Привет Хабр!
В этот раз воздержусь от обработки статьи нейросетями, для приукрашивания оборотов речи, напишу просто про следующую идею: Матрица Якоби определяет векторную функцию в малой области, линейным способом, за счет чего может обрабатываться методами и линейной и геометрической алгебры.
Можно видеть, что "x" в окрестности "x0" может быть любым. При известных матрице Якоби и значении функции в "x0", для любого "x" можно вычислить в этой окрестности значение функции "u".
Так как "x" любой, можно составить матрицу из двух состояний системы относительно точки "x0".
Умножение любой матрицы Х на матрицу J, дает матрицу, составленную из столбцов X, преобразованных умножением на J.
Такое матричное приращение функции кодирует одновременно изменение функции вдоль Δx, и вдоль Δx`. То есть мы работаем с двумя состояниями одновременно. Индексы матрицы по строкам означают номера координат, индексы по столбцам означают состояния.
Матрица двух состояний функции тогда:
Предположим теперь, что мы каким то образом знаем значение функции в трех не совпадающих точках. Тогда нахождение матрицы Якоби из задачи математического анализа, становится задачей линейной алгебры.
Это дает нам возможность вычисления матрицы Якоби по любой паре значений координат аргумента и функции, без вычисления производных. Любым способом определяем в паре точек значения функции, и таким методом можем пересчитать значения функции в любых точках окрестности для любой сетки известных значений и искомых значений. Вычислив матрицу Якоби, мы можем задать значения функции во всех любых других точках области.
Если же задать производные матрицы Якоби по классике и приращения аргумента дифференциалами, получим и результат по классике.
Что касается смысла разложения произвольной матрицы на кватернион и вектор Паули, то писал об этом тут Давайте объединим линейную и геометрическую алгебры. На простом примере. Часть 1. Это дает возможность интерпретировать происходящее хоть и более абстрактным способом, но и более гибким вычислительно.
Кому интересно, так проще разобраться. Мне лично не попадалось литература, где хотя бы попытку делали такой интерпретации. Если знаете и поделитесь, буду признателен.
Спасибо за внимание!