数理逻辑
命题
非真即假的封闭陈述句就是命题 (proposition)。一个命题的真值 (truth value) 表示命题的真假情况，本课程定义 1 为真，0 为假。
一个无法被分解的命题称为简单命题或原子命题 (atomic proposition)，简单命题通过联结词 (logical connectives) 联结得到复合命题 (compound propositions)
一个命题需要满足以下两个条件：1）是陈述句；2）非真即假，即仅有唯一真值。
条件 1）比较好达成，但要注意数学表达式（如 1<21 < 2）也是一种陈述句。
条件 2）可能就有点难了。我们只看它能否理论上判断有唯一真值，不需要确定它是真是假。例如 “我喝了 114514 杯红茶”，我们现在可能无法确定到底是高手在民间还是吹牛批，但它有唯一真值！而 x+1>2x + 1 > 2 就不是一个命题，因为它有时真有时假。而 “这句话是假的” 同样不是一个命题，因为它同时是真和假。
和 ChatGPT 交流后发现，命题还有一个特征：陈述的主语必须无歧义。换句话说，主语不能是指代模糊的 xx、“He” 等。如果你需要上下文、需要自圆其说，那么他就不是一个命题。例如 “它是整数”，谁是整数？它是 1，是 “笔记本”，还是 “福州大学”？我们无法判断。这个特征需要灵活运用，因为在一些语境下，可能默认代词有指称。
直到现在我们讲的还是简单命题。对于复合语句呢？我们只需要其分解为简单陈述句，然后分别判断即可。只有所有简单陈述句都是命题，复合语句才是命题。
例如 “如果明天不下雨，我们就去公园”，这句话可以分为 “明天下雨” 和 “我们去公园”，这两个都是命题，所以一整句话也是一个命题。
语句是否为命题，和语句的语意合理情况无关。例如 “北京是首都当且仅当 2 + 2 = 4”，虽然荒谬但确实是命题。
我们习惯上用字母 pp, qq, rr, ss, … 来表示命题变量 (propositional variables)，即表示命题的变量。
我们有 5 个联结词：
否定 (Negation)
令 pp 为一命题，则 pp 的否定记作 ¬p\neg p ，指 “不是 pp 所指的情形”，pp 的否定与 pp 的真值相反。(NOT)
否定运算符的记号并没有统一的标准，只是 " ¬\neg " 比较常用而已
抽取简单命题时，不可抽取否定语句。例如上面的 “如果明天不下雨”，抽取的就是 “明天下雨” 而不是 “明天不下雨”。
命题的否定也可以看作否定运算符 (negation operator) 作用在命题上的结果。
合取 (Conjunction)
令 pp, qq 为命题，pp, qq 的合取即命题 “pp 并且 qq”，记作 “p∧qp\land q”，当 pp, qq 皆为真命题时，p∧qp\land q 为真，否则为假。(AND)
如果一个命题为假，那么整个合取式固定为假；如果一个命题为真，那么整个合取式的真值取决于另一个命题。
析取 (Disjunction)
令 pp, qq 为命题，pp, qq 的析取即命题 “pp 或 qq”，记作 “p∨qp\lor q”，当 pp, qq 皆为假命题时，p∨qp \lor q 为假, 否则为真。(OR)
如果一个命题为真，那么整个析取式固定为真；如果一个命题为假，那么整个析取式的真值取决于另一个命题。
异或 (Exclusive or)
令 pp, qq 为命题，pp, qq 的异或（记作 p⊕qp\oplus q）是这样的一个命题：当 pp, qq 中恰好有一个为真时命题为真，否则为假。
换句话说，命题 pp, qq 的真值相同则为假 (0) ，真值不同则为真 (1)。
| pp | p⊕qp\oplus q | |
|---|---|---|
| T | T | F |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
联想到异或运算，其实是同一个概念，二进制位相同则为 0，二进制位不同则为 1。
和析取相比，异或排除了 pp、qq 同时成立的情况，因此也称 “排斥或”。与之相对的，“析取” 也称 “相容或”
蕴涵 (Implication)
或称条件语句 (Conditional Statement)。
令 pp, qq 为命题，蕴含 p→qp\rightarrow q 是命题 “如果 pp，则 qq”，当 pp 为真而 qq 为假时，条件语句 p→qp\rightarrow q 为假，否则为真。在蕴涵中，pp 称为假设（hypothesis，或前件 antecedent，前提 premise），qq 称为结论（conclusion，或后件 consequence）。
| pp | p→qp\rightarrow q | |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
为什么 pp 为假时，qq 不论真假，命题一定为真？
如果 qq 为假，不必多说，确实符合这个命题。
如果 qq 为真，命题没有规定 pp 为假的情况，并且仍然在一定程度上符合命题。
因此，如果 pp 为假，我们不需要使用 p→qp\rightarrow q。既然我们不会使用它，我们可以将其真值定义为任何我们喜欢的东西，但也要符合其他的联结词。
蕴含式中 pp 和 qq 的顺序很重要。如果交换 pp 和 qq，会产生一个不同的命题。
常用的自然语言描述：
- 只要 pp，就 qq
- 因为 pp，才 qq
- pp 仅当 qq
- 只有 qq 才 pp
- 除非 qq 才 pp
- 除非 qq，否则非 pp（¬q→¬p\neg q \rightarrow \neg p，假言易位）
等价 (Biconditional)
如果 p→qp\rightarrow q 且 q→pq\rightarrow p，则称 pp 和 qq 等价，即 p↔qp\leftrightarrow q，也叫双条件。等价式中的两个命题可以交换。