Продолжаю публикацию интересных математических задач.
5 рациональных пиратов (А, Б, В, Г и Д) должны разделить 100 золотых монет. Иерархия: А — самый старший, Д — самый младший. Старший предлагает план дележа. Если за него проголосует хотя бы половина пиратов (включая его самого), план принимается. Если нет — старшего выбрасывают за борт, и право предложить план переходит к следующему. Как пират А должен разделить золото, чтобы остаться в живых и получить максимум?
Решение: Нужно рассуждать с конца. Если останутся только Г и Д, Г заберет всё (его голоса хватит для 50%). Чтобы этого не допустить, В должен предложить Д хотя бы 1 монету, чтобы тот поддержал его. Пират А знает это и предлагает: 98 — себе, 0 — Б, 1 — В, 0 — Г, 1 — Д. В и Д согласятся, так как при отказе и переходе хода к Б они могут не получить ничего или меньше.
Вам нужно платить слуге по 1 золотому кольцу в день в течение 7 дней. У вас есть цепь из 7 колец. Какое минимальное количество колец нужно распилить, чтобы расплачиваться ежедневно (принимая сдачу)?
Решение: Одно кольцо (третье). Получатся сегменты: 1, 2 и 4 кольца. День 1: даете 1. День 2: даете 2, забираете 1. День 3: даете 1 к имеющимся 2. И так далее.
У вас есть монета, которая смещена (орёл выпадает чаще, чем решка). Как с её помощью получить абсолютно честный результат «50 на 50»?
Решение: Бросаем монету дважды. Если выпало О-Р — это результат А. Если Р-О — это результат Б. Если О-О или Р-Р — перебрасываем. Вероятность комбинации О-Р равна вероятности Р-О (p x (1 - p)), поэтому шансы А и Б равны.
Условие: Есть 1000 одинаковых с виду бутылок вина. В одной из них напиток отравлен смертельным ядом, достаточно даже одной капли. Яд действует ровно через 24 часа. У вас есть 10 крыс, которым можно давать вино на пробу. Как найти отравленную бутылку в течение 24 часов, если начать отсчет с момента, когда “дегустация” уже завершилась?
Решение: Присвоим каждой бутылке десятизначный код в двоичной системе счисления, добавляя нули в начале числа при необходимости. Первая бутылка будет иметь № 0000000001, вторая № 0000000010 и так далее. У каждой бутылки будет уникальный номер, так как количество комбинаций из двух цифр (0 и 1) для десятизначного числа = 1024 (два в степени 10). Выстроим 10 крыс в ряд. Каждая крыса «отвечает» за свой разряд в двоичном числе (первая — за первый, вторая — за второй и так далее). Каждая крыса должна выпить по капле из всех бутылок, в двоичном коде которых на её «позиции» стоит единица. Через 24 часа соберется код из погибших крыс. Если крыса умерла — записываем 1. Если выжила — записываем 0. Допустим, через сутки умерли 3-я, 6-я и 8-я крысы. Значит, отравлена бутылка под № 0010010100. Значит, бутылка под этим номером отравлена. Если бы у нас в распоряжении было 20 крыс, мы могли бы найти отравленную из миллиона бутылок (два в степени 20 = 1 048 576).
По дну реки (поперёк) проложен кабель. В нём 120 изолированных проводов. Все провода имеют изоляцию одного цвета и их нельзя отличить друг от друга. Электрик должен перенумеровать одинаковыми числами соответствующие концы проводов (с обеих сторон). В распоряжении у него есть бирки, которые можно подписать, мультиметр и лодка. Он может как угодно скручивать провода между собой. Возможно ли решить данную задачу за две переправы (переплыв на другой берег и вернувшись обратно)?
Решение: Маркируем любой провод цифрой 1. Соединяем два других провода между собой и маркируем каждый из них цифрой 2. Далее берем еще три любых провода, соединяем их между собой и маркируем их цифрой 3. Соединяя кабеля аналогичным образом, получим в итоге 15 групп кабелей. В последней группе будет 15 скрученных между собой кабелей. Переплываем на другую сторону. Находим одиночный кабель (он не “прозванивается” ни с одним другим) и присваиваем ему № 1. Находим группу из двух кабелей (каждый из них “прозванивается” только с одним кабелем) и присваиваем им № 2. Аналогично находим и маркируем оставшиеся кабели. Теперь у нас есть одинаковая маркировка групп кабелей с обоих концов. Теперь расширим маркировку. 15 кабелей, каждый из которых помечен как № 15, пронумеруем 15-1, 15-2, 15-3 и так далее. Кабели группы из 14 кабелей пронумеруем 14-2, 14-3, 14-4 и так далее. Таким образом, одиночный кабель получит № 1-15. Соединим все кабели, у которых вторая цифра маркировки одинакова. Это снова разделит кабели на 15 групп, каждая из которых будет разного размера. Причем количество кабелей в группе будет равно второй цифре номера каждого кабеля, находящегося в этой группе. Возвращаемся на лодке обратно и отсоединяем все кабели друг от друга. Используя мультиметр, находим группу из двух кабелей и добавляем к номеру каждого цифру 2. Затем находим группу из трех кабелей и аналогично добавляем к их номерам цифру 3. Завершив этот процесс, получим уникальную маркировку для каждого кабеля, совпадающую с обоих концов.
На палке длиной 1 м сидят 10 муравьев. Они ползут с одинаковой постоянной скоростью 1 см/сек — либо влево, либо вправо. При столкновении друг с другом они оба разворачиваются и ползут обратно. Когда муравей доходит до любого из концов палки, он падает с нее. Через какое максимальное время все муравьи упадут с палки?
Решение: Столкновение двух муравьев, движущихся навстречу друг другу, эквивалентно тому, что они просто прошли бы “сквозь” друг друга. Так как все муравьи абсолютно одинаковы, разворот при столкновении ничего не меняет с точки зрения физики. Тот муравей, который должен был упасть первым, просто передает свой импульс и направление другому. Поведение муравьев можно свести к тому, как если бы они просто ползли каждый в свою сторону, не обращая внимания на соседей. Чтобы узнать точное время, достаточно посмотреть на муравья, который находится дальше всего от ближайшего к нему конца палки и ползет от этого конца. Максимальное время падения — это время, которое потребуется самому далекому муравью, чтобы доползти до ближайшего края.