引入
英语的题目里常常能见到这么一种叫做“选词填空”的题型，这种题目要求学生将给定的10个单词填入所给短文中的10个空，而且需要进行相应的词性变换。
小明是一个英语不太好的学生，每次遇到这种题，他都会将所给的10个词随便地填入10个空中。那么，这就出现了一个数学问题：
在不考虑词性变换的情况下，将10个备选词填入10个空。设答对题数为，求的分布列和数学期望。
解决问题
由于“选词填空”这种题型只提供了10个词和10个空，所以可以知道
那么答案就总共有 种情况。
全部答对
我们可以先讨论最简单的情况：全部答对。
由于标准答案只有一种可能，可得
错位排列问题
为了研究 的情况，我们需要先引入错位排列问题。
假设我们有 封信件，每个信件都有其对应的一个信封，如果我们在装信封的时候把每一个信件都装错，有几种可能？
这个问题的解法总共分两步：
将第 封信装进其他信封，共有 种装法。假设我们将第 封信装进了第 个信封。()
将第 封信装进其他信封，此时有两种情况： 一、将第 封信装进第 个信封，那么此时可看作是对剩余的 封信进行错位排列； 二、将第 封信装入除第 个信封之外的其他信封，那么此时可看作第 封信对应第 个信封，对这 封信进行错位排列（因为前提已经说明，此时第 封信不可能装入第 个信封）。
设这 封信件共有 种错位排列的放法，于是，我们可以得出下面的递推式
通过简单列举法，我们可以得出 ，，那么，我们就可以通过递推式算出其他 的值了：
其他情况
接下来，我们就可以研究 的其他情况了。不妨先从 入手。
当 时，这个问题就可以简化为10个单词的错位排列问题。那么根据上面所推出的递推式，我们可以得出
因此，可得
当 时，可看作是对除了填对的那一空单词以外，其他单词的错位排列问题。那么我们可以得出
以此类推
计算结果
综上，可得 的分布列：
那么，再根据分布列，可算出 的数学期望
结语
看得出来，如果小明做选词填空的时候是完全随机乱填的，那么他大概率会错一大堆。