甲基化在放大效应中的作用：调整下式的 KdK_d，

X∗Xmax⁡=11+(S/Kd)n(1)\frac{X^*}{X_{\max}} = \frac{1}{1+(S/K_d)^n}\tag{1}

也就是接收到的信号和最终放大到的信号之间的比值是一个 Hill 函数. 甲基化使得 Hill 函数图像的快变区域变化，也就是根据测量结果来改变系统的状态，使得响应适应外界环境的变化，始终保持灵敏. 如果有 mm 个甲基，那么根据 Boltzmann 分布律大概可以估算

Kd∝e−βΔF(m)∼eγmK_d\propto e^{-\beta\Delta F(m)}\sim e^{\gamma m}

甲基化的方程为

dmdt=VRR−VBBX∗(2)\frac{\text{d}m}{\text{d}t}=V_RR-V_BBX^*\tag{2}

(mm 是甲基个数，VRV_R 和 VBV_B 分别是甲基化和去甲基化的作用效率.) 上述两个方程合在一起，得到每次环境发生变化时，甲基化的个数会改变到一个稳定值.

甲基化的「记忆」取决于外部背景信息的倍数关系 (而不是绝对值)，有

dK~dt=cK~(ass−a)\frac{\text{d}\tilde K}{\text{d}t} = c\tilde K(a_{ss}-a)

普遍地总结是所谓的 Weber-Fechner law，也就是生物的感知系统都是感知相对变化，比如声音的单位就是分贝，这是一个对数单位.

下面我们来说生物网络之间的运作.

中心法则：

下面这个网络就是海胆的很多个基因之间的相互作用关系：

转录过程的方程：

dp(m,t)dt=−kp(m,t)‾m→m+1+kp(m−1,t)‾m−1→m−γmp(m,t)‾m→m−1+γ(m+1)p(m+1,t)‾m+1→m\frac{\text{d}p(m,t)}{\text{d}t} = -\underset{m\to m+1}{\underline{kp(m,t)}}+\underset{m-1\to m}{\underline{kp(m-1,t)}}-\underset{m\to m-1}{\underline{\gamma mp(m,t)}}+\underset{m+1\to m}{\underline{\gamma(m+1)p(m+1,t)}}

边界条件是 p(m<0,t)=0p(m<0,t)=0. 这是一个可解的线性方程，其中 γ\gamma 是 mRNA 的 lifetime.

下一个时刻的 mRNA 数量变化相对速度和这一时刻的没有关系，因为转录和降解都和 mRNA 当前数量无关. 在 DNA 未激活的状态下，mRNA 只有降解效应；仅仅在 DNA 激活状态下才有 mRNA 的增加和因此产生的减少.

• 当 k±≫γk^\pm\gg\gamma 时，平衡态是正向产生 mRNA，mRNA 的数量呈现 Poisson 分布 (转录的事件相互独立)；
• 当 k±≪γk^\pm\ll\gamma 时，对于 off 态和 on 态各有一个 Poisson 分布.

Gillespie Algorithm：一种无偏的随机模拟算法.

背景是，考虑反应 A⟷BA\longleftrightarrow B，正向速率为 k1k_1，反向速率为 k2k_2，我们想要模拟知道 t→t+Δtt\to t+\Delta t 时间内，这个反应发生的概率.

常用的 Monte-Carlo 方法是，取一个 k1Δtk_1\Delta t 和一个 k2Δtk_2\Delta t 在 [0,1][0,1] 之间，然后每一次取两个随机数 ξ1,ξ2∈(0,1)\xi_1,\xi_2\in(0,1). 如果 ξi>kiΔt\xi_i> k_i\Delta t，那么这个反应发生；反之不发生. 如果两个同时发生或者同时不发生，那么相当于什么也没做. 之后再进行下一步.

但是这种传统手段的问题是，我们需要很小的 Δt\Delta t，但是不能太小以保证能够计算出结果.

Gillespie 的想法是，对一个指数分布 eτ/(k1+k2)e^{\tau/(k_1+k_2)} 采样：因为

P0(Δt+dt)=P0(Δt)(1−∑ikidt)⟹P0(Δt)∼e−∑ikiΔtP_0(\Delta t+\text{d}t) = P_0(\Delta t)\left(1-\sum_ik_i\text{d}t\right)\Longrightarrow P_0(\Delta t)\sim e^{\displaystyle{-\sum_ik_i\Delta t}}

所以每一次先从上面这样的指数分布 eτ/(k1+k2)e^{\tau/(k_1+k_2)} 里面产生一个 τ\tau (反应间隔时间)，然后产生完间隔时间之后再掷一次骰子，决定一个 (0,1)(0,1) 的随机数和 k1/(k1+k2)k_1/(k_1+k_2) 之间的大小关系，如果是大于那么反应反向进行、小于那么反应正向进行，最终得到一个「每次时间间隔不均匀」的时序曲线.

• 8390e-feat(note): add note于 2025/12/16