下面研究一下张量的性质. 关键是张量的导数的变换，上节课我们说过 UμU^\mu 的导数变换为

∂U′μ∂x′ν=∂∂x′ν(∂x′μ∂xρUρ)=∂x′μ∂xρ∂xσ∂x′ν∂Uρ∂xσ+∂xσ∂x′ν∂x′μ∂xσ∂xρUρ\frac{\partial U'^\mu}{\partial x'^\nu} = \frac{\partial}{\partial x'^\nu}\left(\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\rho}U^\rho\right) = \frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\rho}\frac{\partial x^\sigma}{\partial x'^\nu}\frac{\partial U^\rho}{\partial x^\sigma}+\frac{\partial x^\sigma}{\partial x'^\nu}\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\sigma\partial x^\rho}U^\rho

我们从引力的角度就知道上面这个量一定不能是张量，因为如果是那么它在任意系中都可以变成零，引力的作用无法体现. 具有这样性质的东西只有联络，联络的变换上节课我们已经推出来了，是

Γ′λμν=∂x′λ∂xρ∂xσ∂x′μ∂xκ∂x′νΓρσκ+∂x′λ∂xρ∂2xρ∂x′μ∂x′ν\Gamma'^\lambda{}_{\mu\nu} = \frac{\partial x'^\lambda}{\partial x^\rho}\frac{\partial x^\sigma}{\partial x'^\mu}\frac{\partial x^\kappa}{\partial x'^\nu}\Gamma^\rho{}_{\sigma\kappa}+\frac{\partial x'^\lambda}{\partial x^\rho}\frac{\partial^2 x^\rho}{\partial x'^\mu\partial x'^\nu}

为了找出其间的关系，考虑：

∂x′μ∂xν∂xν∂x′ρ=∂x′μ∂x′ρ=δμρ\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\nu}\frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\rho} = \frac{\partial x'^\mu}{\partial x'^\rho} = \delta^\mu{}_\rho

这个式子两边同时求导是 00，也就有

∂∂x′σ(∂x′μ∂xν∂xν∂x′ρ)=0⟹∂2x′μ∂xκ∂xν∂xκ∂x′σ∂xν∂x′ρ+∂x′μ∂xν∂2xν∂x′σ∂x′ρ=0\begin{aligned} &\frac{\partial}{\partial x'^\sigma}\left(\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\nu}\frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\rho}\right) = 0\\\\ \Longrightarrow&\frac{\partial^2x'^{\textcolor{red}{\mu}}}{\partial x^\kappa\partial x^\nu}\frac{\partial x^\kappa}{\partial x'^{\textcolor{red}{\sigma}}}\frac{\partial x^\nu}{\partial x'^{\textcolor{red}{\rho}}} + \frac{\partial x'^{\textcolor{red}{\mu}}}{\partial x^\nu}\frac{\partial^2x^\nu}{\partial x'^{\textcolor{red}{\sigma}}\partial x'^{\textcolor{red}{\rho}}} = 0 \end{aligned}

(标红色的是自由的指标) 可以引入一个新的导数，

DνUμ≡∂νUμ+ΓμνσUσD_\nu U^\mu \equiv \partial_\nu U^\mu + \Gamma^\mu{}_{\nu\sigma}U^\sigma

这叫作 协变导数，可以记作 Uμ;νU^\mu{}_{;\nu} (如果是逗号就是普通导数). 若原来是一个张量，那么其协变导数定义为

Tμν;ρ=Tμν,ρ+ΓμρσTσν+ΓνρσTμσT^{\mu\nu}{}_{;\rho} = T^{\mu\nu}{}_{,\rho}+\Gamma^\mu{}_{\rho\sigma}T^{\sigma\nu}+\Gamma^\nu{}_{\rho\sigma}T^{\mu\sigma}

如果是逆变的指标，那么联络前的系数应该是 −1-1.

下面我们需要说一些抽象的内容. 现在我们已经有这些量：

xμ,dxμ,gμν,dτ2=−gμνdxμdxνx^\mu,\quad\text{d}x^\mu,\quad g_{\mu\nu},\quad \text{d}\tau^2=-g_{\mu\nu}\text{d}x^\mu\text{d}x^\nu

这些都是几何上的内容，原则上我们已经可以定义所谓的切空间，也就是在一个时空点上计算几个切矢量，建立出一个 平直的 切空间 (针对时空，这个空间应当是四维的)，同时在这个切空间中定义各种矢量场；对于下一个点，我们仍旧可以定义新的切空间和新的矢量场. 问题在于这里不存在全空间的基矢量场，因此难以做两个不同点切空间中矢量的计算，比如下面的计算无法进行：

∂νUμ≡Uμ(y)−Uμ(x)yν−xν∣y→x\partial_\nu U^\mu \equiv\left.\frac{U^\mu(y)-U^\mu(x)}{y^\nu-x^\nu}\right|_{y\to x}

而我们有「联络」，因此可以定义一套协变微商的方法，进而可以计算上式. 在数学上，只要满足上面联络的变换式的量都可以作为联络，然后导出一种变换法则，但是物理上并不是所有的联络都可用，物理上可用的 Γ\Gamma 被称为 Christoffel 符号：

Γμρσ≡12gμν(gνρ,σ+gνσ,ρ−gρσ,ν)\Gamma^\mu{}_{\rho\sigma} \equiv \frac{1}{2}g^{\mu\nu}(g_{\nu\rho,\sigma}+g_{\nu\sigma,\rho}-g_{\rho\sigma,\nu})

这是我们 前几节课（在新窗口打开） 利用「等效原理」推出的条件，是符合物理的. 这里可以看出一个性质就是 ρ,σ\rho,\sigma 两个指标对称，这是 Riemann 空间的重要性质，广义相对论研究的 Riemann 空间仅仅是微分几何中的一个小部分而已.

Pluralitas non est ponenda sine necessitate.

一些计算规则：

• (αAμ;ν+βBμ;ν)=(αAμ+βBμ);ν(\alpha A^\mu{}_{;\nu}+\beta B^\mu{}_{;\nu}) = (\alpha A^\mu+\beta B^\mu)_{;\nu}

• (AμνBλ);ρ=Aμν;ρBλ+AμνBλ;ρ(A^\mu{}_\nu B^\lambda)_{;\rho} = A^\mu{}_{\nu;\rho}B^\lambda+A^\mu{}_\nu B^\lambda{}_{;\rho}

• (Tμλλ);ρ=Tμλλ,ρ+ΓμρνTνλλ(T^{\mu\lambda}{}_\lambda)_{;\rho} = T^{\mu\lambda}{}_{\lambda,\rho}+\Gamma^\mu{}_{\rho\nu}T^{\nu\lambda}{}_\lambda

  我没懂他板书写个缩并的是何意味

一个很重要的内容是 gμν;λ=0g_{\mu\nu;\lambda}=0.

另外，协变散度：

Vμ;μ=Vμ,μ+ΓμμλVλV^\mu{}_{;\mu} = V^\mu{}_{,\mu}+\Gamma^\mu{}_{\mu\lambda}V^\lambda

其中，

Γμμλ=12gμρ(gρμ,λ+gρλ,μ−gμλ,ρ)=12gμρgρμ,λ=1g∂g∂xλ=∂∂xλln⁡g,g=−det⁡(gμν)\begin{aligned} \Gamma^\mu{}_{\mu\lambda} &= \frac{1}{2}g^{\mu\rho}(g_{\rho\mu,\lambda}+g_{\rho\lambda,\mu}-g_{\mu\lambda,\rho}) = \frac{1}{2}g^{\mu\rho}g_{\rho\mu,\lambda} \\\\ &= \frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial\sqrt{g}}{\partial x^\lambda} =\boxed{\frac{\partial}{\partial x^\lambda}\ln\sqrt{g}},\quad g = -\det(g_{\mu\nu}) \end{aligned}

代入协变散度表达式，得到

Vμ;μ=1g(g∂Vμ∂xμ+∂g∂xμVμ)=1g∂(g⋅Vμ)∂xμV^\mu{}_{;\mu} = \frac{1}{\sqrt{g}}\left(\sqrt{g}\frac{\partial V^\mu}{\partial x^\mu}+\frac{\partial\sqrt{g}}{\partial x^\mu}V^\mu\right) =\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial(\sqrt{g}\cdot V^\mu)}{\partial x^\mu}

引入 tensor density 和其标量化之后，我们可以写 Gauss 定理了，比如：

∫(g1/2d4x)⋅(Vμ⋅g1/2),μ⋅g−1/2=∮dSμVμ\int\left(g^{1/2}\text{d}^4x\right)\cdot\left(V^\mu\cdot g^{1/2}\right)_{,\mu} \cdot g^{-1/2} = \oint\text{d}S_\mu V^\mu

左边的两个 g±1/2g^{\pm1/2} 刚好可以 cancel，这是个好事.

之前的 Newton 定律：

dUμdτ=∂Uμ∂xν∂xν∂τ=0\frac{\text{d}U^\mu}{\text{d}\tau} = \frac{\partial U^\mu}{\partial x^\nu}\frac{\partial x^\nu}{\partial\tau}=0

改写成：

DUμDτ=dUμdτ+ΓμνρUνUρ=0\frac{\text{D}U^\mu}{\text{D}\tau} = \frac{\text{d}U^\mu}{\text{d}\tau}+\Gamma^\mu{}_{\nu\rho}U^\nu U^\rho = 0

下面我们把电磁定律改写成协变形式. 对于 Maxwell 方程组，只用把导数改成协变的即可，

Fμν;μ=1g∂∂xμ(gFμν)=−ρJνF^{\mu\nu}{}_{;\mu} = \frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial}{\partial x^\mu}\left(\sqrt{g} F^{\mu\nu}\right) = -\rho J^\nu

电磁力为

fα=eFαβdxβdτf^\alpha = eF^{\alpha}{}_{\beta}\frac{\text{d}x^\beta}{\text{d}\tau}

流为

Jν=∑nQndxαdτδ3(x−xn(t))=∑nQn∫g−1/2δ4(x−xn)d4xnαJ^\nu = \sum_nQ_n\frac{\text{d}x^\alpha}{\text{d}\tau}\delta^3(x-x_n(t)) = \sum_nQ_n\int g^{-1/2}\delta^4(x-x_n)\text{d}^4x^\alpha_n

势为

Fμν=∂μAν−∂νAμ=Aν;μ−Aμ;ν=Aν,μ−Aμ,νF_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu = A_{\nu;\mu}-A_{\mu;\nu} = A_{\nu,\mu}-A_{\mu,\nu}

这里最后一步用了协变导数和 Christoffel 符号的协变指标对称性.

现在我们唯一一个不会算的东西是引力场本身 —— 而且这是困难的. Newton 的引力定律是

∇2ϕ=−4πGρ\nabla^2\phi = -4\pi G\rho

这里我们需要把所有量都变成协变的. 首先能量密度 (c=1c=1，就是质量密度) 为

ρ=T00(x)=∑npn0δ3(x⃗−x⃗n(t))\rho = T^{00}(x) = \sum_np_n^0\delta^3(\vec{x}-\vec{x}_n(t))

考虑把 Newton 引力定律中 RHS 的那个密度换成能动张量，现在要考虑 LHS 放什么东西. 要求是在 weak field 近似为 Newton 理论. 因为局域惯性系中 gμνg_{\mu\nu} 的一阶导数为零，所以我们 start from 它的二阶导数 —— 这等价于联络的一阶导数.

Christoffel 符号的变换：

Γ′νλκ=∂x′ν∂xμ∂xσ∂x′λ∂xρ∂x′κΓμσρ+∂x′ν∂xμ∂2xσ∂x′κ∂x′λ∂xμ∂xσ\Gamma'^\nu{}_{\lambda\kappa}= \frac{\partial x'^\nu}{\partial x^\mu}\frac{\partial x^\sigma}{\partial x'^\lambda}\frac{\partial x^\rho}{\partial x'^\kappa}\Gamma^\mu{}_{\sigma\rho} + \frac{\partial x'^\nu}{\partial x^\mu}\frac{\partial^2x^\sigma}{\partial x'^\kappa\partial x'^\lambda}\frac{\partial x^\mu}{\partial x^\sigma}

考虑导数，

∂Γ′λμν∂x′κ=∂x′λ∂xρ∂xτ∂x′μ∂xσ∂x′ν∂xξ∂x′κ∂Γρτσ∂xξ+[∂2∂x′∂x′⋯ ]Γρτσ−[∂2xν∂x′∂x′∂2x′∂x∂x⋯ ]−∂xρ∂x′ν∂xσ∂x′μ∂xξ∂x′κ∂3x′λ∂xρ∂xσ∂xξ\begin{aligned} \frac{\partial\Gamma'^\lambda{}_{\mu\nu}}{\partial x'^\kappa} &= \frac{\partial x'^\lambda}{\partial x^\rho}\frac{\partial x^\tau}{\partial x'^\mu}\frac{\partial x^\sigma}{\partial x'^\nu}\frac{\partial x^\xi}{\partial x'^\kappa}\frac{\partial\Gamma^\rho{}_{\tau\sigma}}{\partial x^\xi}+\left[\frac{\partial^2}{\partial x'\partial x'}\cdots\right]\Gamma^\rho{}_{\tau\sigma}\\\\ &\quad-\left[\frac{\partial^2x^\nu}{\partial x'\partial x'}\frac{\partial^2x'}{\partial x\partial x}\cdots \right] - \frac{\partial x^\rho}{\partial x'^\nu}\frac{\partial x^\sigma}{\partial x'^\mu}\frac{\partial x^\xi}{\partial x'^\kappa}\frac{\partial^3x'^\lambda}{\partial x^\rho\partial x^\sigma\partial x^\xi} \end{aligned}

这坨东西有些对称性，所以我们可以通过补齐的方式 cancel 掉其中的几个复杂的项，

∂Γλμν∂xκ−∂Γλμκ∂xν+ΓημνΓληκ−ΓημκΓλην\frac{\partial\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}}{\partial x^\kappa} - \frac{\partial\Gamma^\lambda{}_{\mu\kappa}}{\partial x^\nu} + \Gamma^\eta{}_{\mu\nu}\Gamma^\lambda{}_{\eta\kappa}-\Gamma^\eta{}_{\mu\kappa}\Gamma^\lambda{}_{\eta\nu}

it turns out 这是唯一一个可以构造出来的张量.