Формула интегрирования по частям с точки зрения дифференциальной геометрии

Формула интегрирования по частям известна всем со школьной скамьи. В вузах она, как правило, изучается в координатном виде в $\mathbb{R}^m$ в курсах математического анализа и УРЧП. В этой статье мы приведем инвариантную геометрическую версию этой формулы и отметим некоторые конструкции теории динамических систем, с которыми она естественным образом связана.

Напомним некоторые определения.

Возьмём гладкое многообразие с локальными координатами $x=(x^1,\ldots,x^m)$ и зададим на нём векторное поле $v(x)=(v^1,\ldots, v^m)(x)$ (все объекты далее мы считаем гладкими).

Будем считать, что для $t \in (-\varepsilon, \varepsilon)$ определено семейство диффеоморфизмов $g^t: M \to M$ , удовлетворяющее следующей задаче Коши:

$\frac{d}{dt}g^t(x) = v(g^t(x)), \quad g^0(x) = x.$

Это семейство называется фазовым потоком поля .

В координатной записи компоненты этого отображения выглядят следующим образом:

$g^t(x) = (g^t_1(x), \dots, g^t_m(x)).$

Производной Ли вдоль поля от дифференциальной -формы

$\omega = \sum_{i_1 < \dots < i_k} \omega_{i_1 \dots i_k}(x) dx^{i_1} \wedge \dots \wedge dx^{i_k}$

называется -форма

$L_v \omega = \left. \frac{d}{dt} \right|_{t=0} \sum_{i_1 < \dots < i_k} \omega_{i_1 \dots i_k}(g^t(x)) d(g^t_{i_1}(x)) \wedge \dots \wedge d(g^t_{i_k}(x)).$

Кроме линейности, оператор обладает ещё рядом замечательных свойств, которые мы будем восстанавливать по мере надобности, а сейчас отметим лишь одно: на -форму, т.е. функцию $f:M\to\mathbb R$ , производная Ли действует так:

$L_vf=v^i\frac{\partial f}{\partial x^i}.$

По повторяющимся индексам ведётся суммирование.

Итак, для функций производная Ли — это производная в силу системы ОДУ с векторным полем .

Нам ещё понадобится оператор внутреннего дифференцирования . Этот оператор действует на -формы,. Он по определению линеен и задаётся на базисных -формах следующим образом:

$i_v(dx^{i_1} \wedge \dots \wedge dx^{i_k}) = \sum_{s=1}^k (-1)^{s+1} v^{i_s} dx^{i_1} \wedge \dots \wedge \widehat{dx^{i_s}} \wedge \dots \wedge dx^{i_k}.$

Символ $\widehat{\dots}$ означает, что соответствующий сомножитель пропущен.

Основная теорема.

Теорема. Предположим, что на задана -форма

$\psi=\rho(x)dx^1\wedge\ldots\wedge dx^m,$

причём

$L_v\psi=0.\qquad (1)$

(Об этом интересном предположении поговорим подробнее ниже.)

Пусть $Q\subset M$ — компактное -мерное подмногообразие с гладкой границей $\partial Q$ , которое получается в результате замыкания открытого множества.

Тогда для любых гладких функций $f,g:M\to \mathbb{R}$ верна формула:

$\int_Q (L_vf)g\psi=\int_{\partial Q}fg i_v\psi-\int_{Q}f(L_v g)\psi.\qquad(2)$

Это и есть инвариантная дифференциально-геометрическая версия формулы интегрирования по частям.

На самом деле в этой теореме достаточно, чтобы все объекты $f,g,\psi,v$ были определены во внутренности и вели себя регулярно во всём вплоть до границы включительно.

Для проверки условий теоремы полезно иметь в виду, что

$L_v\psi=\frac{\partial (\rho v^i)}{\partial x^i}dx^1\wedge\ldots\wedge dx^m.$

Чаще всего в учебниках по анализу и УРЧП формула (2) встречается для случая:

$M=\mathbb{R}^m,\quad v=\frac{\partial}{\partial x^j},\quad \psi=dx^1\wedge\ldots\wedge dx^m.$

Тогда она приобретает вид:

$\int_Q \frac{\partial f}{\partial x^j}gdx^1\wedge\ldots\wedge dx^m=\int_{\partial Q}fg n_jdS-\int_{Q}\frac{\partial g}{\partial x^j}fdx^1\wedge\ldots\wedge dx^m,$

где — компонента вектора внешней единичной нормали к поверхности $\partial Q$ , а — элемент площади на этой поверхности.

Равенство (1) имеет следующий динамический и геометрический смысл. Предположим, что $\rho \ge 0$ на . Тогда на определено понятие объёма (меры) множества:

$\mu(D)=\int_D\psi.$

Если равенство (1) выполнено, то поток сохраняет объём любого (измеримого по Лебегу) множества:

$\mu(D)=\mu(g^t(D)),\quad \forall t\in\mathbb{R}.$

Отметим, что если многообразие не имеет границы ( $\partial Q=\emptyset$ ), то в силу равенства (2) оператор оказывается кососимметричным на пространстве гладких функций в смысле -скалярного произведения.