引入
如图所示，图中有一个复杂的多边形，它存在于一个网格中，假设网格每一个的边长都是1，那么，这个多边形的面积是多少呢？
看到这个问题，你可能会优先采用小学老师教过的“大面积减小面积”的方法，但这种方法计算起来比较慢。那么，是否有公式可以直接求解它的面积呢？这看似不可能的公式还真的存在，它就是皮克定理。
皮克定理
对于如上图所示的这样的多边形，它的面积符合如下公式：
- 是多边形内部所包含的格点总数
- 是多边形的边所经过的格点总数
以上图的多边形为例，套用公式即可得出面积
那么接下来，我们尝试简单证明一下这个公式。
证明
我们不妨先从最简单的情况入手，即求解网格中长方形的面积。
一个简单的长方形
由于网格的固有性质，我们可以知道长方形的周长与多边形的边所经过的格点总数是相等的。设长方形的长与宽分别为、，可得
移项，可得
接着，我们可以知道，多边形内部所包含的格点总数可以用、来表示，即
化简，得
由，可得
将式代入，即可得出公式
那么现在我们就证明了长方形情况下的皮克定理，但皮克定理可用于网格中的任意多边形，所以我们还需要推广这个公式。我们知道，将这样的长方形在网格中进行切割、拼接操作即可获得复杂的多边形，所以我们也可以以此来推广我们刚刚证明出来的公式。
切割时分为多种情况，我们一一分类讨论。
切割线不经过或包括多边形内部的格点
示例：切割后的多边形
若切割时切割线不经过或包括多边形内部的格点，那么切割出来的这个三角形必有一边的边长为1。
- 当我们把长度为1的边拼接在切割后的多边形上，则不会改变和的大小
示例：拼接后的多边形
设拼接后多边形的边所经过的格点总数为，则有
故此时的不变。又因为切割线不经过或包括多边形内部的格点，所以也不变。
所以，此时拼接后的图形的面积仍为
- 当我们把长度不为1的另一条边拼接在切割后的多边形上，则和大小改变，但面积不变
示例：拼接后的多边形
设拼接后多边形内部所包含的格点总数及其变化量分别为、，拼接后多边形的边所经过的格点总数为，拼接后的面积为，则有
假设皮克定理的公式对此时的多边形仍然成立，则有
将式代入，可得
由于网格的固有性质，拼接时多边形内部所包含格点总数的变化量会与所拼接的三角形的边长有如下关系（设所拼接三角形的边的边长为）：
移项，得
由于网格的固有性质，拼接后多边形的边所经过的格点总数符合下式：
将式代入，可得
将式代入式，可得
化简，即可得出面积
故
假设成立，皮克定理的公式对此时的多边形仍然成立。
综上所述，切割线不经过或包括多边形内部的格点时，皮克定理成立。
切割线经过或包括多边形内部的格点
示例：切割后的多边形
示例：拼接后的多边形
设切割下来的三角形中，包含了个格点，所拼接三角形的边的边长为，拼接后多边形内部所包含的格点总数及其变化量分别为、，拼接后多边形的边所经过的格点总数为，拼接后的面积为，切割线所经过的格点数为，则有
可得
假设皮克定理的公式对此时的多边形仍然成立，则有
将式代入，可得
由于网格的固有性质，拼接后多边形的边所经过的格点总数符合下式：
将式代入，可得
将式代入式，可得
化简，即可得出面积
故
假设成立，皮克定理的公式对此时的多边形仍然成立。
综上所述，切割线经过或包括多边形内部的格点时，皮克定理成立。
结论
我们证明了由长方形切割而来的所有多边形，其面积都符合皮克定理的公式；又因为这样切割而来的多边形囊括了网格中所有的多边形，因此网格中所有的多边形的面积都符合皮克定理：
结语
上面的证明过程可能较为简单，毕竟是我自己研究而得的结果，有的地方或许会不严谨，如果你有发现任何错误，欢迎在留言区指出。