Minkowski 度规：ds2=ηαβdxαdxβ\mathrm{d}s^2=\eta_{\alpha\beta}\mathrm{d}x^\alpha\mathrm{d}x^\beta. Lorentz 变换做的是

dxα⟶Λαβdx′β\mathrm{d}x^\alpha\longrightarrow\Lambda^\alpha{}_\beta\mathrm{d}x'^\beta

原先的度规变成 ds2=ηαβΛαγΛβδdxγdxδ\mathrm{d}s^2=\eta_{\alpha\beta}\Lambda^\alpha{}_\gamma\Lambda^\beta{}_\delta\mathrm{d}x^\gamma\mathrm{d}x^\delta. Lorentz 变换的要求是度规不变，也就是

ηαβΛαγΛβδ=ηγδ\eta_{\alpha\beta}\Lambda^\alpha{}_\gamma\Lambda^\beta{}_\delta = \eta_{\gamma\delta}

这要求 (det⁡Λ)2=1(\det\Lambda)^2=1，而 ∣Λ00∣⩾1|\Lambda^0{}_0|\geqslant 1 是唯一被实验验证的那种变换.

之后我们想要构造 Lorentz 变换的不变量，它称为 tensor. 并且 tensor 乘 tensor，其结果还是 tensor. 当然，有些东西是难以实现的，比如光子场就并不是一个 vector，为了构造出一个 tensor，那么要把光子场 AμA^\mu 耦合到一个守恒流 JμJ_\mu 上，得到 scalar AμJμA^\mu J_\mu.

人们总是想把物理量写成 vector ⋅\cdot vector 的形式，如果其中一个因子做不到，那么对另一个因子就要有相应的要求.

构造出来的 Newton's Law II：

mdUμdτ=eFμνUνm\frac{\mathrm{d}U^\mu}{\mathrm{d}\tau}=eF^{\mu\nu}U_\nu

这基本上就是狭义相对论和场无关的那些部分. 现在的问题是绝对惯性系和引力无法包含进当前理论.

关于局域惯性系到底有多「局域」，我们用 Taylor 展开来作为判据，要求 Γρμν=0\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}=0 时算作局域惯性系.

测地线方程：

d2xμdτ2+Γμρσdxρdτdxσdτ=0\frac{\mathrm{d}^2x^\mu}{\mathrm{d}\tau^2}+\Gamma^\mu{}_{\rho\sigma}\frac{\mathrm{d}x^\rho}{\mathrm{d}\tau}\frac{\mathrm{d}x^\sigma}{\mathrm{d}\tau}=0

分开来看时间和空间，并认为 dt/dτ∼1\mathrm{d}t/\mathrm{d}\tau\sim1. 那么

d2xidt2+Γi00=0\frac{\mathrm{d}^2x^i}{\mathrm{d}t^2}+\Gamma^i{}_{00}=0

和 Newton 引力定律对比，得到 g00=−(1+2ϕ)g_{00}=-(1+2\phi).

构造和求解场方程：首先不能构造出一个只含有 gμν,σg_{\mu\nu,\sigma} 的张量，因为一定可以选择一个坐标，使得 gμν,σ=0g_{\mu\nu,\sigma}=0. 如果它是一个 tensor，那么它在任何一个坐标下都应该为零，这是不合理的. 所以只能构造含有度规二阶导数的 tensor，也就是联络的一阶导数.

Γλμν,ρ→Γ′=∂x′∂x∂x∂x′∂x∂x′∂x∂x′Γ+⋯∂x′∂x∂3x∂x′∂x′∂x′\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu,\rho}\to\Gamma' = \frac{\partial x'}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial x'}\frac{\partial x}{\partial x'}\frac{\partial x}{\partial x'}\Gamma+\cdots\frac{\partial x'}{\partial x}\frac{\partial^3x}{\partial x'\partial x'\partial x'}

为了 cancel 后面那个项，需要交换一下指标，最后构造的结果是

Rλμν,κ=Γλμν,κ−Γλμκ,ν+ΓημνΓληκ−ΓημκΓληνR^\lambda{}_{\mu\nu,\kappa} = \Gamma^\lambda{}_{\mu\nu,\kappa}-\Gamma^\lambda{}_{\mu\kappa,\nu}+\Gamma^\eta{}_{\mu\nu}\Gamma^\lambda{}_{\eta\kappa}-\Gamma^\eta{}_{\mu\kappa}\Gamma^\lambda{}_{\eta\nu}

这就是 Riemann tensor. 其缩并分别是 Ricci tensor Rμν=Rλμν,λR_{\mu\nu}=R^\lambda{}_{\mu\nu,\lambda}，Ricci scalar R=gμνRμνR=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}.

Ricci 曲率有一个 Bianchi 恒等式，

(Rμν−12gμνR);ν=0\left(R^{\mu\nu}-\frac{1}{2}g^{\mu\nu}R\right)_{;\nu}=0

由此可以构造场方程. 我们已经从 Newton 理论知道，

g00=−(1+2ϕ),∇2ϕ=4πGρ,T00=ρg_{00}=-(1+2\phi),\quad \nabla^2\phi=4\pi G\rho,\quad T_{00}=\rho

因此写成协变形式应该是 Gμν=−8πGTμνG_{\mu\nu}=-8\pi GT_{\mu\nu}. 而 GμνG_{\mu\nu} 应当是一个度规二阶导数，因此必须由 RμνR_{\mu\nu} 和 gμνRg_{\mu\nu}R 来构造；而 Tμν;λ=0T_{\mu\nu;\lambda}=0，代入特殊条件直接解得

Gμν=Rμν−12gμνR⟹Rμν−12gμνR=−8πGTμνG_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R\Longrightarrow \boxed{R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=-8\pi GT_{\mu\nu}}

其球对称的一个解为，

dτ2=B(r)dr2−A(r)dt2−r2dΩ2\mathrm{d}\tau^2=B(r)\mathrm{d}r^2-A(r)\mathrm{d}t^2-r^2\mathrm{d}\Omega^2

令 Rμν=0R_{\mu\nu}=0，真空解为

dτ2=(1−2GMr)dt2−(1−2GMr)−1dr2−r2dΩ2\mathrm{d}\tau^2=\left(1-\frac{2GM}{r}\right)\mathrm{d}t^2-\left(1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1}\mathrm{d}r^2-r^2\mathrm{d}\Omega^2

构造守恒量：Killing vector，

ddτ(ξμPμ)=0⟹ξμ;ν+ξν;μ=0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}(\xi_\mu P^\mu)=0\Longrightarrow\xi_{\mu;\nu}+\xi_{\nu;\mu}=0

也就是

gμν,ρξρ+gρνξρ,μ+gρμξρ,ν=0⟹Lξgμν=0g_{\mu\nu,\rho}\xi^\rho+g_{\rho\nu}\xi^\rho{}_{,\mu}+g_{\rho\mu}\xi^\rho{}_{,\nu}=0\Longrightarrow \mathcal{L}_\xi g_{\mu\nu}=0

比如求轨道方程时，有 Pμδμt^⟹P0P_\mu\delta^\mu{}_{\hat{t}}\Longrightarrow P_0，Pμδμϕ^⟹PϕP_\mu\delta^\mu{}_{\hat\phi}\Longrightarrow P_\phi.

研究极端情况. 对于黑洞，我们有 Kruskal 坐标.

广义相对论除了 Hawking 辐射以外，另一种辐射是引力波. 做法是把场方程线性化，

gμν=ημν+hμν⟹□hμν=−16πGSμν,Sμν=Tμν−12ημνTg_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}\Longrightarrow\Box h_{\mu\nu}=-16\pi GS_{\mu\nu},\quad S_{\mu\nu}=T_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}T

要算的是 hijTTh_{ij}^{TT} (Traceless Transverse, 横向无迹分量). 得到

hijTT(x⃗,t)=4G∫d3x⃗⋅TijTT(x⃗′,t−∣x⃗′−x⃗∣)∣x⃗′−x⃗∣=(h+h×h×−h+)h_{ij}^{TT}(\vec{x},t)=4G\int\mathrm{d}^3\vec{x}\cdot\frac{T_{ij}^{TT}(\vec{x}',t-|\vec{x}'-\vec{x}|)}{|\vec{x}'-\vec{x}|}=\begin{pmatrix} h_+&h_\times&\\ h_\times&-h_+&\\ && \end{pmatrix}

只有两种偏振.

Chirp：

ω˙gw=125⋅21/3(GMcc3)5/3ωgw1/3\dot{\omega}_{\text{gw}}=\frac{12}{5}\cdot 2^{1/3}\left(\frac{GM_c}{c^3}\right)^{5/3}\omega_{\text{gw}}^{1/3}

其中 chirp mass Mc=(μ3m2)1/5M_c=(\mu^3m^2)^{1/5}.

Hawking radiation：

bΩ=∫0∞dω(αΩωaω−βΩωaω†)b_\Omega=\int_0^\infty\mathrm{d}\omega\left(\alpha_{\Omega\omega}a_\omega-\beta_{\Omega\omega}a_\omega^\dagger\right)

这是所谓 Bogliubov 变换，它是一个比较广泛应用的变换. 我们要算的是 Minkowski 时空下的一个粒子数算符，

M⟨0∣bΩ†bΩ∣0⟩M=∫dω∣βωΩ∣2=δ(0)e2πΩ/a−1_M\langle0|b_\Omega^\dagger b_\Omega|0\rangle_M=\int\mathrm{d}\omega|\beta_{\omega\Omega}|^2=\frac{\delta(0)}{e^{2\pi\Omega/a}-1}

这表现为一个温度. 这件事情就是所谓 Unruh Effect. 接下来我们可以利用在 Unruh Effect 这里积累的经验来研究 Hawking radiation.

Kruskal 坐标下，Schwarzschild 度规变成

ds2=2Mr(u,v)exp⁡(1−r(u,v)2M)dudv\mathrm{d}s^2=\frac{2M}{r(u,v)}\exp\left(1-\frac{r(u,v)}{2M}\right)\mathrm{d}u\mathrm{d}v

... 宇宙学刚讲完，就不复习了.