Пролог

Скитаясь по лесистым равнинам геометрической алгебры, нашёл классный изоморфизм. Возможно, кому-то будет интересно - попытаюсь изложить по-русски и попроще.

Изоморфизм алгебр

В работе Garret Sobczyk “Spinors in Spacetime Algebra and Euclidean 4-Space” явно используется алгебраический изоморфизм между геометрической алгеброй евклидова четырёхмерного пространства и алгеброй пространства-времени .
У Sobczyk соответствие записано как

откуда следует

Далее я буду использовать именно это соглашение. То есть наблюдаемые пространственные генераторы представляются в как произведения евклидова генератора на опору справа:

Если в обычной евклидовой выбрать 1-вектор , будем далее называть его опорой, и построить относительно него базис , то элементы этого базиса удовлетворяют определяющим соотношениям генераторов :

При этом реверсия и грейд-инволюция в наблюдаемой , конечно, не совпадают с исходными операциями реверсии и грейд-инволюции в , и должны быть переопределены.
Удобно будет ввести одну операцию опорного отражения:

На векторах эта операция имеет простой смысл. Если , где - компонента вдоль , а - ортогональное дополнение, то . То есть опорная компонента сохраняется, а всё ортогональное ей меняет знак.
Кстати, это похоже на механизм лоренцизации метрики вида

где отражение относительно выбранной опоры меняет знак ортогонального дополнения в Reddy-Sharma-Sivaramakrishnan “Lorentzian metric induced from a background Riemannian metric”.
Тогда наблюдаемая реверсия задаётся как опорное отражение исходной реверсии

и наблюдаемая грейд-инволюция - аналогично:

То есть наблюдаемая реверсия и наблюдаемая грейд-инволюция получаются из соответствующих операций через то же опорное отражение. Само геометрическое произведение при этом остаётся обычным произведением внутри .
Наконец, на бивекторном секторе та же идея даёт комплексную структуру. Если

это евклидова дуальность, то сама по себе она имеет квадрат +1. Но композиция дуальности с опорным отражением

уже даёт

Поэтому можно использовать как мнимую единицу на пространстве пар , где

Таким образом, одно и то же опорное отражение

участвует сразу в нескольких конструкциях: в лоренцизации метрики, в переопределении наблюдаемой реверсии и грейд-инволюции, а в композиции с евклидовой дуальностью - в появлении комплексной структуры на бивекторном секторе.

Ниже приведена обзорная таблица сопоставления элементов двух алгебр:

Например,

Таким образом, любую алгебраическую операцию STA (space-time algebra, ) можно переписать в терминах элементов евклидовой , если заранее зафиксирован опорный генератор и выбран соответствующий образ базиса.

Электромагнитное поле в смещённой алгебре Клиффорда

В свете такой роскоши стоит хотя бы бегло взглянуть на формулу электромагнитного поля в STA: оно записывается не парой векторов , а единым бивектором . В натуральных единицах, опуская коэффициенты , уравнения Максвелла сворачиваются в одну формулу:

где - пространственно-временной градиент, - электромагнитный бивектор, а - 4-ток.
Поскольку геометрическое произведение вектора на бивектор содержит две части,

это одно уравнение сразу распадается на две группы:

Первая строка даёт неоднородные уравнения Максвелла:

Вторая строка даёт однородные:

То есть в STA электрическая и магнитная части не являются двумя независимыми сущностями. Они являются двумя наблюдательными разложениями одного пространственно-временного бивектора .
Для выбранной временной опоры это поле обычно раскладывается как

где - псевдоскаляр STA, а и - пространственные векторы относительно выбранного наблюдателя.

Применим соглашение Sobczyk:

Тогда временно-пространственные бивекторы STA переходят в обычные векторы , следовательно, электромагнитный бивектор после переноса в уже не является однородным бивектором исходной алгебры - электрическая часть становится векторной, тогда как магнитная остаётся бивекторной. Коэффициенты при этом остаются те же, поэтому далее мы просто будем обозначать , подразумевая их евклидовые образы, если не указано иное.
Это показывает, что единый бивектор в STA как бы “скрывает” сдвинутую структуру. Лоренцев градиент и 4-ток при том же соответствии принимают вид

Поэтому уравнение Максвелла можно читать как уравнение между сдвинутыми уровнями:

Раскроем левую часть по грейдам:

где
(1) ,
(2) ,
(3) ,
поэтому полное уравнение

распадается по грейдам:

Давая те же уравнения Максвелла с точностью до выбранного знака пространственного градиента.
Но теперь видно, что эти четыре строки возникают не просто как две тензорные группы и , а как четыре грейдовые проекции одного уравнения в смещённой алгебре:

Паравектор источника занимает скалярно-векторный сектор,

а поле занимает векторно-бивекторный сектор

Таким образом, уравнение Максвелла связывает две соседние ступени смещённой (проективной) алгебры:

Продолжение, наверное, следует.