Сложный

11 мин

17K

Моя статья Почему время замедляется при ускорении? Объяснение, которое вы нигде не найдёте собрала 454 комментария. Большинство из них сводились к одному: «красиво, но где формулы?» Эта статья — ответ.

Здесь не будет метафор про ползунок. Здесь будет математика специальной теории относительности — та самая, которую проходят на втором курсе физфака и которую почему-то считают недоступной для обычного человека. Это неправда.

Оглавление

1. Где я ошибся в первой части — и почему это важно

2. Почему скорость света постоянна: эксперимент который сломал физику

3. Преобразования Лоренца: полный вывод из первых принципов

4. Пространство-время Минковского и инвариантный интервал

5. Световые часы: правильный разбор через системы отсчёта

6. Парадокс близнецов: почему симметрии нет

7. Собственное время и мировая линия

8. Общая теория относительности: когда пространство-время искривляется

1. Где я ошибся в первой части — и почему это важно

В первой статье я использовал метафору «бюджета скорости»: мол, у каждого объекта есть 100% скорости, и он распределяет её между движением в пространстве и движением во времени.

Читатель Dragon_VV написал в комментариях точно:

«Идея про бюджет скорости — красивая метафора, но она не совсем корректна физически. В СТО нет такого закона, что скорость распределяется между двумя направлениями.»

Он прав. Разберём как правильно.

В специальной теории относительности есть понятие 4-скорости — вектор в четырёхмерном пространстве-времени. Его компоненты:

u^μ = (γc, γv_x, γv_y, γv_z)

Где γ (гамма-фактор Лоренца):

γ = 1 / √(1 - v²/c²)

Норма этого вектора инвариантна — одинакова для всех наблюдателей:

u^μ u_μ = γ²c² - γ²v² = γ²(c² - v²) = c²

То есть норма 4-скорости всегда равна c — скорости света. Вот откуда на самом деле берётся идея «фиксированной скорости». Не скорость распределяется — а норма 4-вектора скорости в пространстве-времени постоянна и равна c.

Для покоящегося объекта (v = 0): вся «скорость» направлена вдоль временной оси. Для объекта движущегося со скоростью близкой к c: пространственные компоненты велики, временна́я — мала. Это и есть замедление времени — но правильно описанное через 4-векторы, а не через бюджет.

2. Почему скорость света постоянна: эксперимент который сломал физику

Читатель avshkol спросил прямо: «почему скорость света постоянная?»

Это не аксиома взятая с потолка. Это вывод из эксперимента.

1887 год. Альберт Майкельсон и Эдвард Морли. Физика того времени предполагала существование эфира — среды через которую распространяется свет, аналога воды для волн. Если эфир существует, то Земля движется сквозь него, и скорость света должна отличаться в зависимости от направления — как скорость звука в движущемся воздухе.

Майкельсон построил интерферометр. Два луча света отправлялись перпендикулярно друг другу и возвращались. Если бы скорость света зависела от направления — лучи возвращались бы с разным временем, давая интерференционную картину.

Картины не было. Совсем. Разница скоростей оказалась нулевой с точностью до 10⁻⁸ от скорости света.

Эфира нет. Скорость света одинакова во всех направлениях. Это экспериментальный факт.

Эйнштейн в 1905 году поднял этот факт до статуса постулата: скорость света в вакууме одинакова для всех инерциальных наблюдателей независимо от движения источника или наблюдателя.

Из этого одного постулата (плюс принцип относительности — законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта) вытекает вся специальная теория относительности.

Современные измерения: c = 299 792 458 м/с. Точно. Это не погрешность — метр сегодня определяется через скорость света.

3. Преобразования Лоренца: вывод из первых принципов

Представьте две системы отсчёта. Система S — покоится. Система S’ — движется вдоль оси x со скоростью v относительно S. В момент t = 0 начала координат совпадают.

Нам нужно найти как координаты события (t, x) в системе S связаны с координатами (t’, x’) в системе S’.

Требования:

1. Преобразование линейное (пространство однородно)

2. При v = 0 получаем тождественное преобразование

3. Скорость света c одинакова в обеих системах

Из требований 1 и 2:

x' = γ(x - vt)
t' = γ(t - αx)

Где γ и α — константы которые нужно найти.

Применяем требование 3. Пусть в момент t = 0 из начала координат испускается световой сигнал. В системе S: x = ct. В системе S’: x’ = ct’.

Подставляем:

ct' = γ(ct - vt) = γt(c - v)
t'  = γ(t - αct)  = γt(1 - αc)

Делим первое на второе:

c = (c - v) / (1 - αc)
c(1 - αc) = c - v
c - αc² = c - v
αc² = v
α = v/c²

Теперь находим γ. Рассмотрим начало системы S’ — точку x’ = 0. В системе S она движется: x = vt. Подставляем в x’ = γ(x - vt):

0 = γ(vt - vt) ✓

Используем обратное преобразование (S движется относительно S’ со скоростью -v):

x = γ(x' + vt')

Подставляем x’ и t’:

x = γ(γ(x - vt) + vγ(t - vx/c²))
x = γ²(x - vt + vt - v²x/c²)
x = γ²x(1 - v²/c²)
1 = γ²(1 - v²/c²)

Откуда:

γ = 1 / √(1 - v²/c²)

Итоговые преобразования Лоренца:

x' = γ(x - vt)
y' = y
z' = z
t' = γ(t - vx/c²)

Обратные преобразования:

x  = γ(x' + vt')
t  = γ(t' + vx'/c²)

Из этих четырёх уравнений вытекает всё: замедление времени, сокращение длин, относительность одновременности, E = mc².

Замедление времени как следствие. Рассмотрим часы покоящиеся в системе S’ (x’ = const). Два события: тик и так. В S’ они происходят в одной точке, разделены временем Δt’. В системе S:

Δt = γ · Δt'

γ ≥ 1 всегда. Значит Δt ≥ Δt’. Движущиеся часы идут медленнее — всегда, при любой скорости, в любом направлении.

4. Пространство-время Минковского и инвариантный интервал

В 1908 году математик Герман Минковский (бывший учитель Эйнштейна) показал: СТО — это геометрия четырёхмерного пространства-времени. Эйнштейн поначалу скептически назвал это «излишней учёностью». Позже признал что без геометрии Минковского не создал бы ОТО.

Ключевая идея: между двумя событиями в пространстве-времени существует инвариантный интервал — величина одинаковая для всех наблюдателей:

ds² = c²dt² - dx² - dy² - dz²

Или в компактной форме через метрику Минковского:

ds² = η_μν dx^μ dx^ν

Где η_μν = diag(+1, -1, -1, -1) — метрический тензор пространства-времени.

Три типа интервала:

Почему это важно для блок-вселенной:

Для пространственноподобных событий (ds² < 0) не существует инвариантного понятия «одновременно». Одни наблюдатели видят событие A раньше B. Другие — B раньше A. Оба правы. Нет привилегированного «сейчас».

Именно это и есть математическое основание парадокса Андромеды из первой статьи: события в Андромеде пространственноподобны относительно нас, поэтому их временной порядок зависит от наблюдателя.

Собственное время — это длина мировой линии объекта:

τ = ∫ ds/c = ∫ √(1 - v²/c²) dt

Для покоящегося объекта (v = 0): τ = t. Собственное время совпадает с координатным. Для движущегося: τ < t. Собственное время меньше. Это и есть замедление времени — не иллюзия, а геометрический факт: движущийся объект проходит более короткий путь по временно́й оси пространства-времени.

5. Световые часы: правильный разбор через системы отсчёта

Читатель achekalin написал точное замечание:

«Для друга его часы покоятся, значит в его собственной системе отсчёта фотон летит строго вверх-вниз, а не по диагонали.»

Он абсолютно прав. Разберём правильно.

Световые часы — устройство из двух зеркал на расстоянии L. Фотон отскакивает между ними. Один «тик» = один полный цикл.

В системе отсчёта покоящихся часов (S’): Фотон летит строго вертикально. Расстояние = L. Время одного тика:

Δt' = 2L/c

В системе отсчёта наблюдателя снаружи (S), в которой часы движутся со скоростью v: За время одного тика часы горизонтально сместились на расстояние v·Δt. Фотон при этом летит по диагонали.

Длина диагонального пути по теореме Пифагора:

путь фотона = 2√(L² + (vΔt/2)²)

Поскольку скорость фотона равна c в любой системе отсчёта:

c·Δt = 2√(L² + (vΔt/2)²)

Возводим в квадрат:

c²Δt² = 4L² + v²Δt²
Δt²(c² - v²) = 4L²
Δt² = 4L² / (c² - v²)
Δt  = 2L / √(c² - v²)
Δt  = (2L/c) · 1/√(1 - v²/c²)
Δt  = Δt' · γ

Результат: Δt = γ · Δt’

Движущиеся часы тикают медленнее. И это не слова — это прямой вывод из единственного факта: скорость света одинакова в обеих системах.

Ключевой момент который уточнял achekalin: мы не говорим что «фотон летит по диагонали в обеих системах». В S’ — вертикально. В S — по диагонали. Это две разные, но обе корректные, картины одного события.

6. Парадокс близнецов: почему симметрии нет

Читатель headfire указал на пробел в первой статье:

«В статье описан случай, когда один наблюдатель движется равномерно относительно другого. Про ускорение в статье ни слова.»

Это вопрос парадокса близнецов.

Постановка. Два близнеца: Алиса остаётся на Земле, Борис летит к звезде Вега (25 световых лет) со скоростью 0,99c и возвращается.

На первый взгляд — симметрия: с точки зрения Бориса это Алиса движется. Почему же в итоге Борис моложе?

Ответ: нет симметрии, потому что Борис ускорялся.

Алиса всё время находится в одной инерциальной системе отсчёта. Борис — нет: он разгонялся, тормозил у Веги, разгонялся обратно, тормозил у Земли. В момент разворота он переходил из одной инерциальной системы в другую.

Расчёт через собственное время:

Время Алисы (координатное время):

Δt_Алисы = 2 × 25 св.лет / 0,99c ≈ 50,5 лет

Собственное время Бориса (γ = 1/√(1-0,99²) ≈ 7,09):

Δt_Бориса = Δt_Алисы / γ ≈ 50,5 / 7,09 ≈ 7,1 года

Борис вернётся на 43 года моложе сестры. Это не иллюзия — это измеримый физический факт.

Геометрический смысл. В пространстве-времени Минковского — мировая линия Алисы прямая (геодезическая). Мировая линия Бориса — ломаная с изломом в точке разворота. В геометрии Минковского (в отличие от евклидовой) прямой путь имеет максимальную длину. Длина мировой линии = собственное время.

τ_прямой > τ_ломаной
τ_Алисы > τ_Бориса

Борис моложе потому что прошёл более короткий путь в пространстве-времени. Ускорение — это не отклонение от инерциальности, это физическая кривизна мировой линии.

7. Собственное время и мировая линия

Вернёмся к блок-вселенной с этим аппаратом.

Каждый объект оставляет в пространстве-времени мировую линию — непрерывный след всех событий его существования. Для частицы покоящейся в пространстве мировая линия — вертикальная прямая (только временна́я координата меняется). Для движущейся — наклонная прямая или кривая.

Собственное время объекта — это длина его мировой линии, измеренная метрикой Минковского:

τ = (1/c) ∫ √(c²dt² - dx² - dy² - dz²)
  = ∫ √(1 - v²/c²) dt

Это то время которое показывают часы прикреплённые к объекту. Оно зависит от траектории в пространстве-времени — точно как длина пути в пространстве зависит от маршрута.

Блок-вселенная в этих терминах:

Пространство-время — четырёхмерное многообразие с метрикой Минковского. Все события прошлого, настоящего и будущего существуют в нём как точки. «Сейчас» — это гиперплоскость постоянного координатного времени. Но выбор этой гиперплоскости не инвариантен — разные наблюдатели «режут» блок по-разному, и их гиперплоскости «сейчас» не совпадают.

Единственное что инвариантно — интервал ds² между конкретными событиями. Он одинаков для всех наблюдателей. Это геометрический факт пространства-времени.

8. Общая теория относительности: когда пространство-время искривляется

СТО работает только в инерциальных системах отсчёта — там где нет ускорения и гравитации. Реальная вселенная — не такая. Нужна общая теория относительности.

Эйнштейн работал над ней десять лет — с 1905 по 1915. В ноябре 1915 года он опубликовал уравнения поля. Математик Давид Гильберт вывел те же уравнения из вариационного принципа почти одновременно. Эйнштейн успел на пять дней раньше.

Принцип эквивалентности: лифт который всё объясняет

Представьте что вы стоите в закрытом лифте и чувствуете что вас прижимает к полу. Два варианта: лифт покоится на Земле в поле тяготения, или лифт ускоряется в пустом космосе со значением g = 9,8 м/с².

Никакой эксперимент внутри лифта не позволяет отличить эти два случая.

Это и есть принцип эквивалентности — гравитация и ускорение локально неразличимы. Из него следует: если ускорение искривляет траектории и замедляет время (СТО), то гравитация делает то же самое — потому что они одно и то же.

Значит гравитация — это не сила. Это кривизна пространства-времени.

Метрический тензор: обобщение плоской геометрии

В СТО метрика пространства-времени была плоской — тензор Минковского η_μν = diag(+1, -1, -1, -1). Интервал не менялся от точки к точке.

В ОТО метрика становится динамической. В каждой точке пространства-времени она своя, зависит от распределения масс и энергии:

ds² = g_μν(x) dx^μ dx^ν

Где g_μν(x) — метрический тензор, функция координат. Это и есть «форма» пространства-времени в данной точке.

В пустом пространстве вдали от масс: g_μν → η_μν, ОТО переходит в СТО.

Тензор кривизны Римана

Чтобы описать насколько пространство-время искривлено в данной точке, нужна мера кривизны. Это тензор Римана:

R^ρ_σμν = ∂_μΓ^ρ_νσ - ∂_νΓ^ρ_μσ + Γ^ρ_μλΓ^λ_νσ - Γ^ρ_νλΓ^λ_μσ

Где Γ^ρ_μν — символы Кристоффеля, выражающие связь между метрикой и её производными:

Γ^ρ_μν = (1/2) g^ρσ (∂_μg_νσ + ∂_νg_μσ - ∂_σg_μν)

Из тензора Римана свёрткой получают тензор Риччи R_μν и скалярную кривизну R. Они входят в уравнения Эйнштейна.

Физический смысл: если взять два параллельных луча и пустить их через искривлённое пространство-время — они сойдутся или разойдутся. Степень этого схождения — и есть кривизна Римана. В плоском пространстве параллельные прямые не пересекаются. В искривлённом — пересекаются. Именно так работает гравитационное линзирование.

Уравнения Эйнштейна

Десять лет работы — одна строка:

G_μν = (8πG / c⁴) · T_μν

Или в развёрнутой форме:

R_μν - (1/2) g_μν R + Λg_μν = (8πG / c⁴) · T_μν

Где:

• G_μν (тензор Эйнштейна) — геометрия: как искривлено пространство-время

• T_μν (тензор энергии-импульса) — материя: распределение массы, энергии, давления

• G — гравитационная постоянная Ньютона

• Λ — космологическая постоянная (тёмная энергия)

Джон Уилер сформулировал смысл этих уравнений одной фразой:

«Материя говорит пространству как искривляться. Пространство говорит материи как двигаться.»

Это не метафора — это буквальный физический смысл уравнений. Левая часть — геометрия. Правая — материя. Они равны. Одно определяет другое.

Геодезические: свободное падение как прямая линия

В плоском пространстве-времени свободная частица движется прямолинейно — по геодезической. В искривлённом пространстве-времени геодезические тоже «прямые» — в том смысле что это кратчайшие (точнее, экстремальные по длине) пути.

Уравнение геодезической:

d²x^μ/dτ² + Γ^μ_αβ (dx^α/dτ)(dx^β/dτ) = 0

Свободное падение — это движение по геодезической искривлённого пространства-времени. Не сила тянет яблоко вниз — пространство-время искривлено Землёй, и яблоко просто идёт по прямой в этом искривлённом пространстве.

Орбита Земли вокруг Солнца — геодезическая в пространстве-времени искривлённом Солнцем. Никакой «силы притяжения» нет. Есть только кривизна.

Замедление времени в гравитационном поле

Из ОТО следует: чем сильнее гравитационное поле — тем медленнее идёт время. Это гравитационное красное смещение.

Для слабого поля (вдали от горизонта событий):

Δt_верх / Δt_низ = √(1 - 2GM/rc²)

Где M — масса тела, r — расстояние до центра.

На поверхности Земли (r = R_Земли):

Δt_поверхность / Δt_бесконечность ≈ 1 - GM/(Rc²) ≈ 1 - 6,95×10⁻¹⁰

Это ~45 микросекунд в сутки. Именно на это величину GPS-спутники вынуждены делать гравитационную поправку — в дополнение к специальной.

Без обеих поправок — СТО и ОТО — GPS ошибался бы на 11 км/день (СТО) плюс ещё 45 км/день в противоположную сторону (ОТО). Суммарно: десятки километров ошибки ежесуточно.

Ваш навигатор работает на уравнениях Эйнштейна.

Решение Шварцшильда и чёрные дыры

В 1916 году — через два месяца после публикации уравнений Эйнштейна, прямо с фронта Первой мировой — Карл Шварцшильд нашёл первое точное решение. Метрика для сферически симметричного тела массой M:

ds² = (1 - r_s/r)c²dt² - (1 - r_s/r)⁻¹dr² - r²dΩ²

Где r_s = 2GM/c² — радиус Шварцшильда, и dΩ² — метрика единичной сферы.

При r = r_s происходит кое-что особенное: компонента g_tt обращается в ноль, а g_rr уходит в бесконечность. Это и есть горизонт событий.

Что происходит на горизонте событий:

Для наблюдателя снаружи: объект падающий к чёрной дыре замедляется, его свет краснеет, он замирает на горизонте — асимптотически, никогда не пересекая его. Время для него останавливается.

Для падающего наблюдателя: он пересекает горизонт за конечное собственное время и не замечает ничего особенного в момент пересечения (если дыра достаточно большая). Но обратного пути нет — внутри горизонта все геодезические ведут к сингулярности.

Это прямое следствие того что внутри горизонта временна́я и пространственная координаты меняются ролями: направление «вперёд во времени» совпадает с направлением «к центру». Двигаться прочь от сингулярности так же невозможно как двигаться назад во времени.

Блок-вселенная с кривизной

Вернёмся к тому с чего начали — к блок-вселенной.

В СТО блок-вселенная плоская: пространство-время Минковского с метрикой η_μν. Все мировые линии — в одном плоском четырёхмерном многообразии.

В ОТО блок-вселенная искривлена. Метрика g_μν меняется от точки к точке — рядом с массивными объектами пространство-время вогнуто сильнее. Мировые линии вблизи звёзд и чёрных дыр искривлены.

Но сам принцип неизменен: все события — прошлые, настоящие, будущие — существуют как точки в этом искривлённом четырёхмерном многообразии. «Сейчас» — по-прежнему не абсолютная величина, а гиперповерхность зависящая от наблюдателя. И инвариантный интервал ds² между событиями — по-прежнему геометрический факт не зависящий ни от кого.

Разница только в том что блок теперь не кирпич, а что-то более сложное — искривлённое, деформированное массами, пульсирующее гравитационными волнами.

Но он по-прежнему существует целиком. Всегда.

Что можно посмотреть:

Видео: — «Veritasium: Why No One Has Measured The Speed Of Light» — про постоянство c и синхронизацию часов. — «PBS Space Time» на YouTube — канал где ОТО объясняют с тензорами, без потери строгости.

Я бы еще посоветовал видео от Ali, хоть и получал комментарии, что у него не научный подход. Считаю лучший канал, чтобы развить желание к познанию науки. Пишите комменты, разберем вместе, все что вас интересует!

Пишу об этом в реальном времени — квантовая физика, математика, Java. Всё в @java_quant