量子场论本身不要求有空间关联，而相对论使得含有时间演化的场论一定有空间关联，这是非常巧妙的.

Unruh 效应的核心就是 Bogoliubov 变换，它混合了产生和湮灭算符：

Bogoliubov 变换简单来说就是，对于 a^\hat{a} 和 a^†\hat{a}^\dagger 以及一对常复数 u,vu,v，引入新的一对算符

b^=ua^+va^†,b^†=u∗a^†+v∗a^\hat{b} = u\hat{a}+v\hat{a}^\dagger,\quad \hat{b}^\dagger = u^*\hat{a}^\dagger+v^*\hat{a}

为了使变换是正则的，可以算新的算符的对易子，

[b^,b^†]=[ua^+va^†,u∗a^†+v∗a^]=(∣u∣2−∣v∣2)[a^,a^†]\left[\hat{b},\hat{b}^\dagger\right] = \left[u\hat{a}+v\hat{a}^\dagger,u^*\hat{a}^\dagger+v^*\hat{a}\right] = \left(|u|^2-|v|^2\right)\left[\hat{a},\hat{a}^\dagger\right]

因此条件是 ∣u∣2−∣v∣2=1|u|^2-|v|^2=1，这个式子很方便和反双曲函数联系在一起，因此可以方便地参数化 u,vu,v 为

u=eiθ1cosh⁡r,v=eiθ2sinh⁡ru=e^{\mathrm{i}\theta_1}\cosh r,\quad v = e^{\mathrm{i}\theta_2}\sinh r

这件事情起源于加速运动引起的视界 (这使得积分不为零)；类似地，对于自由落体者，黑洞视界不可见，它们测得的真空在无穷远的观察处是不空的且有温度. 黑洞因此获得温度.

简单起见，首先讨论 1+11+1 维 (对于 s 波，这是可行的，但是对于光子而言没有这一个分量，需要进一步讨论)：度规写成共形平坦的，

ds2=−(1−2GMr)dt2+dr21−2GMr=−(1−2GMr)(dr+dr1−2GMr)(dt−dr1−2GMr)\begin{aligned} \mathrm{d}s^2 &=-\left(1-\frac{2GM}{r}\right)\mathrm{d}t^2+\frac{\mathrm{d}r^2}{\displaystyle{1-\frac{2GM}{r}}} \\\\ &= -\left(1-\frac{2GM}{r}\right)\left(\mathrm{d}r+\frac{\mathrm{d}r}{\displaystyle{1-\frac{2GM}{r}}}\right)\left(\mathrm{d}t-\frac{\mathrm{d}r}{\displaystyle{1-\frac{2GM}{r}}}\right) \end{aligned}

利用之前讲 Kruscal 坐标时所使用的同样记号，

r∗=r−2GM+2GMln⁡∣r2GM−1∣,dr∗=dr1−2GMr\begin{aligned} r^* &= r-2GM+2GM\ln\left\vert\frac{r}{2GM}-1\right\vert,\quad \mathrm{d}r^*=\frac{\mathrm{d}r}{\displaystyle{1-\frac{2GM}{r}}} \end{aligned}

这里的变换保持真空，因为时间和空间不混合，产生湮灭算符也不混合. 从下面这个形式完成证明：

ϕ=∫dk2π⋅2ω(akeikx−iωt+ak†e−ikx+iωt)\phi = \int\frac{\mathrm{d}k}{\sqrt{2\pi\cdot2\omega}}\left(a_ke^{\mathrm{i}kx-\mathrm{i}\omega t}+a_k^\dagger e^{-\mathrm{i}kx+\mathrm{i}\omega t}\right)

课后思考.

对于 Schwarzschild 度规，变换为

u~=t−r∗,v~=t+r∗,ds2=−(1−2GMr(u~,v~))du~dv~\tilde u = t-r^*,\quad \tilde v = t+r^*,\quad \mathrm{d}s^2 =- \left(1-\frac{2GM}{r(\tilde u,\tilde v)}\right)\mathrm{d}\tilde u\mathrm{d}\tilde v

这个度规下类 Minkowski 时空的就是 Kruscal 坐标，

u=−4GMe−u~/4GM,v=4GMev~/4GMu=-4GMe^{-\tilde u/4GM},\quad v=4GMe^{\tilde v/4GM}

在黑洞内外都满足线元

ds2=2GMr(u,v)e1−2GM/r(u,v)dudv\mathrm{d}s^2 = \frac{2GM}{r(u,v)}e^{1-2GM/r(u,v)}\mathrm{d}u\mathrm{d}v

注意到，当 r=2GMr=2GM 时，ds2=dudv\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}u\mathrm{d}v，这时候表面上坐标是平直的，视界附近的真空在这个坐标下描写. 由 Weyl 对称性，两个坐标下的作用量一致，有相同的量子化：

S=∫dx2⋅g(gμν∂μϕ∂νϕ)=S~S = \int\mathrm{d}x^2\cdot\sqrt{g}\left(g^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi\right) = \tilde S

∣0⟩KKruskal:∣0⟩BBoulwave: {u=−4GMe−u~/4GMv=+4GMev~/4GM→Unruh ∣0⟩Minkowski∣0⟩Kindler {u=−1ae−au~v=+1aeav~\begin{aligned} &|0\rangle_K\quad\text{Kruskal:}\\\\ &|0\rangle_B\quad\text{Boulwave:} \end{aligned}\,\left\{\begin{aligned} &u = -4GMe^{-\tilde u/4GM}\\\\ &v = +4GMe^{\tilde v/4GM} \end{aligned}\right.\xrightarrow{\text{Unruh}}\,\begin{aligned} &|0\rangle_{\text{Minkowski}}\\\\ &|0\rangle_{\text{Kindler}} \end{aligned}\,\left\{\begin{aligned} &u = -\frac{1}{a}e^{-a\tilde u}\\\\ &v = +\frac{1}{a}e^{a\tilde v} \end{aligned}\right.

定义表面引力 κ=1/2rg=(4GM)−1\kappa = 1/2r_g = (4GM)^{-1}，对比知道 κ↔a\kappa\leftrightarrow a.

在无穷远的观察者看来，黑洞的温度是

TH=κ2π=18πGMT_H = \frac{\kappa}{2\pi} = \frac{1}{8\pi GM}

对于 3+13+1 维的情况，进一步地引入灰度因子修改谱的形状，这部分略.

考虑黑洞的熵：准静态下，dS=dQ/T\mathrm{d}S=\mathrm{d}Q/T，dU=dQ=TdS\mathrm{d}U=\mathrm{d}Q=T\mathrm{d}S. 而面积是

A=4π(2GM)2=16πG2M2A = 4\pi(2GM)^2 = 16\pi G^2M^2

因此可以写出

dU=dM=dA32πG2M=14GdATH\mathrm{d}U = \mathrm{d}M = \frac{\mathrm{d}A}{32\pi G^2M} = \frac{1}{4G}\frac{\mathrm{d}A}{T_H}

也就是熵正比于表面积，

S=A4G\boxed{S = \frac{A}{4G}}

这被认为是非常 robust 的，所有的量子引力理论 (或者说给出黑洞的统计性质的理论) 都应该得到这一点. 一种理解这种熵的想法是，熵起源于黑洞内体系和黑洞外体系的一种「纠缠」.

回顾 Rindler Space：

ρ=∫2GMrgrr(r′)dr′=r(r−2GM)−2GMsinh⁡−11−2GMr\rho = \int_{2GM}^r \sqrt{g_{rr}(r')}\mathrm{d}r' = \sqrt{r(r-2GM)} - 2GM\sinh^{-1}\sqrt{1-\frac{2GM}{r}}

这个量在 r→2GMr\to 2GM 的时候近似于 2GM(r−2GM)2\sqrt{GM(r-2GM)}. 而线元表示为

ds2=ρ2(dt4GM)2−dρ2−r2(ρ)dΩ2\mathrm{d}s^2 = \rho^2\left(\frac{\mathrm{d}t}{4GM}\right)^2-\mathrm{d}\rho^2-r^2(\rho)\mathrm{d}\Omega^2

在黑洞的边缘，坐标是近平坦的，在这里建立量子场论，积分掉内部的态就会得到一个有温度的混态.