Когда мы берем ипотеку или потребительский кредит, мы редко задумываемся о том, что банк, помимо денег, выдает нам сложный производный финансовый инструмент. Право в любой момент вернуть долг без штрафов — это классический call-опцион. Для заемщика это «бесплатная» страховка от падения ставок: если рынок пошел вниз, можно рефинансироваться и платить меньше.
Однако в финансах действует закон сохранения риска. Если у клиента есть право выбора, значит, у кого-то другого этого выбора нет. В структуре банка этим «кем-то» оказывается Казначейство (ALM).
В статье рассматривается механика ценообразования банковских продуктов (Transfer Pricing, FTP) и моделируется стоимость одного из самых скрытых компонентов банковской маржи: Cost of Optionality.
Часть 1. Опциональность — где прячутся убытки?
В классическом обобщенном понимании ставка внутреннего фондирования (FTP), по которой бизнес-линия «покупает» ресурсы у Казначейства, состоит из нескольких слоев:
Где Optionality — это та самая надбавка за риск поведения клиента. Почему она необходима?
Представьте, что Казначейство захеджировало 10-летний кредит, выпустив облигации или заключив процентный своп (IRS) на тот же срок. Если через год ставки падают и клиент радостно приносит деньги досрочно, Казначейство остается с «лишним» дорогим фондированием, которое теперь можно разместить только под низкий процент. Этот риск реинвестирования и разрыв хеджа генерируют прямой убыток.
Если банк не включает стоимость опциональности в FTP, он фактически субсидирует заемщика за счет акционеров. Бизнес-линия видит «красивую» маржу, не понимая, что она заработана на продаже бесплатной страховки.
Чатсь 2. Математика поведения заемщика
Для корректной оценки call-опциона нужно перейти от статических моделей к динамическим. Используем двухступенчатый подход: сначала определяем факт события (погасит ли клиент что-то в этом месяце), а затем — его объем.
Ключевые факторы модели
Чтобы модель была реалистичной, заложили в нее следующие фундаментальные драйверы:
Стимул рефинансирования
: Экономический двигатель. Мы смотрим на отклонение текущих ставок от форвардной кривой, заложенной в контракт. Если рынок упал сильнее ожиданий — стимул растет.Контрактная ставка
: Психологический фундамент. Заемщик с кредитом под 22% мотивирован избавиться от долга гораздо сильнее, чем обладатель ставки в 5%, даже если рыночные условия для обоих одинаковы. Фактор времени
: Поведенческая статистика. В начале жизни кредита люди гасятся активнее — это часто связано с жизненными циклами (например, продажа старого жилья сразу после получения ипотеки на новое). Со временем этот эффект затухает.Эффект выгорания (Burnout): Если ставки падали уже несколько раз, а заемщик так и не рефинансировался, вероятность того, что он сделает это в будущем, резко снижается. Он либо не склонен к оптимизации, либо не имеет такой возможности. Мы учитываем это через накопленный стимул: чем дольше рынок был «выгоден», тем сильнее снижается вероятность досрочки для оставшихся в пуле.
Сезонность: Поведение заемщиков нелинейно в течение года. Декабрьские бонусы, «тринадцатые зарплаты» и налоговые вычеты весной — всё это создает всплески досрочных погашений, не связанных с уровнем ставок. В модели это учитывается через набор месячных коэффициентов.
Реализация на Python
# Из prepay_opt.py: расчет логита вероятности досрочки
logit = (
prepay.beta0 # Базовая вероятность (перехват)
+ prepay.beta1 * x # Реакция на стимул рефинансирования (r - F)
+ 5.0 * r_contract # Психологический стимул (чем выше ставка кредита, тем сильнее желание погасить)
+ 0.10 * early_sched # Поправка на "молодость" кредита
+ seas_coeffs # Сезонные коэффициенты (декабрьские бонусы и т.д.)
)
# Если коэффициент выгорания задан, он снижает логит вероятности
if prepay.beta_burnout > 0.0:
logit = logit - prepay.beta_burnout * np.log1p(burnout_accum)
# Вероятность через сигмоиду
p = 1.0 / (1.0 + np.exp(-logit))
# При discrete: доли остатка после плановой основной; при I=1 выбирается одна из корзин.
prepay_levels: tuple[float, ...] = (0.05, 0.2, 0.5, 1.0)Хотя математически можно использовать непрерывное распределение для размера досрочки 
, в реальности люди редко гасят «случайные» 2.345% от долга. Чаще всего это осознанный выбор: «заплачу одну месячную сумму» или «закрою ровно половину».
Поэтому в качестве возможных вариантов досрочных погашений используется дискретная модель выбора. При наступлении события досрочки (
), заемщик выбирает одну из понятных «корзин» (например, 5%, 20%, 50% или 100% остатка). Вероятность выбора каждой корзины считается через Softmax, что делает модель не только точной, но и интерпретируемой для бизнеса.
Часть 3. Симуляция: когда стохастика встречается с психологией
Чтобы оценить стоимость опциональности, мало знать, как заемщик ведет себя сейчас. Для этого требуется прогнать его через тысячи возможных сценариев будущего. Для этого мы используем метод Монте-Карло и модель Халла-Уайта (Hull-White).
Зачем нужен Халл-Уайт?
Если мы будем использовать простое «случайное блуждание», наши ставки могут улететь в космос или уйти в глубокие минуса навсегда. В реальности процентные ставки обладают свойством возврата к среднему (mean reversion). Модель Халла-Уайта хороша тем, что:
Согласована с рынком: Она калибруется так, чтобы среднее по всем путям в точности повторяло текущую форвардную кривую банка.
Учитывает волатильность: Можно задать, насколько «нервно» ведет себя рынок.
В нашей реализации Hull-White мы пошли еще дальше и добавили SABR, то есть стохастическую волатильность. Это значит, что не только ставки меняются случайно, но и сама амплитуда их колебаний может нарастать или затухать со временем.
Далее моделируются тысячи реализаций того, как могут повести себя процентные ставки. Представьте это как облако возможных сценариев: в одних ставки растут, в других — наступает рецессия и ставки устремляются к нулю.
На каждом шаге этой симуляции мы сопоставляем траекторию ставок с «психологическим профилем» нашего заемщика. В каждой ключевой точке (каждый месяц жизни кредита) модель анализирует возникшие стимулы: насколько текущая рыночная доходность отклонилась от контрактных и ожидаемых уровней ставок, не наступил ли сезон «бонусов» и не пора ли заемщику «выгореть» после серии пропущенных возможностей для рефинансирования.
В результате для каждого сценария мы получаем уникальную, математически обоснованную величину досрочных погашений. Где-то кредит закроется за год, а где-то будет выплачиваться до самого конца. Суммируя и дисконтируя все эти денежные потоки по ставкам из тех же самых сценариев, мы получаем распределение стоимости нашего актива.
Что мы получаем на выходе?
Вместо одной цифры PV (приведенной стоимости) кредита, мы получаем облако из 1000 значений.
В сценариях, где ставки падали, заемщики гасились быстро, и банк терял доход (риск реинвестирования).
В сценариях с ростом ставок заемщики сидели в кредите до конца, но банк был вынужден фондировать их под высокий процент.
Разница между «идеальным» PV (без досрочек) и средним PV из симуляции — это и есть цена опциональности в денежном выражении.
Часть 4. OAS надбавка
В мире облигаций есть стандарт — OAS (Option-Adjusted Spread). Это спред, который представляет собой плату за опцион досрочного погашения.
Как мы находим цену опциона?
Представьте, что мы уже прогнали симуляцию и получили тысячи сценариев того, как люди будут гасить свои кредиты. Теперь мы фиксируем это поведение. Берем эти «кривые досрочки» как данность и задаем себе вопрос:
«Окей, если наши клиенты будут вести себя именно так, какую ставку по кредиту мы должны сформировать, чтобы банк не понес убытков и итоговый PV портфеля (со всеми его досрочками) был равен номиналу?»
Мы начинаем «донаращивать» ставку кредита до тех пор, пока она не компенсирует все потери от реализации клиентских опционов.
Как работает поиск?
Берется диапазон возможных ставок
(например, от 0% до 80%).Для каждой пробной ставки мы пересчитываем все денежные потоки, используя уже зафиксированное поведение заемщиков из симуляции.
Считаем средний PV по всем сценариям.
Сужаем диапазон, пока не найдем ту самую «справедливую» ставку, которая полностью перекрывает стоимость опциональности.
Часть 5. Результаты моделирования: 2 года жизни одного кредита
Чтобы наши рассуждения не оставались теорией, мы прогнали через модель конкретный кейс:
Продукт: Классический аннуитетный кредит.
Срок: 24 месяца (2 года).
Контрактная ставка: 13.53% годовых.
Сценарии: 1000 путей развития процентных ставок (модель Халла-Уайта).
1. Первый график. Траектории ставок и драйверы
На первом графике представлено «облако» путей модели Халла-Уайта. Среднее и медиана (красные линии) четко следуют за форвардной кривой (пунктир) — это значит, что стохастика согласована с рынком и адекватно калибрована.
2. Второй график. Спред к форварду 
Показывает те самые «окна возможностей» для заемщика. Мы видим, что в некоторых сценариях ставки падают на 4–6 п.п. ниже ожиданий. Именно в эти моменты наша модель «включает» досрочку на полную мощность.
3. Третий график. Модель vs Реальность
По мере удаления от «точки старта» волатильность в модели Халла-Уайта нарастает, и траектории ставок разлетаются всё сильнее. Из-за нелинейности модели (сигмоиды) сценарии с низкими ставками дают взрывной рост вероятности, который не полностью компенсируется «высокими» сценариями. В итоге средняя готовность заемщиков к досрочке растет.
4. Четвертрый график. Средний денежный поток по периоду (пик выплат)
График показывает характерный всплеск на 3–5 месяце. Это результат синергии четырех факторов:
Разгон волатильности: К 3-му месяцу облако ставок уже достаточно широко, чтобы «зацепить» зоны выгодного рефинансирования.
Форма кривой: Небольшое отклонение форварда вверх от среднего дает заемщикам дополнительный экономический стимул.
Максимальное «тело»: В первые месяцы остаток долга максимален. Даже при одинаковой вероятности, досрочка от 100% номинала в начале срока дает гораздо больше денег, чем от остатков в конце.
Эффект «молодого» кредита: Данный параметр подстегивает заемщика гасить долг, пока память о высокой ставке еще свежа, а сумма долга формирует значительные процентные переплаты.
5. Пятый график. Кумулятивный эффект
График наглядно показывает «эрозию» портфеля. Мы видим широкий затененный коридор: в «плохих» для банка сценариях досрочка может съесть более 50% номинала. В среднем же к концу срока (24 месяца) заемщики возвращают досрочно 24.52% от объема выдачи.
6. Шестой график. Распределение объема досрочки сценариям
Отсутствие единичных значений объясняется тем, что «стопроцентники» — заемщики, решившие закрыть кредит полностью не доходят до единицы, так как к моменту принятия решения (пик на 4-м месяце) они уже успели выплатить часть долга плановыми платежами. Модель четко фиксирует: даже при полном досрочном погашении банк успевает получить часть плановой амортизации.
Итоги моделирования: Цена «бесплатного» опциона
Чтобы компенсировать риск такого поведения клиентов, Казначейство должно добавить к базовой ставке FTP надбавку в размере ~58 базисных пунктов.
Простыми словами: если банк выдает кредит под 13.53%, не учитывая эти 0.6% стоимости опциональности, он фактически работает с меньшей маржой, чем думает. Он дарит заемщику страховку, за которую платит сам из своей прибыли.
Моделирование опциональности — это не просто упражнение в высшей математике. Это фундамент здоровой экономики банка.
Если Казначейство не выставляет корректную цену за риск досрочного погашения:
Бизнес-линии начинают выдавать кредиты с «бесплатными» опциями, субсидируя заемщиков за счет акционеров.
Банк накапливает скрытый процентный риск, который «выстрелит» при первом же серьезном движении ставок.
Казначейство получает дыру в хедже, которую нечем закрыть.
Корректный FTP превращает риск из «невидимой угрозы» в управляемый параметр. Когда бизнес видит в своей марже компоненту Optionality, он начинает осознанно подходить к условиям продуктов: где-то вводить комиссии за досрочку, где-то ограничивать сроки, а где-то — просто честно закладывать риск в цену.