Mora, T., & Bialek, W. (2011). Are biological systems poised at criticality? Journal of Statistical Physics, 144(2), 268-302.

论文笔记的第三部分

动力学笔记的第七部分

统计学临界 vs. 动力学临界

上一篇《Are biological systems poised at criticality?》论文笔记介绍的是作为模型框架的最大熵原则。这个框架并不必然导致系统具有临界现象，因为模型的拉格朗日乘子仍然待定，需要具体问题中的实验数据来拟合。

但是很多用这一框架建模的生物系统都具有临界现象，从这些系统抽样出来的实验观测数据独立同分布，所以本节称之为“统计学临界”。作者举例有三：

• 神经元的网络
• 生物信息序列的系综
• 鸟群的运动

很有意思，但和我的研究内容不怎么重合，没仔细看……

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原文直接用 “Criticality, however, can also be meant as a dynamical concept.” 一句话把话题转到了动力学临界的方向，完全没给出其定义。（其实前面统计学临界定义也很模糊。）

然后在这一节内举了两个例子：

• 神经元网络激活率的 avalanche（算成动力学临界有点勉强）
• 负责听觉的毛细胞的 Hopf 分岔

没了。下一节就是展望未来了。

动力学临界的定义

对于动力学系统 $\dot{\vec z}=\mathrm d\vec z/\mathrm dt=\vec f(\vec z)$，或者说

$$\begin{cases}\dot z_1=\mathrm dz_1/\mathrm dt = f_1(z_1,z_2,\dots z_n) \\\dot z_2=\mathrm dz_2/\mathrm dt = f_2(z_1,z_2,\dots z_n) \\\dots \\\dot z_n=\mathrm dz_n/\mathrm dt = f_n(z_1,z_2,\dots z_n) \\\end{cases}$$

$\vec f=(f_1,f_2,\dots,f_n)$ 的表达式中除了 $\vec z=(z_1,z_2,\dots z_n)$ 以外的变量，称作系统的参数。

参数的不同取值，在相空间 (phase space) 中，会给出不同的相图 (phase portrait)，包括不同的动力学轨迹，不同的驻点位置、数量、种类……（参考本系列第 [1][2][3] 篇）

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虽然存在定量的不同，但是在一定的取值范围内，phase portrait 定性上类似，比如驻点的数量和种类相同。一个内部性质相似的参数取值范围就框选出动力学的一个相。

（用代数的语言说，“驻点的数量和种类相同”构成一个等价关系，每一个相就是这一关系在参数空间定义出来的一个等价类。）

（想炫技的话，这里的等价关系可以用不同参数下的相图 (phase portrait) 之间的同伦 (homotopy) 来更拓扑地定义？）

动力学相变 (phase transition) 指的是在系统的参数改变时，系统的动力学 landscape 定性的改变，主要体现为相图 (phase portrait) 中驻点的数量和种类的变化。

临界点 (critical point) 是动力学相与相之间分界处的参数取值，临界面就是临界点的高维版本。

临界现象 (criticality) 是参数从相的内部向临界点取极限时，动力学系统展现出的不同于相的内部深处的行为。

相图 (phase diagram) 用来直观地表示参数空间内不同的相，以及各个相之间的临界点和临界面。当参数只有 1 个维度时，还可以用纵坐标表示出各个相的具体动力学特征，也就是驻点的数量和取值。

比如说之前一直拿来当例子的洛伦兹系统，有 3 个动力学相：

• $0 < r < 1$ 时，只有 1 个驻点，而且是稳定驻点；
• $1 < r < r_H$ 时，存在 3 个驻点，其中 1 个不稳定，2 个稳定；
• $r > r_H$ 时，存在 1 个不稳定驻点，2 个奇异吸引子。

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前面用分割线 <hr/> 分隔开来的两段文字里，相 (phase) 的含义不同，应该当成两个完全不同的词来理解：

• 前一部分里 Phase portrait 的“相”来自“相空间”，和我们生活于其中的现实空间相对；
• 后一部分里 Phase diagram 的“相”来自统计物理，和“固相”“液相”“气相”的“相”同源。

相变·分岔 (Bifurcation)

因为上面的动力学函数对动力学变量和参数往往都是连续的，所以随着参数在相变点附近连续变化，一个驻点可以连续地变化成多个驻点，就像是树枝的分岔 (bifurcation)，或者反过来像江河的汇流。

此时以参数为横坐标，驻点为纵坐标的相图也被称作分岔图 (bifurcation diagram)。

常见的分岔类型列举如下，本文已经很长了，他们的具体表现和图示，将在下一篇笔记展开——

驻点相关的分岔 bifurcation of fixed points:

• 鞍结 saddle node bifurcation
• 跨临界 transcritical bifurcation
• 草叉 pitchfork bifurcation
  • 超临界 supercritical pitchfork bifurcation
  • 次临界 subcritical pitchfork bifurcation

极限环相关的分岔 bifurcation of cycles:

• Hopf 分岔
  • 超临界 supercritical Hopf bifurcation
  • 次临界 subcritical Hopf bifurcation
  • 简并 degenerate Hopf bifurcation
• 全局分岔 global bifurcation of cycles
  • 鞍结 saddle node bifurcation of cycles
  • 无限周期 infinite-period bifurcation
  • 鞍环 (saddle-looping) / homoclinic bifurcation

临界现象

临界现象和相变不完全是一回事。

相变过程的开始和结束，系统处在不同的相内，参数嘎一下跨过临界点了；

临界现象只要求参数的取值向临界点/面取极限，并不要求系统一定跨过去。

临界现象有很多，下面在动力学语境下简介两种：滞回、临界减速

滞回 (Hysteresis)

动力学中的滞回指的是当参数沿一个方向跨过某个临界点时动力学系统的行为，和参数沿反方向跨过同一临界点时不同的现象。参数在临界点附近的变化，给动力学系统的影响不可逆。

Steven H. Strogatz 的《Nonlinear Dynamics and Chaos》第三版中给出的例子大致如下：

原文给出了动力学系统的具体表达式，不过不重要。非线性嘛，定性和半定量分析就差不多了。

重要的是 phase diagram 的定性结构。图中蓝线是系统的稳定驻点，红色虚线是不稳定驻点。

• 假设系统在 r 很小的情况下动力学变量 x 已经稳定在了原点附近的驻点附近。
• （黄线）当 r 从小到大跨过临界点 $r_2$ 时，原点从稳定驻点变得不稳定，系统会自发对称性破缺，x 快速离开原点，演化到上下两臂之一的新稳定驻点。不失普遍性，假设是上臂。
• （绿线）这时候再让 r 从右到左跨越 $r_2$，系统回到了原来的相，但是 x 并没有回到原点，而是留在上臂，随着 r 的变化而连续变化。
• 直到 r 比 $r_1$ 还小之后 x 再次回到原点，但这已经是另外一次相变，和另一个滞回现象了。

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举个现实中的例子，巧克力在临界温度附近是否凝固并不只取决于温度和压强——不像晶体，温度和压强足以确定晶体到底是熔融还是结晶——还要看之前的历史。

即便是同一个温度和压强——

如果是从低温的凝固巧克力块缓慢加热上来的，则巧克力仍可能保持凝固；

如果是从高温的流动巧克力液缓慢冷却下来的，则巧克力仍可能保持流动。

这好像是十多年前 IYPT/CUPT 的一道题目吧……暴露年龄了

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Steven H. Strogatz 的《Nonlinear Dynamics and Chaos》第三版中提到的其他滞回例子包括：

• 平衡态和混沌的切换 p.333 p.345
• 外力驱动摆 p.291 p.325
• 受迫 Duffing 振子 p.323
• 水动力学稳定性 p.366
• 昆虫爆发模型 p.85
• 约瑟夫森结 p.126 p.325
• 洛伦兹方程 p.368 p.381
• 次临界 Hopf 分岔 p.278
• 次临界草叉分岔 p.67

临界减速 (Critical Slowing Down)

临界减速指的是当参数靠近临界点时，动力学系统收敛到稳定驻点的速度比远离临界点时慢得多的现象。在统计物理中，驻点是热力学平衡态，临界减速是二阶相变的特征现象。

这部分比较定量，不解点方程很难说清楚了。

对于动力学系统

$$\dot x=-\mu x-x^3$$

x 和 μ 之间的分岔图：

系统以 μ = 0 为界分为两个相。原点在 μ < 0 时是不稳定驻点，μ > 0 时是稳定驻点。

μ 越大，系统的行为就越接近 $\dot x = -\mu x$，初值为 $x_0$ 时方程的解 $x(t)\approx x_0e^{-\mu t}$

μ 从正值趋近 0 时，立方项的作用越来越不可忽略，μ = 0 时的解 $x(t)=1/\sqrt{2t+1/x_0^2}$

把 $x_0=10$ 代进两个解，在同一坐标系下画出图像：

可以看出 μ 在临界点时，x(t) 向 0 轴靠近得非常费劲，远远慢于指数衰减。

在其他语境中，临界减速也被叫做闹鬼 (ghost) 或者瓶颈 (bottleneck) 现象。（也可以说这是另外两种临界现象，取决于你在用 buzz word 证明自己比别人聪明的文字游戏中更习惯于进攻还是防守～）

在 Steven H. Strogatz 的《Nonlinear Dynamics and Chaos》第三版中可以靠 Subject Index 索引找到在正文中出现的位置。这本书写得很有美式“实用”风格，知识点和例题互相穿插，需要读者自己拼接出一个知识体系。