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原题

起因是一道考试时遇到的题

设$n=\overline{abc}$表示一个三位数，记$f(n)=(a+b+c)+(a\cdot b+b\cdot c+c\cdot a)+a\cdot b\cdot c$，则满足$f(n)=n$的三位数个数是______。

最暴力的我做题时直接把含a的多项式和含b的多项式及c与$f(n)=100a+10b+c$的对应系数取等号联立方程，然后求出$\begin{cases}b=9\\c=9\end{cases}$，之后求出199,299,399,⋯,999共九个三位数，然而我总感觉有问题，于是写了程序检验了一下，发现$f(n)\leq n$，最后想了好久证明了出来。
如下：
$f(n)-n \
=(a+b+c)+(a\cdot b+b\cdot c+c\cdot a)+a\cdot b\cdot c-(100a+10b+c)\
=a(1+b+c+b\cdot c)+b(1+c)+c-(100a+10b+c)\
=a(1+b+c+b\cdot c-100)+b(1+c-10)\
\leq a(1+9+9+9*9-100)+b(1+9-10)=0$
当且仅当$b=c=9$时等号成立

升级

上课老师讲课时化为了$f(n)=(a+1)(b+1)(c+1)-1$进行计算。
然后我就想如果是其他位数时,也满足这个条件吗？
检验呢一下发现int范围内都符合，当且仅当除最高位都为9时等号成立。
想了好久证明，觉得可以用数学归纳法如下：
命题：$(a₁+1)(a₂+1)(a₃+1)\dots (aₙ₊₁-1)\leq \overline{a₁a₂a₃⋯aₙ}$对$n \in N^*$且$n \geq 2 $ 恒成立,当且仅当$a₂=a₃=⋯=aₙ=9$时等号成立,$a₁,a₂,a₃ ⋯ aₙ ∈ \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$
当$n=2$时，$(a₁+1)(a₂+1)-1-(a₁*10+a₂)=a₁a₂+a₁+a₂-10a₂-a₃=a₁(a₂-9) \leq 0$,当且仅当$a₂=9$时等号成立
假设当$n=k \in N^*$且$k \geq 2$时 $(a₁+1)(a₂+1)(a₃+1)⋯(aₖ+1)-1 \leq \overline{a₁a₂a₃⋯aₖ}$成立且当且仅当$a₂=a₃=⋯=aₖ=9$时等号成立
当$n=k+1$时，
$(a₁+1)(a₂+1)⋯(aₖ+1)(aₖ₊₁+1)-1- \overline{a₁a₂a₃⋯aₖ}\
=(aₖ₊₁+1)[(a₁+1)(a₂+1)⋯(aₖ+1)-1+1]-1-10* \overline{a₁a₂a₃⋯aₖ}-aₖ₊₁\
=(aₖ₊₁+1)[(a₁+1)(a₂+1)⋯(aₖ+1)-1-\overline{a₁a₂a₃⋯aₖ}] +(aₖ₊₁-9)\overline{a₁a₂a₃⋯aₖ}\leq 0$
当且仅当$a₂=a₃=⋯=aₖ=aₖ₊₁=9$时等号成立
所以$(a₁+1)(a₂+1)(a₃+1)\dots (aₙ₊₁-1)\leq \overline{a₁a₂a₃⋯aₙ}$对$n \in N^*$且$n \geq 2 $ 恒成立,当且仅当$a₂=a₃=⋯=aₙ=9$时等号成立,$a₁,a₂,a₃ ⋯ aₙ ∈ \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$