Когда дифференциальных уравнений очень много

Из курса дифференциальных уравнений многие наверняка помнят теоремы существования и единственности для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Не пересказывая учебники, напомню лишь неформально, как выглядит эта задача по существу.

Дана система ОДУ с начальными условиями:

$\dot x_i=f_i(t,x_1,\dots,x_m),\quad x_i(t_0)=\hat x_i,\quad i=1,\dots, m. \qquad(1)$

Дальнейшее зависит от свойств вектор-функции $f(t,x)=(f_1,\dots,f_m)$ .

Если функция достаточно регулярна (например, непрерывно дифференцируема в некоторой области, содержащей начальные условия), то решение $x(t)=(x_1,\ldots,x_m)(t)$ задачи Коши (1) существует, единственно и определено на некотором малом интервале $[t_0,t_0+\varepsilon)$ . Это классическая теорема Коши.

Если же лишь непрерывна, решение всё равно существует, но может перестать быть единственным (теорема Пеано).

Хрестоматийный пример отсутствия единственности — скалярное уравнение:

$\dot x=\sqrt{|x|},\quad x(0)=0,\quad x\in\mathbb{R}.$

Здесь при $t\ge 0$ решением является как функция $x(t)\equiv 0$ , так и .

Интересное начинается, когда переменная принадлежит не $\mathbb{R}^m$ , а какому-нибудь бесконечномерному банахову пространству.

В этом случае теорема Коши остаётся в силе, а вот теорема Пеано уже, вообще говоря, неверна.

В качестве примера (принадлежащего Ж. Дьедонне) рассмотрим задачу Коши в пространстве , которое состоит из бесконечных последовательностей $x = (x_1, x_2, \dots)$ , сходящихся к нулю.

С нормой $\|x\| = \sup_{i \in \mathbb{N}} |x_i|$ это пространство является банаховым.

Зададим в следующую систему:

$\dot x_n = \sqrt{|x_n|} + \frac{1}{n}, \quad x_n(0) = 0, \quad n = 1, 2, \dots. \qquad(2)$

Разделяя переменные в каждом из уравнений, получаем равенства

$2\sqrt{x_n} - \frac{2}{n} \ln\left(\sqrt{x_n} + \frac{1}{n}\right) + \frac{2}{n} \ln\left( \frac{1}{n}\right) = t, \qquad(3)$

которые неявно определяют компоненты решения .

Предположим, что последовательность $x(t) = (x_1(t), x_2(t), \dots)$ принадлежит при некотором .

Это означает, что $x_n(t) \to 0$ при $n \to \infty$ . Однако переход к пределу в равенстве (3) при $n \to \infty$ дает абсурдный результат: .

Полученное противоречие доказывает, что задача (2) не имеет решений в .

Оказывается, однако, что для некоторого класса бесконечных систем теорему Пеано всё-таки можно «спасти».

Пусть — некоторый временной интервал, а — произвольное непустое множество индексов. В частности, выше обсуждались случаи, когда $S = \{1, \dots, m\}$ и $S = \mathbb{N}$ .

Рассмотрим следующую задачу Коши:

$\dot x_s = f_s(t, x_{\gamma_1}, \dots, x_{\gamma_n}), \quad x_s(0) = \hat x_s, \quad s \in S. \qquad(4)$

Здесь $\{\gamma_1, \dots, \gamma_n\}$ — конечное подмножество , которое является своим для каждой функции . В частности, .

Мы предположим, что каждая функция $f_s \colon I \times \mathbb{R}^{n(s)} \to \mathbb{R}$ непрерывна и ограничена:

$\sup_{I \times \mathbb{R}^{n(s)}} |f_s| = M_s < \infty.$

Верна следующая

Теорема. Задача Коши (4) имеет решение $x(t) = \{x_s(t) \mid s \in S\}$ , где каждая компонента $x_s \in C^1(I)$ .

Доказательство. (Нижеследующий текст требует от читателя некоторой осведомленности в области функционального анализа и готовности самостоятельно восстанавливать несложные детали.)

Введем в пространстве $X = \mathbb{R}^S$ топологию прямого произведения с помощью системы полунорм:

$x = \{x_s\}_{s \in S}\in X, \quad \|x\|_Q = \max_{s \in Q} |x_s|,$

где — произвольное непустое конечное подмножество .

Эта система полунорм превращает в локально выпуклое пространство. Напомним, что подмножество $B \subset X$ называется ограниченным, если для любого конечного $Q \subset S$ выполнено условие:

$\sup_{x \in B} \|x\|_Q < \infty.$

Согласно теореме Тихонова, в этой топологии всякое ограниченное и замкнутое подмножество является компактным.

Через обозначим, как обычно, пространство непрерывных функций из в . Это тоже локально выпуклое пространство с системой полунорм

$|u|_Q = \max_{t \in I} \|u(t)\|_Q.$

Пространства и полны.

Через $K \subset C(I, X)$ обозначим множество непрерывных функций $v(t) = \{v_s(t)\}_{s \in S}$ , удовлетворяющих следующим двум условиям:

$|v_s(t)| \le |\hat x_s| + T M_s, \quad s \in S,\quad t\in I;$
$|v_s(t') - v_s(t'')| \le M_s |t' - t''|, \quad s \in S, \quad t', t'' \in I.$

Множество замкнуто, выпукло и, по третьей теореме Асколи (см. Лоран Шварц Анализ, т. 2, М.: Мир, 1972), компактно.

Через

$P_s: X \to \mathbb{R}^{n(s)}$

обозначим проекцию на конечномерное подпространство, такую что

$f_s(t, x_{\gamma_1}, \dots, x_{\gamma_n}) = f_s(t, P_s(x)).$

Зададим отображение

$F \colon C(I, X) \to C(I, X)$

формулой , где компоненты определяются как

$v_s(t) = \hat x_s + \int_0^t f_s(\xi, P_s(u(\xi))) \, d\xi.$

Легко проверить, что $F(K) \subset K$ . Поскольку — компактное выпуклое подмножество локально выпуклого пространства, то по теореме Шаудера — Тихонова отображение имеет неподвижную точку в .

Эта неподвижная точка и является искомым решением задачи (4).

Теорема доказана.

推荐订阅源

Все публикации подряд на Хабре