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P6145 [USACO20FEB] Timeline G SPFA差分约束最长路题解
PYM · 2026-03-25 · via

题目传送门

题意简述

N 次挤奶,在 M 天 内完成,需要求出每次挤奶的最早可行日期,同时满足两个硬性约束:

  1. 基础约束:第 i 次挤奶的日期 不能早于第 Sᵢ 天

  2. 时序约束:给定 C 条规则 (a, b, x),要求第 b 次挤奶的日期 ≥ 第 a 次挤奶的日期 + x(b 比 a 至少晚 x 天);

  3. 题目保证所有约束无矛盾,一定存在合法方案。

题目思路

步骤 1:建图

我们引入超级源点 0,这样可以让 SPFA 能一次性处理所有规则,不用额外写代码特殊处理。

值得注意的是,超级源点 0 到其他点的单向边代价应该是 这个点不早于第 Sᵢ 天挤奶的时间,也就是 Sᵢ ,不然的话SPFA不会按照限定的时间,可能会提前。


  1. 距离数组 dis[]全部初始化为负无穷(因为我们要求的是最长路)

  2. 超级源点 dis[0] = 0

  3. 用队列存储待松弛的节点,初始把节点 0 入队

  4. 标记数组 vis[]:标记节点是否在队列中,避免重复入队


步骤 3:SPFA 最长路松弛

标准 SPFA 流程,但是判断 dis[v] > dis[u] + w 改成 dis[v] < dis[u] + w


步骤 4:得到答案

队列空时,dis[i] 就是第 i 个变量的最小合法值(满足所有约束)。

然后直接输出就可以了,恭喜你做完了这道题!

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 1e5 + 5, INF = 1e9 + 7;
int n, m, kk;        // n:挤奶次数 m:总天数 kk:约束条数
int lim[N];          // 存储每次挤奶的最早天数下限
vector<vector<pair<int, int>>> e(N); // 邻接表存图
bool vis[N];         // SPFA标记数组
ll dis[N];           // 存储答案(最长路结果)

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0), cout.tie(0);
	cin >> n >> m >> kk;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> lim[i]; // 读取下限约束
	for (int i = 1; i <= kk; ++i) {
		int u, v, w;
		cin >> u >> v >> w;
		e[u].emplace_back(v, w); // 建约束边:v >= u + w
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		e[0].emplace_back(i, lim[i]); // 超级源点:满足i >= lim[i]
	}
	fill(dis + 1, dis + n + 1, -INF); // 最长路初始化:负无穷
	vis[0] = true;
	dis[0] = 0;
	queue<int> q;
	q.emplace(0);
	while (!q.empty()) {
		int u = q.front();
		q.pop();
		vis[u] = false;
		for (auto tmp : e[u]) {
			int v, w;
			tie(v, w) = tmp;
			if (dis[v] < dis[u] + w) { // 最长路松弛操作
				dis[v] = dis[u] + w;
				if (!vis[v]) {
					vis[v] = true;
					q.emplace(v);
				}
			}
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		cout << dis[i] << "\n"; // 输出每次挤奶的最早日期
	}
	return 0;
}