内积空间与函数空间

/Definition/ (函数空间完备性)

如果由空间内函数组成的 Cauchy 序列的极限仍保持在该空间内，那么称为该空间是完备的.

平方可积函数空间是完备的.

把完备的内积空间称为 Hilbert 空间；物理上常用可数的 Hilbert 空间.

函数内积定义的推广：

(f1,f2)=∫f1(x)f2(x)ρ(x)dx(f_1,f_2) = \int f_1(x)f_2(x)\rho(x)\text{d}x

Hilbert 空间的任意函数可以按照相应正交完备基展开：

f(x)=∑i=1∞cifi(x)f(x) = \sum_{i=1}^\infty c_if_i(x)

展开系数是唯一的.

/Definition/ (广义函数)

确定在某些具体函数空间上的线性连续泛函为广义函数，这些具体的函数空间叫做基本空间.

基本空间有很多具体要求，例如如果是一个函数序列 {φn(x)}\{\varphi_n(x)\} 构成基本空间，要求 φn(x)∈C∞\varphi_n(x)\in C^\infty 以及任意阶导数构成的序列趋于零等等.

/Definition/ (δ\delta 函数)

δ\delta 函数 (Dirac δ\delta 函数) 满足：对于任意 Hilbert 空间的连续函数 f(x)f(x)，均有

∫−∞∞f(x)δ(x)dx=f(0)\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x)\text{d}x = f(0)

• δ\delta 函数是偶函数；

• δ′\delta' 是奇函数；

• ∫−∞∞δ(t)dt=θ(x)\displaystyle{\int_{-\infty}^\infty\delta(t)}\text{d}t=\theta(x) (阶跃函数)

• 有关系：g(x)δ(0)=g(0)δ(x)g(x)\delta(0)=g(0)\delta(x).

  原则上不应该取 g(x)=0g(x)=0 这种，因为之后可能还要做一些操作或者其他计算，有 g(x)=0g(x)=0 会产生一些影响.

• δ[g(x)]=δ(x−x0)∣g′(x0)∣\displaystyle{\delta[g(x)] = \frac{\delta(x-x_0)}{|g'(x_0)|}}，其中 g(x0)=0g(x_0)=0 且 g′(x0)≠0g'(x_0)\neq0.

一个神必小技巧是，δ(x)\delta(x) 自身的变换非常像 (dx)−1(\text{d}x)^{-1} 的变换.

δ\delta 函数的一个重要形式：

δ(x)=12π∫−∞∞eikxdk\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{\text{i}kx}\text{d}k

这是一个 Fourier 变换. 一般用连续函数来取极限得到 δ\delta 函数，要「后算极限」，也就是先做完别的计算之后，最后取极限；同理，用连续函数的积分来表达 δ\delta 函数，应该要「后算积分」.

/Example/

求解方程：

1x2ddx(x2dydx)−l(l+1)x2y=δ(x−c)\frac{1}{x^2}\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(x^2\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)-\frac{l(l+1)}{x^2}y = \delta(x-c)

边界 y(a)=y(b)=0y(a)=y(b)=0，0<a<c<b0<a<c<b.

---

化简：

ddx(x2dydx)−l(l+1)y=x2δ(x−c)=c2δ(x−c)\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(x^2\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)-l(l+1)y=x^2\delta(x-c)=c^2\delta(x-c)

当 x≠cx\neq c，方程是齐次的，解得通解：

y={c1xl+d1x−l−1,x<cc2xl+d2x−l−1,x>cy = \left\{\begin{aligned} &c_1x^l+d_1x^{-l-1},&\quad x<c\\\\ &c_2x^l+d_2x^{-l-1},&\quad x>c \end{aligned}\right.

在 x=cx=c 处，函数本身连续，导数满足：

∫c−c+ddx(x2dydx)dx=c2=(x2y′)∣c−c+\int_{c^-}^{c^+}\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(x^2\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)\text{d}x = c^2 =(x^2y')\big|^{c^+}_{c^-}

和边界条件一起得到四个方程，可解.

分离变量法总结

/Definition/ (伴算符)

设 L\bold{L} 和 M\bold{M} 为定义在一定函数空间内的 (微分) 算符，若对于任意两个在这个函数空间中的函数 u,vu,v，恒有

(v,Lu)=(Mv,u)(v,\bold{L}u)=(\bold{M}v,u)

即

∫abv∗Ludx=∫ab(Mv)∗udx\int_a^bv^*\bold{L}u\text{d}x=\int_a^b(\bold{M}v)^*u\text{d}x

则 M\bold{M} 是 L\bold{L} 的伴算符.

伴算符都是互伴的.

自伴算符指的是伴算符是其自身的算符.

算符的自伴性一定是和某些函数空间联系在一起的. 通常，我们总是要求：

• 函数定义在给定区间；
• 函数具有一定连续性 (属于某一 Hilbert 空间)；
• 函数满足一定边界条件，即局限在 Hilbert 空间中的一定子空间 (流形) 内.

满足这些条件的函数称为允许函数类.

/Lemma/

自伴算符的本征值为实数.

/Proof/

Ly=λy⟹(Ly)∗=λ∗y∗\bold{L}y=\lambda y\Longrightarrow(\bold{L}y)^*=\lambda^*y^*

由于 L\bold{L} 自伴，

∫ab[y∗Ly−(Ly)∗y]dx=0⟹(λ−λ∗)∫abyy∗dx=0\int_a^b[y^*\bold{L}y-(\bold{L}y)^*y]\text{d}x=0\Longrightarrow(\lambda-\lambda^*)\int_a^byy^*\text{d}x=0

所以 λ=λ∗\lambda=\lambda^*，为实数.

/Lemma/

自伴算符的本征函数具有正交性，也就是不同本征值的本征函数相互正交.

/Theorem/

自伴算符的本征值问题

Ly(x)=λy(x)\bold{L}y(x) = \lambda y(x)

与如下泛函

λ[y]=∫aby∗(x)Ly(x)dx∫aby∗(x)y(x)dx\lambda[y] = \frac{\displaystyle{\int_a^by^*(x)\bold{L}y(x)\text{d}x}}{\displaystyle{\int_a^by^*(x)y(x)\text{d}x}}

的变分极值问题 δλ[y]=0\delta\lambda[y]=0 等价. 这里 y(x)y(x) 属于允许函数类.

利用有限函数集逼近本征值问题

以 L=−d2/dx2\bold{L}=-\text{d}^2/\text{d}x^2 为例. 允许函数类是 [0,1][0,1] 区间且满足第一类齐次边界条件的连续函数.

取有限函数集 {xk;k=0,1,⋯ ,n}\{x^k;k=0,1,\cdots,n\}，试探函数 y(x)=∑k=0nckxky(x)=\displaystyle{\sum_{k=0}^nc_kx^k}，计算泛函值：

λ[ck]=−∫01y(x)y′′(x)dx/∫01y2(x)dx\lambda[c_k]=-\left.\int_0^1y(x)y''(x)\text{d}x\right/\int_0^1y^2(x)\text{d}x

因为函数集不完备，所以变分极值只能给出近似解，但是已经足够好.

Sturm-Liouville 方程的本征值问题

我们讨论过三类常微分方程：

X′′+λX=0ddx[(1−x2)dydx]+(λ−m21−x2)y=01rddr(rdRdr)+(λ−m2r2)R=0\begin{aligned} &X''+\lambda X=0\\\\ &\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[(1-x^2)\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\right]+\left(\lambda-\frac{m^2}{1-x^2}\right)y=0\\\\ &\frac{1}{r}\frac{\text{d}}{\text{d}r}\left(r\frac{\text{d}R}{\text{d}r}\right)+\left(\lambda-\frac{m^2}{r^2}\right)R=0 \end{aligned}

统一写为

ddx[p(x)dydx]+[λρ(x)−q(x)]y=0\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[p(x)\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\right]+[\lambda\rho(x)-q(x)]y=0

称为 Sturm-Liouville 方程.

定义算符

L≡1ρ(x){−ddx[p(x)ddx]+q(x)}\bold{L}\equiv\frac{1}{\rho(x)}\left\{-\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[p(x)\frac{\text{d}}{\text{d}x}\right]+q(x)\right\}

边界条件 (第三类)：

p(x)(y1∗dy2dx−y2dy1∗dx)∣ab=0p(x)\left.\left(y_1^*\frac{\text{d}y_2}{\text{d}x}-y_2\frac{\text{d}y_1^*}{\text{d}x}\right)\right|^b_a=0

在这样的定义下，算符 L\bold{L} 自伴，自伴算符本征值的结论都能移植到 S-L 方程的本征值问题中.

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