Что мы можем получить, отказавшись от бесконечности?

Ультрафинитизм — философское учение, отвергающее бесконечность, — долгое время считалось математической ересью. Однако оно открывает новые горизонты не только в математике, но и за её пределами.

Дорон Цейлбергер — математик, убеждённый в том, что всему приходит конец. По его мнению, так же как мы — существа ограниченные, так и природа имеет свои границы — а значит, и числа тоже. Посмотрите в окно: там, где другие видят реальность как непрерывную пространственную протяжённость, неумолимо текущую вперёд от момента к моменту, Цейлбергер видит тикающую вселенную. Это дискретная машина. В плавном движении окружающего мира он улавливает едва заметное размытие, как в кинеографе.

Для Цейлбергера вера в бесконечность — это как вера в бога. Это заманчивая идея, которая льстит нашей интуиции и помогает нам осмыслить всевозможные явления. Но проблема в том, что мы не можем по-настоящему наблюдать бесконечность, и поэтому не можем по-настоящему сказать, что она собой представляет. Уравнения определяют линии, которые уходят за пределы доски, но куда? Доказательства пестрят многозначительными многоточиями. Эти уравнения и доказательства, по мнению Цейлбергера — многолетнего профессора Рутгерского университета и известного специалиста в области комбинаторики — одновременно «уродливы» и ложны. Это «полная чепуха», — сказал он, выдыхая каждый слог хриплым голосом, который, казалось, износился от того, что он доказывал свою точку зрения.

Он утверждает, что с практической точки зрения бесконечность можно исключить. «Она на самом деле не нужна». Математики могут построить систему исчисления без бесконечности, например, полностью исключив из рассмотрения пределы бесконечно малых величин. Кривые могут выглядеть гладкими, но они скрывают мелкую шероховатость; компьютеры прекрасно справляются с математикой, имея в распоряжении конечный набор цифр. (Цейлбергер указывает свой собственный компьютер, который он назвал «Шалош Б. Эхад», в качестве соавтора своих статей.) [на иврите шалош – «три», «эхад» — один, и это «имя» отсылает к модели компьютера AT&T 3B1. Кроме того, «Три Б. Один» пародирует манеру математиков подписывать свои статьи с инициалом посередине, типа «Джон Б. Смит» / прим. перев.] По словам Цейлбергера, единственное, что потеряется с устранением бесконечности, — это математика, которая «вообще не стоила того, чтобы ею заниматься».

Большинство математиков сказали бы как раз обратное — что именно Цейлбергер несёт полную чушь. Не только потому, что бесконечность настолько полезна и естественна для наших описаний Вселенной, но и потому, что рассмотрение множеств чисел (таких как целые числа) как реальных бесконечных объектов лежит в самой основе математики, встроено в её самые фундаментальные правила и допущения.

По крайней мере, даже если математики не хотят думать о бесконечности как о реальном объекте, они признают, что последовательности, фигуры и другие математические объекты могут расти бесконечно. Две параллельные линии теоретически могут продолжаться бесконечно; к концу числовой прямой всегда можно добавить ещё одно число.

Цейлбергер с этим не согласен. По его мнению, важно не то, возможно ли что-то в принципе, а то, осуществимо ли это на деле. На практике это означает, что подозрительными являются не только бесконечность, но и чрезвычайно большие числа. Рассмотрим «число Скьюза» — . Это исключительно большое число, и никому ещё не удалось записать его в десятичной форме. Так что же мы можем сказать о нём на самом деле? Является ли оно целым числом? Является ли оно простым? Можем ли мы найти такое число где-либо в природе? Сможем ли мы когда-нибудь его записать? Возможно, тогда это вовсе не число.

Это поднимает очевидные вопросы, например, где именно нужно ставить последнюю точку. Цейлбергер не может ответить на этот вопрос. И никто не может. И это первая причина, по которой многие отвергают его философию, известную как ультрафинитизм. «Когда вы впервые предлагаете кому-то идею ультрафинитизма, это звучит как шарлатанство — вроде „я думаю, что есть самое большое число“ или что-то в этом роде», — сказал Джастин Кларк-Доун, философ из Колумбийского университета.

«Многие математики просто считают эту идею нелепой», — сказал Джоэл Дэвид Хэмкинс, теоретик множеств из Университета Нотр-Дам. Об ультрафинитизме не принято говорить за ужином в приличном математическом обществе. Немногие (можно сказать, ультраконечное число) занимаются этим. Ещё меньше тех, кто, как Цейлбергер, готовы громко высказывать свои взгляды в пустоту. Это не только потому, что ультрафинитизм является контртеоретическим, но и потому, что он выступает за математику, которая по сути своей меньше, в которой больше нельзя задавать определённые важные вопросы.

И всё же это даёт Хэмкинсу и другим много пищи для размышлений. С одной стороны, ультрафинитизм можно рассматривать как более реалистичную математику. Это математика, которая лучше отражает пределы того, что люди могут создавать и проверять; она может даже лучше отражать физическую вселенную. Хотя мы склонны думать о пространстве и времени как о вечно расширяющихся и делимых, ультрафинитист утверждал бы, что это предположения, которые наука всё чаще ставит под сомнение — так же, как, по словам Цейлбергера, наука принесла сомнения к порогу бога.

«Мир, который мы описываем, должен быть честным до мозга костей, — сказал Кларк-Доун, который в апреле 2025 года созвал редкое собрание экспертов для изучения идей ультрафинитистов. — Если существует только конечное число объектов, то нам лучше использовать математику, которая не предполагает с самого начала, что объектов бесконечно много». По его мнению, «это, безусловно, должно стать частью программы в философии математики».

Однако для того, чтобы математики отнеслись к этому серьёзно, ультрафинитисты сначала должны договориться о том, о чём они говорят — превратить аргументы, которые звучат как «пустые угрозы», как выразился Хэмкинс, в официальную теорию. Математика пропитана формальными системами и общими рамками. Ультрафинитизму, между тем, не хватает такой структуры.

Одно дело — решать проблемы по частям. Совсем другое — переписать логические основы самой математики. «Я не думаю, что ультрафинитизм отвергается потому, что у людей есть веские аргументы против него, — сказала Кларк-Доун. — Просто создаётся ощущение, что, ну, это безнадёжно».

Это проблема, которую некоторые ультрафинитисты всё ещё пытаются решить.

Тем временем Цейлбергер готов отказаться от математических идеалов в пользу математики, которая по своей сути хаотична — точно так же, как и сам мир. Он, скорее, человек, высказывающий свои мнения, чем сторонник фундаментальных теорий; на своём сайте он перечисляет 195 таких мнений. «Я не смог бы быть профессором с тенюром, если бы не занимался этой чудаковатой ерундой», — сказал он. Но однажды, добавил он, математики оглянутся назад и увидят, что этот чудак, как и те, кто в древности подвергал сомнению богов и суеверия, был прав. «К счастью, еретиков больше не сжигают на костре».

Диссидентская математика

Аристотель рассматривал бесконечность как нечто, к чему можно стремиться, но чего никогда не достичь. «Тот факт, что процесс деления никогда не заканчивается, гарантирует, что эта деятельность существует потенциально, — писал он. — Но не гарантирует, что бесконечное существует отдельно». На протяжении тысячелетий эта «потенциальная» версия бесконечности царила безраздельно.

Однако в конце XIX века Георг Кантор и другие математики доказали, что бесконечность действительно может существовать. Подход Кантора заключался в том, чтобы рассматривать ряд чисел, например целые числа, как замкнутое бесконечное множество. Этот подход сыграл ключевую роль в создании фундаментальной теории математики, известной как теория множеств Цермело-Френкеля, которой математики пользуются и по сей день. Он показал, что бесконечность — это реальный объект. Более того, она может иметь самые разные размеры; манипулируя этими различными видами бесконечности и сравнивая их, математики могут доказывать удивительные истины, которые на первый взгляд кажутся совершенно не имеющими отношения к бесконечности. Хотя лишь немногие математики уделяют много времени сфере высшей бесконечности, «в наши дни почти каждый математик является актуалистом», — сказал Хэмкинс. Бесконечность предполагается по умолчанию.

Но этот фундамент современной математики вызывает ожесточённые споры с момента его появления. Одна из причин заключается в том, что принятие основного допущения о бесконечности позволяет создавать странные парадоксы: например, становится возможным разделить шар на пять частей и использовать их для создания пяти новых шаров, каждый из которых имеет объём, равный объёму первого.

Ещё одно возражение носит более философский характер. В течение нескольких десятилетий после открытий Кантора некоторые математики утверждали, что нельзя просто постулировать существование математической структуры — необходимо доказать её существование посредством процесса мыслительного построения. В этой «интуиционистской» философии, например, число π — это не столько число с бесконечной неповторяющейся десятичной частью, сколько символ, обозначающий алгоритмический процесс генерации цифр.

Но интуиционизм требует лишь того, чтобы данное мысленное построение было теоретически возможным: он запрещает фактическую бесконечность, но допускает потенциальную бесконечность. Некоторых математиков это по-прежнему не устраивало. Их по-прежнему беспокоило число Скьюза и другие величины, настолько огромные, что их невозможно было записать. Поэтому они постарались довести идеи интуиционизма до крайности.

«Если вы думаете, какие числа будут существовать в этой точке зрения, то это должны быть числа, которые мы можем построить на практике», а не только теоретически, — сказала Офра Магидор, философ из Оксфордского университета.

Новая версия интуиционизма — та, которая приняла во внимание эти практические ограничения, — сформировалась в 1960-х и 1970-х годах благодаря работам Александра Есенина-Вольпина, советского математика и поэта.

Есенин-Вольпин был известен прежде всего как политический диссидент. За организацию протестов и распространение антисоветской риторики и поэзии его поместили в психиатрическую лечебницу. «Он сказал: „Я человек. У меня есть фундаментальные права“», — рассказал Рохит Парих, логик из Городского университета Нью-Йорка, который приютил Есенина-Вольпина у себя дома после того, как советские власти вынудили его эмигрировать в 1970-х годах. Есенин-Вольпин был странным гостем: он всю ночь ходил по мансарде Париха и использовал любимую керамику его жены в качестве пепельницы, работая над странной теорией, отвергавшей не только потенциальную бесконечность, но даже чрезвычайно большие числа — те, которые невозможно было представить в человеческом сознании.

Логик Харви Фридман однажды попросил Есенина-Вольпина определить границу, за которой число становится слишком большим. Возьмём выражение типа 2 ⁿ; при каком значении n числа заканчиваются? На самом ли деле 2⁰ — это число? А как насчёт 2¹, 2² и так далее, вплоть до 2¹⁰⁰? Есенин-Вольпин отвечал на каждый вопрос по очереди. Да, 2¹ существовало. Да, 2² тоже. Но с каждым разом он ждал всё дольше, прежде чем отвечать. Диалог вскоре растянулся до бесконечности.

Есенин-Вольпин доказал свою точку зрения. Как позже выразились Парих и другие, ограниченность чисел коренится в ограниченности ресурсов, необходимых для доказательства их существования, таких как время. Или доступная память компьютера, или физическая длина доказательства. «Большинство ультрафинитистов придерживаются мнения, что различие между конечным и бесконечным по сути своей размыто», — сказал Кларк-Доун.

Для Есенина-Вольпина условие может быть верным для n и для n + 1 — до тех пор, пока оно не перестанет выполняться. Ребёнок растёт и растёт, пока однажды он не перестаёт быть ребёнком. Необязательно указывать конкретную конечную точку. Важно то, что конец где-то там есть.

Работа Есенина-Вольпина была призывом к созданию нового вида математики, которая в некотором смысле могла бы терпеть неопределённость. С тех пор ультрафинитисты продолжили его дело, исследуя, как сделать его неопределённую, граничащую с бессмыслицей математику прочной.

Управление кризисом

Однажды утром в 1976 году принстонский математик Эдвард Нельсон проснулся и пережил кризис веры. «Я почувствовал мгновенное подавляющее присутствие обвинителя, который укорял меня в высокомерии за мою веру в реальное существование бесконечного мира чисел, — размышлял он спустя десятилетия, — оставив меня, как младенца в колыбели, которому ничего не оставалось, кроме как считать на пальцах».

В математике существуют базовые правила, или аксиомы. Нельсон знал, что даже самые простые аксиомы, позволяющие выполнять простые арифметические действия, содержат в себе допущения о бесконечности — например, о том, что к любому числу всегда можно прибавить 1, чтобы получить новые числа. Он хотел начать с нуля и построить новый набор правил, полностью исключающий бесконечность. Как бы выглядела математика, если бы её можно было построить исключительно на основе этих новых аксиом?

Оказалось, что она была бы удивительно слабой. Нельсон изучил различные наборы аксиом, исключающих бесконечность, и обнаружил, что если использовать любой из них для выполнения простых арифметических действий, становится невозможно доказать даже такое простое утверждение, как то, что a + b всегда равно b + a. Элементарные операции, такие как возведение в степень, больше не всегда были возможны: вы могли бы построить число 100 или число 1 000, но не число 100¹⁰⁰⁰. Один из самых мощных приёмов в арсенале математика — метод, известный как индукция, который гласит, что если вы можете доказать, что утверждение верно для одного числа, то оно должно быть верно для всех, — полностью теряет силу.

Для Нельсона эта слабость представляла собой проблеск истины. Он надеялся показать, что более мощные аксиомы арифметики, которые математики принимали как данность (допускающие бесконечность «аксиомы Пеано»), были фундаментально ошибочны — что они могли привести к противоречиям. «Я верю, что многие вещи, которые мы считаем установленными в математике, будут опровергнуты», — сказал он однажды.

Однако Нельсону не удалось их опровергнуть. В 2003 году он объявил, что с помощью своих более слабых аксиом обнаружил противоречие в аксиомах Пеано, но этот громкий результат был быстро опровергнут.

Более ограниченная арифметика Нельсона — а также связанные с ней формы нестандартной арифметики, разработанные Парихом и другими, — действительно оказались полезными в сфере вычислительной техники, где исследователи стремятся понять, что алгоритмы могут эффективно доказать, а что нет. Эти ультрафинитистские подходы к математике были переведены на язык вычислительной эффективности и используются для изучения пределов возможностей алгоритмов.

Для Нельсона математика — это «истина, в которую вы решили верить», то есть аксиомы, которые вы считаете правильными. Это верно даже в том случае, если вы решили верить в аксиомы по умолчанию. Конечно, ультрафинитисту, как еретику без устойчивых основ, приходится доказывать гораздо больше.

Упражнения в терпении

В апреле 2025 года в Нью-Йорке собралась разношёрстная компания для участия в конференции по отмене бесконечности, проходившей в Колумбийском университете. Среди них были физики, философы, логики и математики. Там были убеждённые ультрафинитисты, такие как Цейлбергер; теоретики множеств, верящие во всевозможные виды бесконечности; а также просто любопытные. Результатом, как вспоминает Кларк-Доун, организатор конференции, стало «испытание терпения для всех». Философы, как правило, привыкли яростно спорить в аудитории, а потом собираться за кружкой пива. Математики — нет. Обычно, если они не согласны, это означает, что кто-то сильно напортачил.

Было ясно, что прогресс в направлении универсальной теории ультрафинитизма затормозился отчасти потому, что у этого движения не было ни одной чёткой мотивации, ни единого подхода к определению того, как должна выглядеть его лежащая в основе логика. Возможно, тогда зацикливаться на базовых правилах, как делал Нельсон, — неверный подход. «Я думаю, что это пустая трата времени, — сказал мне Парих. — Нужно использовать формализм как бинокль и уделять больше внимания тому, что вы видите. Если вы начнёте изучать сам бинокль, вы проиграете».

Цейлбергер с удовольствием рассматривает вещи через (возможно, кривое) зеркало, даже если ему приходится делать это в мире, где бесконечность более чем жива и существует. Он не надеется заново построить математику без бесконечности с нуля. Вместо этого он может работать по принципу «сверху вниз». Возьмём, к примеру, анализ действительных чисел, который изучает поведение действительных чисел и функций. Цейлбергер называет это «вырожденным случаем» дискретного анализа (который изучает поведение дискретных объектов, а не непрерывных). По его словам, непрерывный ландшафт действительных чисел можно заменить «дискретным ожерельем» чисел, разделённых крошечными — но не бесконечно малыми — различиями в значениях. Затем можно использовать это, чтобы переписать правила исчисления и дифференциальных уравнений (теперь называемых «разностными» уравнениями), чтобы удалить из них даже самые тонкие упоминания бесконечности. Он признаёт, что это непросто, но выполнимо, особенно с помощью компьютера. И хотя результат может выглядеть менее элегантно, чем классическая математика, он, по его словам, более красив, потому что отражает физическую реальность такой, какой он её видит.

Для Жана-Поля Ван Бендегема, философа математики из Свободного университета Брюсселя, путь в мир ультрафинитизма начался не с чисел, а с геометрии начальной школы. Он наблюдал, как его учитель математики рисовал на доске линию, которая, как предполагалось, тянулась в бесконечность. «Куда?» — вспоминает он, что спросил тогда. Если правая сторона уходила бесконечно далеко в одном направлении, а левая — в другом, то доходили ли они до одного и того же места? Или за краями доски скрывались разные бесконечности? Учитель велел ему перестать задавать вопросы.

Ван Бендегем, который впоследствии стал ведущим исследователем ультрафинитной логики, позже рассмотрел эти вопросы, обратившись к геометрии, в которой линия или кривая имеет ширину и является одновременно конечной и конечно делимой. Её можно разбить на множество точек, которые, хотя и невероятно малы, но не бесконечны. Любая структура, построенная из этих точек, линий и кривых, также должна быть конечной, что даёт дискретный аналог классической геометрии. Хотя эти инструменты остаются ограниченными, в последние несколько десятилетий их тщательно изучали — не только ради ультрафинитизма, но и потому, что определение формы объектов важно для развития конечной физики.

Хотя мы часто представляем себе физическую Вселенную как бесконечно обширную и бесконечно делимую, сами физики ставят под сомнение это предположение. Существуют фундаментальные пределы, такие как планковский размер (иногда называемый «размером пикселя» Вселенной), за пределами которого само понятие расстояния теряет смысл. А когда бесконечность всё же появляется в уравнениях физиков, это может создавать проблемы, которых они стремятся избежать. «Делать прогнозы о том, чего ожидать от Вселенной, которая растёт без границ, повторяется и тому подобное, оказывается действительно очень и очень сложно, — сказал Шон Кэрролл, физик из Университета Джонса Хопкинса, который экспериментировал с конечными моделями квантовой механики. — Большинство космологов решают эту проблему, делая вид, что её не существует».

Для Николя Жизена, квантового физика из Университета Конструктор в Бремене, Германия, и Женевского университета, интуиционистская математика предоставляет способ осмыслить одну из основных загадок физики: в больших масштабах поведение физических систем детерминировано и предсказуемо. Но в квантовой сфере царит случайность; частица имеет множество квантовых состояний и переходит к одному из них непредсказуемым образом. Физики на протяжении последнего столетия пытаются понять источник этого несоответствия.

Жизен полагает, что это связано с ошибочным допущением. По его словам, исследователи неявно исходят из того, что с момента зарождения Вселенной квантовое состояние частицы можно определить с бесконечной точностью с помощью действительных чисел, имеющих бесконечное количество разрядов. Однако, по мнению Жизена, использование действительных чисел является ошибкой. Если вместо этого использовать интуиционистскую математику, становится ясно, что детерминизм — это всего лишь артефакт наличия нереалистично совершенной информации. Крупномасштабное детерминированное поведение физических систем естественным образом становится неточным и непредсказуемым, стирая границу между классической и квантовой сферами. Теория Жизена заинтересовала других физиков, отчасти потому, что она может помочь разрешить парадоксы, связанные с такими явлениями, как Большой взрыв.

Но важно отметить, что его работа не отменяет потенциальную бесконечность в аристотелевском смысле — как нечто, чего потенциально можно достичь. В традиции интуиционистского математика, вычисляющего с помощью времени и усилий всё более крупные или точные числа, Жизен допускает создание всё большего и большего объёма информации. Когда-нибудь Вселенная будет содержать совершенную, бесконечно точную информацию. Но это не имеет значения, потому что этот «когда-нибудь» никогда не наступит. «Потенциальная бесконечность здесь — это на самом деле ожидание бесконечного времени, которое не имеет ничего общего с реальностью», — сказал Жизен. Важно то, что бесконечность больше не является исходным допущением.

Эти физические аргументы против бесконечности, как правило, вызывают восторг у математиков-ультрафинитистов, которые считают их доказательством того, что их математика более точно описывает реальность. На конференции 2025 года доклад Кэрролла о том, действительно ли Вселенная бесконечна или, как он выразился, «просто довольно велика», сделал его чем-то вроде знаменитости в залах Колумбийского университета. Но бремя доказательства, предупреждает он, по-прежнему лежит на скептиках, не верящих в бесконечность. Если бы удалось каким-то образом экспериментально доказать, что физическая Вселенная действительно конечна, даже самые ярые сторонники высшей бесконечности, вероятно, на мгновение замерли бы в раздумьях. Они, вероятно, даже задумались бы о согласованности теории множеств, учитывая те башни фактических бесконечностей, которые она допускает. В любом случае, время от времени задумываться полезно.

Даже если бы это произошло, теоретики множеств, изучающие и использующие бесконечность, по-прежнему имели бы полное право продолжать свою работу, не теряя самообладания — возможно, именно здесь физика и математика расходятся. Никто не требует, чтобы математика и физика описывали одни и те же вещи (хотя многие считают, что так и есть), и бесконечность может продолжать существовать в каком-то более широком платоновском смысле.

Но если бы эти эксперименты доказали обратное — что бесконечность в природе действительно существует — у ультрафинитистов осталось бы гораздо меньше пространства для манёвра. «Было бы трудно оставаться ультрафинитистом, если бы в реальном физическом мире существовали бесконечности», — сказал Кэрролл.

Ребрендинг ультрафинизма

«Мне жаль ультрафинитистов, потому что люди отвергают их теорию, не понимая её, — сказал мне позже Кэрролл. — Но с другой стороны, ультрафинитисты недостаточно хорошо продвигают свою идею».

В рамках математики более эффективная маркетинговая кампания, вероятно, выглядела бы как связная теория, подобная той, которую искал Нельсон, — набор формальных правил, подобных тем, что лежат в основе современной математики, исключающий бесконечность, но достаточно мощный, чтобы заниматься полезной математикой.

Идей не хватает, сказал Кларк-Доун, — хотя, возможно, не хватает аспирантов, готовых поставить на карту свою раннюю карьеру ради их развития. Для него собрание в Нью-Йорке было признаком перемен; того, что люди достаточно любопытны, чтобы взглянуть на это по-новому, и не слишком боятся возможной негативной реакции. «Люди обсуждают эту точку зрения и активно пытаются подумать о том, как поставить её на серьёзную основу», — сказал он.

Большинство математиков живут в стороне от всего этого. Формальные теории, охватывающие всю математику в целом, их не интересуют. Их интересует то, что работает, — решение конкретных задач и построение доказательств. Фундаментальные вопросы — существуют ли числа за пределами физической реальности? Продвигается ли математика посредством изобретений или открытий? — могут вызывать некоторое раздражение; это то, чем математики занимаются только тогда, когда однажды просыпаются в состоянии кризиса.

Но практикующий математик может найти общий язык с Цейлбергером, которого также не беспокоят споры теоретиков множеств и философов. Его метод отличается безжалостной практичностью: он разбирает математику по частям и спрашивает, что из них действительно необходимо. Возможно, говорит он, мы слишком многое принимали на веру, слишком часто по умолчанию считали бесконечность саму собой разумеющейся, верили в иллюзии. Не нужно объявлять себя ультрафинитистом, чтобы получить от этого некоторое удовлетворение, чтобы добавить это в список истинных вариантов.

Цейлбергер любит цитировать свои слова из документального фильма BBC 2010 года — того, что он считает своими «15 минутами славы». «Бесконечность может существовать, а может и нет; бог может существовать, а может и нет, — сказал он. — Но в математике не должно быть места ни для бесконечности, ни для бога». Он асинхронным образом отвечал Хью Вудину, ведущему теоретику множеств и одному из самых бесстрашных исследователей высшей бесконечности, который сказал, что ему жаль Цейлбергера, неспособного посмотреть на небо и уловить красоту бесконечной шири. «А мне жаль, что ему нужен опиум бесконечности, чтобы держаться на плаву, — сказал Цейлбергер. — В деревьях и в земле столько красоты. Нет нужды прибегать к вымыслам».

«Так что мы оба сожалеем друг о друге», — сказал он. Сожалеем о том, что другой чувствует себя заключённым в мире избранной им веры.