может оказаться интересной задачей.

推荐订阅源

Все публикации подряд на Хабре