电偶极辐射：

A⃗0(θ,ϕ)=μ04π∫j⃗0(x⃗′)dτ′\vec{A}_0(\theta,\phi) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\vec{j}_0(\vec{x}')\text{d}\tau'

我们知道利用 Gauss 定理有

0=∫∇⋅(j⃗0(x⃗′)x⃗′)dτ′=∫(∇⋅j⃗0(x⃗′))x⃗′dτ′+∫j⃗0(x⃗′)dτ′0=\int\nabla\cdot(\vec{j}_0(\vec{x}')\vec{x}')\text{d}\tau'=\int(\nabla\cdot\vec{j}_0(\vec{x}'))\vec{x}'\text{d}\tau' + \int\vec{j}_0(\vec{x}')\text{d}\tau'

而在谐变的电磁场中，

∇⋅j⃗0(x⃗′)=−∂ρ(x⃗′)∂t=iωρ(x⃗′)\nabla\cdot\vec{j}_0(\vec{x}') = -\frac{\partial\rho(\vec{x}')}{\partial t}=\text{i}\omega\rho(\vec{x}')

也就有

A⃗0(θ,ϕ)=−μ04π∫(∇⋅j⃗0(x⃗′))x⃗′dτ′=−iω⋅μ04π∫ρ(x⃗′)x⃗′dτ′\vec{A}_0(\theta,\phi) = -\frac{\mu_0}{4\pi}\int(\nabla\cdot\vec{j}_0(\vec{x}'))\vec{x}'\text{d}\tau' = -\text{i}\omega\cdot\frac{\mu_0}{4\pi}\int\rho(\vec{x}')\vec{x}'\text{d}\tau'

后面正是电偶极子的计算式，化为

A⃗0=μ0eikR4πRP⃗˙\vec{A}_0 = \frac{\mu_0e^{\text{i}kR}}{4\pi R}\dot{\vec{P}}

在 P⃗=P⃗0e−iωt\vec{P} = \vec{P}_0 e^{-\text{i}\omega t} 的电偶极子振荡下，磁场是

B⃗0=ik⃗×A⃗0=μ0ω24πcP0sin⁡θe^ϕ\vec{B}_0 =\text{i}\vec{k}\times\vec{A}_0 = \frac{\mu_0\omega^2}{4\pi c}P_0\sin\theta\hat{e}_\phi

磁场的平方表征功率的角分布：

dPdΩ∝sin⁡2θ,dPdΩ=μ0P02ω432π2csin⁡2θ\frac{\text{d}P}{\text{d}\Omega} \propto \sin^2\theta,\quad \frac{\text{d}P}{\text{d}\Omega} = \frac{\mu_0P_0^2\omega^4}{32\pi^2c}\sin^2\theta

同理，我们可以算磁偶极辐射，

A⃗=−iμ04π∫j⃗0(x⃗′)k⃗⋅x⃗dτ′\vec{A} = -\text{i}\frac{\mu_0}{4\pi}\int\vec{j}_0(\vec{x}')\vec{k}\cdot\vec{x}\text{d}\tau'

这个并矢和矢量的点积能够化为 k⃗⋅x⃗′j⃗0(x⃗′)\vec{k}\cdot\vec{x}'\vec{j}_0(\vec{x}')，后一项拆成对称和反对称成分，

x⃗′j⃗0(x⃗′)=x⃗′j⃗0(x⃗′)−j⃗0(x⃗′)x⃗′2+x⃗′j⃗0(x⃗′)+j⃗0(x⃗′)x⃗′2\vec{x}'\vec{j}_0(\vec{x}') = \frac{\vec{x}'\vec{j}_0(\vec{x}')-\vec{j}_0(\vec{x}')\vec{x}'}{2}+\frac{\vec{x}'\vec{j}_0(\vec{x}')+\vec{j}_0(\vec{x}')\vec{x}'}{2}

同时由双叉乘公式，

k⃗×(x⃗′×j⃗0(x⃗′))=k⃗⋅j⃗0(x⃗′)x⃗′−k⃗⋅x⃗′j⃗0(x⃗′)\vec{k}\times(\vec{x}'\times\vec{j}_0(\vec{x}'))=\vec{k}\cdot\vec{j}_0(\vec{x}')\vec{x}'-\vec{k}\cdot\vec{x}'\vec{j}_0(\vec{x}')

积分变为

A⃗=iμ04π∫k⃗×(x⃗′×j⃗0(x⃗′))dτ′\vec{A} = \frac{\text{i}\mu_0}{4\pi}\int\vec{k}\times(\vec{x}'\times\vec{j}_0(\vec{x}'))\text{d}\tau'

括号内的积分正是磁矩的定义式，最终

A⃗=iμ04πk⃗×m⃗0\vec{A} = \frac{\text{i}\mu_0}{4\pi}\vec{k}\times\vec{m}_0

磁偶极的时间变化是 m⃗=m⃗0e−iωt\vec{m} = \vec{m}_0e^{-\text{i}\omega t}，磁偶极辐射的

• 1bc4a-feat(note): add ed note于 2025/11/27