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Shiroha · 2024-03-23 · via Shiroha白羽的博客

A. We Got Everything Covered!

大致题意

有一个字符串长度为 $n$,其最多包含 $k$ 种不同的字母,你需要给出一个序列,使得这个字符串一定是你给出的序列的子序列

思路

就是要满足 $k$ 种字母,长度为 $n$ 下的所有可能的组合,即每一个位置都可能是 $k$ 个值

所以最简单的方式就是把 $k$ 个字母依次输出,重复 $n$ 次即可

AC code

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void solve() {
int _;
cin >> _;
for (int tc = 0; tc < _; ++tc) {
int n, m;
cin >> n >> m;
for (int i = 0; i < n; ++i) for (int j = 0; j < m; ++j) cout << static_cast<char>('a' + j);
cout << endl;
}
}

B. A Balanced Problemset?

大致题意

把一个数值 $x$,拆成 $n$ 份,问它们的 gcd 最大可以是多少

思路

因为 gcd 意味着所有值都有这个因子,那么它们加起来之后,也一定有这个因子。故这个值必定是最初的值的因子

所以找一个够分成 $n$ 份的即可,不需要均分

AC code

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void solve() {
int _;
cin >> _;
for (int tc = 0; tc < _; ++tc) {
int n, m;
cin >> n >> m;
const int r = static_cast<int>(sqrt(n)) + 1;
int ans = 1;
for (int i = 1; i <= min(r, n); ++i) {
if (n % i != 0) continue;
if (i >= m) ans = max(ans, n / i);
else if (n / i >= m) ans = max(ans, i);
}
cout << ans << endl;
}
}

C. Did We Get Everything Covered?

大致题意

和 A 题刚好相反,找一个不满足的字符串,使得不是给出的字符串的子序列即可

思路

考虑最差的情况,即每次都取从左到右最后出现的那个字母的值,即可尽可能的往后选取

AC code

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void solve() {
int _;
cin >> _;
for (int tc = 0; tc < _; ++tc) {
int n, k, m;
cin >> n >> k >> m;
string str;
str.resize(m);
cin >> str;
set<char> st;
int tot = 0;
vector<char> ans;
for (const auto& c: str) {
if (c < 'a' || c >= 'a' + k) continue;
st.insert(c);
if (st.size() == k) {
st.clear();
++tot;
ans.push_back(c);
}
}
if (tot >= n) cout << "YES" << endl;
else {
cout << "NO" << endl;
char c = 'a';
for (char i = 0; i < k; ++i) if (!st.count(i + 'a')) c = i + 'a';
for (int i = 0; i < n; ++i) if (i < ans.size()) cout << ans[i]; else cout << c;
cout << endl;
}
}
}

D. Good Trip

大致题意

有 $n$ 个人,其中有 $m$ 对朋友,每对朋友都有一个亲密度 $f_i$。

每次随机选择两个人,如果它们是朋友,则得到对应亲密度的积分,然后使得他们的亲密度 +1

选择 $k$ 次后,期望积分是多少

思路

容易得到任何一种组合的选取的概率是 $\frac{2}{n \times (n-1)}$,故单次提供的共享应该是 $f_i \times \frac{2}{n \times (n-1)}$

而每次结束之后,被选中的朋友的积分会加一,而对于期望而言,相当于每一对朋友的积分都增加 $\frac{2}{n \times (n-1)}$

依次可以得到,最终每一对的共享就是 $f_i \times \frac{2}{n \times (n-1)} + (f_i + \frac{2}{n \times (n-1)}) \times \frac{2}{n \times (n-1)} + \dots + (f_i + (k - 1) \times \frac{2}{n \times (n-1)}) \times \frac{2}{n \times (n-1)}$

再化简一下,取一下逆元即可

AC code

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#define int long long

void solve() {
int _;
cin >> _;
for (int tc = 0; tc < _; ++tc) {
constexpr int mod = 1e9 + 7;
auto qp = [&](int a, int p) {
int ans = 1;
while (p) {
if (p & 1) ans = ans * a % mod;
a = a * a % mod;
p >>= 1;
}
return ans;
};
int n, m, k;
cin >> n >> m >> k;
const int i = qp(n * (n - 1) / 2 % mod, mod - 2);
vector<tuple<int, int, int>> data(m);
for (auto& [l, r, v]: data) cin >> l >> r >> v;
int ans = 0;
for (const auto [_l, _r, v]: data) {
const int l = v * k % mod;
const int r = i * ((k - 1) * k / 2 % mod) % mod;
const int t = (l + r) * i % mod;
ans = (ans + t) % mod;
}
cout << ans << endl;
}
}