配对交易，本乎简易之理：觅二资，其动相协，俟其分驰，乃赌其复合。其难在定“相协”之界。二商品ETF，EWA（澳大利亚）与EWC（加拿大），于数载间，其相协度达0.95。均值回归者见此数，遂以为价差必复归。然价差渐离，数月未合。其相协实然，而策略犹失金。其弊在，相协仅示二序同向之趋，而协整乃明其系于长程均衡，使偏颇暂存，终将自正。

此别甚要，盖因多数金融时序非平稳（其游荡而无定均）。二非平稳时序，或偶生高度相关（此即格兰杰与纽博尔德所识之"伪回归"问题）。而协整，乃其差分之正式检验也。（或其線性組合）為穩定，意謂之確實回歸於均值。

讀者終此篇，將試用英格爾-格拉寧及約翰森之法檢驗整合性，知其爭論之時與由，並於實ETF數據上構建簡易雙重交易策略。

資料：國家ETF對

吾用二iShares国之ETF：EWA（Australia）及EWC（Canada）。二国皆货殖之出口国，其经济驱动力相似（采矿、能源、农事），故有根本之由，可期其长程之关系。此乃原R分析所译之对也。

为较之，吾亦测GLD（金）与GDX（金矿者）。虽其显有相系，然金矿者有特异之险（管理、成本、杠杆），可破协整之理。

此二ETF于十七年间，显然相随。二〇〇八年同崩，同复，而于COVID时暂分，后复会合。然形似非协整之证。吾需正法以验之。

速胜之法：检验协整

点击徽章，自行运行此法：

import numpy as np
import pandas as pd
import yfinance as yf
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

# Download EWA and EWC adjusted close prices
ewa = yf.download("EWA", start="2007-01-01", end="2023-12-31",
                   auto_adjust=True, progress=False)["Close"]
ewc = yf.download("EWC", start="2007-01-01", end="2023-12-31",
                   auto_adjust=True, progress=False)["Close"]

# Align on common trading days
common = ewa.index.intersection(ewc.index)
ewa, ewc = ewa.loc[common], ewc.loc[common]
print(f"{len(ewa)} trading days, {ewa.index[0].date()} to {ewa.index[-1].date()}")

4278 trading days, 2007-01-03 to 2023-12-29

恩格尔-格兰杰检验分两步：以一序列对另一序列回归，再检验残差是否平稳.

from statsmodels.regression.linear_model import OLS

# Regress EWC on EWA (no intercept, following the original R code)
model = OLS(ewc.values, ewa.values).fit()
spread = model.resid
print(f"Hedge ratio: {model.params[0]:.4f}")

# ADF test on the residuals
adf_stat, adf_pval, _, _, crit_vals, _ = adfuller(spread, regression="n")
print(f"ADF statistic: {adf_stat:.4f}")
print(f"p-value: {adf_pval:.4f}")

Hedge ratio: 1.5674
ADF statistic: -3.1704
p-value: 0.0015

ADF检验在1%水平上拒绝单位根原假设（p=0.0015）。EWC与1.57倍EWA之间的差异是平稳的，这意味着这两个ETF是协整的。任何偏离长期关系的趋势都会倾向于自我修正.

差异之状如下：

流散虽漫，终归其平。非若随机游走，永逝于一方。此归均值之性，正为ointegration之交易所用也.

何事之有？

平稳性：其要义也

靜態時序，其均值方差恒定不變。若取任何時窗，其統計觀察大抵相似。股價幾乎無靜態者（或趨升或趨降），然兩整合之股價間，其散度或可靜態。

增广迪基-福勒（ADF）之检验，察序列有无单位根（非平稳）。零假设为“此序列有单位根”（于吾不利）。p值甚小，则可拒零假设，断序列为平稳（于吾有利）。

英格尔-格兰杰两步法

英格尔与格兰杰（1987）所倡，法甚简明：

1. 回归一时序列与他时序列相较：$\text{EWC}_t = \beta \cdot \text{EWA}_t + \varepsilon_t$
2. 试其残差$\varepsilon_t$之平稳性，以ADF检验之

若残差平稳，则二序列相协整，协整向量在$[1, -\beta]$。系数$\beta = 1.57$即之对冲比也：每有 EWC 一元，必持 EWA 之钱一元五角七分，以平息其共趋之势。

：然有微妙之理：所择之数，孰为因孰为果，实有关键。原 R 之码，双向运行（EWC 依 EWA，EWA 亦依 EWC），择 ADF 统计量最负之回归。吾等之例，两途所得，大略相仿。

：何不径用相关之法？

二序列之相合或可至九九，然未必同根。试想二随机游走，适逢同期间上扬。其相合度必高，然其散差将无界漂移。反之，二同根序列，若暂离而复归，短期相合度或低。相合度量同动；同根度量随行有缰。

约翰森之法：多元之术

英格-格兰杰之法，仅限于对偶。约翰森之验，乃某某所引。约翰森（1991），可同时处理任意数量之时间序列。其运作基于向量自回归（VAR）之框架，并估量之。整合秩：诸序列间，独立协整之关系几何？

from statsmodels.tsa.vector_ar.vecm import coint_johansen

data = np.column_stack([ewa.values, ewc.values])
result = coint_johansen(data, det_order=0, k_ar_diff=1)

print(f"Trace statistic (r=0): {result.lr1[0]:.2f}")
print(f"95% critical value:    {result.cvt[0, 1]:.2f}")

Trace statistic (r=0): 16.66
95% critical value:    15.49

迹统计量（16.66）逾越95%临界值（15.49），故约翰森亦拒无协整之原假设。EWA/EWC二者之法，其意相合。

考验相悖时

昔之R码所用日期范围较短，Engle-Granger尝发微弱之协整（p=7%），而Johansen则未之察。此显一要旨：协整之检，其敏感在样本之期、结构之变、滞后之择。如二零零八年之金融危，足以乱其关系。当二法相左，盖协整微弱或依时序而异，非择其善者之由也。

深入探究

配对交易：利用均值回归

若价差平稳，可交易其均值回归。策略简明：

1. 计算价差滚动z分数：$z_t = \frac{s_t - \bar{s}_{60}}{\sigma_{60}}$
2. 价差异常便宜时买入$z < -2$（价差异常便宜）
3. 价差异常昂贵时卖出$z > +2$ (散布异常昂贵)
4. 闭时$z$越零 (散布已回归)

"购散布"即长持EWC、短持EWA (按对冲比率成比例)。 "售散布"则反之。

Z分数在约-4至+4间振荡，定期越交易阈值。每越一次，皆为潜在交易之入或出。

回测之果

运此简策于十七载EWA/EWC之数：

策生累计盈亏约一九元于每单位价差，计交易百三十五次，年化夏普比率得零点六九。权益曲线多呈上扬，然二零一二至二零一四年间，价差久漂，遂有显著回撤。

此乃玩具回测也（无交易成本、价差滑点或融资费用）。真实实施需慎之又慎，然核心信号（均值回归价差）实属真切。

一偶败：GLD与GDX

欲观非协整之貌，可取GLD（金）与GDX（金矿）而察之。虽其理相通，然金矿有公司独有之险，破其长程之衡。

ADF检验统计量对于EWA/EWC（-3.17）已远超所有临界值。至于GLD/GDX（-1.64），甚至未能通过10%水平。约翰森检验证实：GLD/GDX未显示任何协整迹象（迹统计量13.38）<15.49 之临界值也。

此故，独凭根本之理，未足也。汝需统计之验。

自相关：平稳之证

散布之自相关函数（ACF），昭示平稳之实

ACF自1.0处渐衰，此乃常态而持久之过程。若真非稳定之序列，其自相关将几无衰减。渐衰之象，证知扩散复归，然缓（据衰减率，半衰期约三月）。

超参数之择

此理何来

英格尔与格兰杰（1987年）：诺贝尔奖论文

英格尔与格兰杰于其1987年之文首倡整合理论协整与误差修正：表示、估计及检验，载于《计量经济学杂志》。此著使格兰杰获2003年诺贝尔经济学奖（与恩格尔共享，恩格尔因ARCH模型获认可）。

其要义在，虽各经济时序或非平稳（阶数一，即I(1)），然其线性组合可平稳（I(0)）。此形式化某经济变量为均衡之力所“系”之直觉，纵各变量自游自荡。

“协整之检验，可视为预试，以避‘虚假回归’之境。”
-- 英格勒 & 格兰杰 (1987)

吾所施之法，乃先回归，后验残差，此即其本原之法也。简明直观，至今仍为成对协整检验之最广行法。

约翰森 (1991)：多元之延展

索伦·约翰森之 1991年之文 "高斯向量自回归模型中协整向量的估计与假设检验"将协整检验推广至任意变量数。非 pairwise regression，Johansen 迹检验直接通过特征值分解估计协整矩阵之秩。

二变量者，约翰森之法与英格尔-格兰杰之法常相合。三变量或以上者（如诸商品ETF之篮），约翰森乃唯一可行之选。

迪基-富勒之基

二法终赖于增广迪基-富勒之试（迪基&富勒氏，一九七九年，用以察根。ADF之法，适此模型$\Delta y_t = \alpha y_{t-1} + \sum \gamma_i \Delta y_{t-i} + \varepsilon_t$，而验$\alpha = 0$（根）与$\alpha < 0$（稳）之辨。此验之数，不循常态之t，故需特值（迪基氏与富勒氏所列）。

互市交易之实

互市交易之学理，富勒氏一九七九年奠其基。盖特文、戈茨曼与罗文霍斯特（2006）《配对交易：相对价值套利规则之绩效考》。彼辈考配对交易于美利坚股市，自一九六二至二千零二年，得最佳配对之年均化收益约十一。

欲求全治，维迪亚穆尔蒂（Vidyamurthy）(2004) 配对交易：量化方法与分析 覆盖配对选取至执行之全流程。

详读

• 诺贝尔奖论文： Engle & Granger (1987)，《协整与误差修正》，经济学杂志
• 多元扩展： Johansen (1991)，"整合向量之估计与假设检验"
• 单位根基础： 迪基与富勒（1979），"自回归时间序列估计量之分布"
• 配对交易之实证： 盖特夫等（2006），"配对交易：相对价值套利规则之效能"
• 实用指南： 维迪亚穆尔蒂（Vidyamurthy）(2004)，配对交易：定量方法与分析，威利（Wiley）

互动工具

• 布莱克-斯科尔斯计算器 — 为你的配对交易中的资产定价期权
• 凯利准则计算器 — 探求交易策略之最优仓位比例
• 回撤计算器 — 分析投资组合回撤与风险指标

相关文章

• 隐马尔可夫模型：当簇拥有记忆 (时间序列之状态检测)
• 混合模型之马尔可夫链蒙特卡洛：推求地震之态（察隐态于计数之数）
• 线性回归五法（英格尔-格兰杰所筑之根基）
• 从零起估最大似然（ADF检验之根本框架）

常见疑问

相关与协整之别何在？

相关之度，测二序列于短时是否同趋。协整之验，则察二序列线性组合之平稳，谓其长程关系之离差，暂且自纠。二序列高相关，可永相离；二序列协整，则受均衡之约，必复归一。

可否时移而破协整？

然。协整非恒久之物。经济结构之变，行业动态之移，或法规之变，皆可毁前时稳定之关系。是故行家常以滚动窗口复验协整，察利差行为之变，以辨体制之迁。

为何英格尔-格兰杰检验有时与约翰森检验相左？

二法殊途。Engle-Granger独运回归，验其残差；Johansen则构向量自回归之框架。当协整微弱，或样本期涵结构之变，抑或滞后选择相异，二者或生龃龉。龃龉者，常为关系脆弱之兆，非稳健之征也.

何谓对冲比率，及其于配对交易何故为要？

围栏之率，乃整合回归之系数也。其示人持一资若干，以抗另一资，使合位有稳态之差。围栏之率失当，则差将漂而不返，反戕策略之本意.

对偶交易，犹利于今世之市乎？

学理之证，谓双元交易之利，自二千年初为世所知，已渐衰矣。然施诸流动性较薄之市，合以本源之析以择双元，或增益以更精微之信号生成，犹可获利。交易之费与执行之质，乃关键所在也。

吾需别其价列乎？方试协整之理？

勿需。协整之试，必用原（未别）之价列。其旨，乃求非定态之I(1)列之线性合，得定态之I(0)果。若先别之，则去汝所欲察之关系矣。