一、原文

在全国高考中，本节主要考查集合的概念、关系、运算等，下面梳理一些常考知识点

1、集合中元素的性质

确定性，互异性，无序性

2、集合间的基本关系

3、子集个数

当 nn 个元素的集合的子集有 2n2^n 个，非空子集有 2n−12^n - 1 个，真子集有 2n−12^n - 1 个，非真空子集有 2n−2(n≥1)2^n - 2(n \geq 1) 个

4、集合的基本运算

二、原文深度解析

1、概念

集合（set）简称集，是一个基本的 [数学模型]，指 [若干] [不同] [对象] 形成的总体

其他细节：

1. 集合里的对象称作元素或成员，它们可以是任何类型的数学对象：数字、符号、变量、空间中的点、线、面，甚至是其他集合
2. 若 xx 是集合 AA 的元素，记作 x∈Ax\in A
3. 不包含任何元素的集合称为空集；只包含一个元素的集合称为单元素集合
4. 集合可以包含有限或无限个元素
5. 如果两个集合所包含的元素完全相同，我们称这两个集合相等

2、性质

集合 [元素的性质] 有 [确定性]、[互异性]、[无序性]

互异性常考类型：集合相等

已知 {a,ba,1}={a2,a+b,0}\{a, \frac{b}{a}, 1\} = \{a^2, a + b, 0\}，则 a2022+b2023=________a^{2022} + b^{2023} = \_\_\_\_\_\_\_\_

对比总结:

• 选取最快的思考方法

  都有两个待定，如果由此进行分类讨论，情况太多，故选择从已知值 →\rightarrow 待定元素

• 选择最快的进入点

  如果从 11 开始，无法立即确定 a2a^2 是 11 还是 a+ba+b 是 11，但从 00 开始，即可立即确定 b=0b=0

• 务必验证

  求出参数后，务必验证是否满足互异性

3、集合之间的关系

• 空集 ∅\varnothing

  1. 空集是什么：

     • 年龄大于 200200 岁的活人
     • 大于 33 小于 22 的实数
     • 绝对值等于 −1-1 的实数

     以上能构成集合，满足集合的性质，但不包含任何元素

  2. 空集的简单考法

     已知集合 M={x∣2m<x<m+1}M = \{ x \mid 2m < x < m + 1 \}，且 M∈∅M \in \varnothing，则实数 mm 的取值范围是：________\_\_\_\_\_\_\_\_

• 子集

  如果 [集合 AA] 中任意一个元素都属于 [集合 BB] ，则称集合 AA 是集合 BB 的子集

  名称	解释	举例
  集合…集合	子集的概念是集合与集合之间	元素不能是一个集合的子集

  

三、子集个数公式证明

证明：若集合 AA 含有 nn 个元素，则 AA 的子集总个数为 f(n)=2nf(n)=2^n

参考视频如下

证法 1（分类法和递推公式）

第一步：当集合 A=∅A = \varnothing 时，其子集只有空集，f(0)=20=1f(0)=2^0=1，显然公式成立

第二步：当集合 A≠∅A \ne \varnothing 时，设集合 A={a1,a2,…,an}A = \{a_1, a_2, \dots, a_n\} 含有 nn 个元素

则集合 AA 的子集可分为两类

第一类共有 n−1n-1 个元素，所以共有 f(n−1)f(n-1) 种子集

第二类可看作第一类每个子集都添加一个元素 a1a_1而成，所以第二类子集个数为 f(n−1)f(n-1)

又由于总子集个数 = 第一类 + 第二类，即

f(n)=f(n−1)+f(n−1)=2f(n−1)f(n) = f(n-1) + f(n-1) = 2f(n-1)

重复应用上述递推公式可得

f(n)=2f(n−1)=22f(n−2)=23f(n−3)=⋯=2nf(0)=2n⋅1=2nf(n) = 2f(n-1) = 2^2f(n-2) = 2^3f(n-3) = \dots = 2^nf(0) = 2^n \cdot 1 = 2^n

证毕！

证法 2（乘法计数原理）

对于集合 AA 中任意子集 BB，那么集合 AA 中元素 aia_i 要么 ai∈Ba_i \in B 要么 ai∉Ba_i \notin B

根据分步乘法计数原理，从 a1a_1 到 aia_i 考虑 nn 步，每一步都有 22 种可能的情况，故 AA 的子集有 2n2^n 个

证法 3（数学归纳法）

第一步：当 n=0,1n=0,1 时，f(0)=1,f(1)=2f(0)=1,f(1)=2 显然公式成立

第二步：假设当 n=kn=k 时公式成立，f(k)=2kf(k)=2^k

则当 n=k+1n=k+1 时，可设 A={a1,a2,…,ak,ak+1}A = \{a_1, a_2, \dots, a_k, a_{k+1}\}

此时 AA 的子集可分为两类

则 f(k+1)=2f(k)=2k+1f(k+1)=2f(k)=2^{k+1}

所以当 n=k+1n=k+1 时，公式成立

最后根据数学归纳法原理可证得公式对于一切非负整数 nn 都成立

故证毕！

证法 4（组合数和二项式定理）

二项式定理：(a+b)n=Cn0anb0+Cn1an−1b1+…+Cnna0bn=∑k=0nCnkan−kbk(a + b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n - 1} b^1 + \ldots + C_n^n a^0 b^n = \sum_{k = 0}^n C_n^k a^{n - k} b^k

当 a=b=1a = b = 1 时，等式变为：(1+1)n=2n=Cn0+Cn1+…+Cnn(1 + 1)^n = 2^n = C_n^0 + C_n^1 + \ldots + C_n^n

组合数：从 nn 个不同元素中，不管顺序抽出 mm 个不同元素，其中组合种数称为组合数：Cnm=n!m!(n−m)!C_n^m = \frac{n!}{m!(n - m)!}

首先，设集合 AA 的元素个数为 nn，其子集的组成元素个数为 kk。

• 当 k=0k = 0 时：∅⟶Cn0\varnothing \longrightarrow C_n^0
• 当 k=1k = 1 时：{a1},{a2},…,{an}⟶Cn1\{a_1\}, \{a_2\}, \ldots, \{a_n\} \longrightarrow C_n^1
• 当 k=2k = 2 时：{a1,a2},{a1,a3},{a1,a4},…⟶Cn2\{a_1, a_2\}, \{a_1, a_3\}, \{a_1, a_4\}, \ldots \longrightarrow C_n^2
• …\ldots
• 当 k=nk = n 时：{a1,a2,a3,…,an}⟶Cnn\{a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n\} \longrightarrow C_n^n

集合 AA 的子集总个数为：Cn0+Cn1+…+Cnn=∑k=0nCnk=2nC_n^0 + C_n^1 + \ldots + C_n^n = \sum_{k = 0}^n C_n^k = 2^n

证毕！

四、补充

1、常见数集

2、集合的表示方法

1. 列举法

   举例	表示
   大于 11 小于 55 的整数构成的集合	A={2,3,4}A = \{2,3,4\}
   绝对值小于 33 的整数构成的集合	A={0,−1,−2,,1,2}A=\{0,-1,-2,,1,2\}
   所有偶数构成的集合	A={2,4,6,8,…}A=\{2,4,6,8,\ldots\}
   第一象限所有的点构成的集合	无法列举

2. 描述法

   举例	表示
   大于 11 小于 55 的整数构成的集合	A={x∣1<x<5,x∈Z}A = \{x \mid 1 < x < 5, x \in \mathbb{Z}\} 或 A={x∈Z∣1<x<5}A = \{x \in \mathbb{Z} \mid 1 < x < 5\}
   绝对值小于 33 的整数构成的集合	A={x∣∣x∣<3,x∈Z}A=\{x \mid \lvert x \rvert < 3, x \in \mathbb{Z}\}
   所有偶数构成的集合	A={x∣x=2k,k∈Z}A=\{x \mid x = 2k, k \in \mathbb{Z}\}
   第一象限所有的点构成的集合	A={x∣x=(x,y),x>0,y>0,x∈R,y∈R}A=\{x \mid x = (x, y), x > 0, y > 0, x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R}\}