上节课导出了两个守恒量，我们现在来说说在广义相对论中怎样规范地构造这种时间平移对称、空间旋转对称等产生的守恒量.

考虑一个运动物体有 xμ,Pμx^\mu,P^\mu，另一个观测者相对于当前参考系以 U~μ\tilde U^\mu 运动，则他观测到的这个运动物体的能量是 E~=PμU~μ\tilde E =P_\mu \tilde U^\mu. 考虑构建可观测量的过程中，都是以 ξμ(x)Pμ\xi^\mu(x)P_\mu 构造的，那么要求：

ddτ(mξμ(x)dxμdτ)≡0\frac{\text{d}}{\text{d}\tau}\left(m\xi_\mu(x)\frac{\text{d}x^\mu}{\text{d}\tau}\right) \equiv 0

计算 LHS，

ddτ(ξμ(x)dxμdτ)=∂ξμ∂xνdxνdτdxμdτ+ξμ(x)d2xμdτ2=∂ξμ∂xνdxνdτdxμdτ−Γμρσdxρdτdxσdτ=ξμ;νdxνdτdxμdτ\begin{aligned} \frac{\text{d}}{\text{d}\tau}\left(\xi_\mu(x)\frac{\text{d}x^\mu}{\text{d}\tau}\right) &= \frac{\partial\xi_\mu}{\partial x^\nu}\frac{\text{d}x^\nu}{\text{d}\tau}\frac{\text{d}x^\mu}{\text{d}\tau}+\xi_\mu(x)\frac{\text{d}^2x^\mu}{\text{d}\tau^2}\\\\ &= \frac{\partial\xi_\mu}{\partial x^\nu}\frac{\text{d}x^\nu}{\text{d}\tau}\frac{\text{d}x^\mu}{\text{d}\tau} - \Gamma^\mu{}_{\rho\sigma}\frac{\text{d}x^\rho}{\text{d}\tau}\frac{\text{d}x^\sigma}{\text{d}\tau}\\\\ &= \xi_{\mu;\nu}\frac{\text{d}x^\nu}{\text{d}\tau}\frac{\text{d}x^\mu}{\text{d}\tau} \end{aligned}

其中第二个等号利用了物体在不受力情况下的运动方程.

同时注意到，

ξμ;ν=∂ξμ∂xν−Γρμνξρ\xi_{\mu;\nu} = \frac{\partial\xi^\mu}{\partial x^\nu} - \Gamma^\rho{}_{\mu\nu}\xi_\rho

因此，

ddτ(ξμ(x)dxμdτ)=12(ξμ;ν+ξν;μ)UμUν=0\begin{aligned} \frac{\text{d}}{\text{d}\tau}\left(\xi_\mu(x)\frac{\text{d}x^\mu}{\text{d}\tau}\right) &= \frac{1}{2}\left(\xi_{\mu;\nu}+\xi_{\nu;\mu}\right)U^\mu U^\nu = 0 \end{aligned}

也就是，构造的量为守恒量的条件是 ξμ;ν+ξν;μ=0\xi_{\mu;\nu}+\xi_{\nu;\mu}=0. 这种场称为 Killing 矢量场. 由于我们知道 gμν;ρ=0g_{\mu\nu;\rho}=0，所以可以做一个 trick，把这个量加到条件的左边，有

gμν;ρξρ+ξμ;ν+ξν;μ=0g_{\mu\nu;\rho}\xi^\rho+\xi_{\mu;\nu}+\xi_{\nu;\mu} = 0

这个东西可以展开算一下，gμν;ρ=gμν,ρ−Γλνρgμλ−Γλμρgλνg_{\mu\nu;\rho}=g_{\mu\nu,\rho} - \Gamma^\lambda{}_{\nu\rho}g_{\mu\lambda}-\Gamma^\lambda{}_{\mu\rho}g_{\lambda\nu}，且 ξμ;ν=ξμ,ν−Γρμνξρ\xi_{\mu;\nu} = \xi_{\mu,\nu}-\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}\xi_\rho，代入发现所有的 Γ\Gamma 都 cancel 掉了，也就是可以把上式的所有分号改成逗号 (协变导数改成普通导数)，

gμν,ρξρ+gνρξρ,μ+gρμξρ,ν=0g_{\mu\nu,\rho}\xi^\rho + g_{\nu\rho}\xi^\rho{}_{,\mu} + g_{\rho\mu}\xi^\rho{}_{,\nu} = 0

特别提一下，为了把 Γ\Gamma 都消掉，这里要升一下后两项的指标，因此变成现在这个样子.

上式意味着什么？相当于全时空每一个点都生成了一个很小的移动，每个点的移动由 Killing 矢量场给出. 对于标量场 ϕ(x)\phi(x)，从 PP 移动到 QQ，那么 ϕP→ϕP→Q\phi_P\to\phi_{P\to Q}，有 ϕP→Q=ϕP\phi_{P\to Q} = \phi_P. 这里可以定义 Lie derivative，为

Lξ[ϕ(x)]≡ϕQ−ϕP→Qε=ϕ(x+εξ)−ϕ(x)ε=∂ϕ(x)∂xμξμ(x)=ϕ,μξμ\mathcal{L}_{\xi}[\phi(x)] \equiv\frac{\phi_Q - \phi_{P\to Q}}{\varepsilon} = \frac{\phi(x+\varepsilon\xi) - \phi(x)}{\varepsilon} = \frac{\partial\phi(x)}{\partial x^\mu}\xi^\mu(x) = \phi_{,\mu}\xi^\mu

对于矢量场，我们也想定义 Lie 导数. 最原始的矢量定义来源于点之间的差，我们考虑定义 Vμ=dxμ=P′−PV^\mu = \text{d}x^\mu = P'-P. 全空间由 Killing 矢量场平移之后，P→QP\to Q，P′→Q′P'\to Q'，原来的矢量 Vμ→V′μV^\mu\to V'^\mu. 其中 P→QP\to Q 的移动由 ξμ(x)\xi_\mu(x) generate 出来的，而 P′→Q′P'\to Q' 的移动由 ξμ(x+dx)\xi_\mu(x+\text{d}x) generate 出来，也就是

xQμ=xμ+εξμ(x),xQ′μ=xμ+dxμ+εξμ(x+dx)x_Q^\mu = x^\mu + \varepsilon\xi^\mu(x),\quad x_{Q'}^\mu = x^\mu + \text{d}x^\mu+\varepsilon\xi^\mu(x+\text{d}x)

新的矢量为

VP→Qμ=δxμ=QQ′‾=xQμ−xQ′μ=dxμ+ε∂ξμ∂xνdxν=Vμ+ε∂ξμ∂xνVνV^\mu_{P\to Q} = \delta x^\mu = \overline{QQ'} = x_Q^\mu-x_{Q'}^\mu = \text{d}x^\mu + \varepsilon\frac{\partial\xi^\mu}{\partial x^\nu}\text{d}x^\nu = V^\mu + \varepsilon\frac{\partial\xi^\mu}{\partial x^\nu}V^\nu

Lie 导数定义为

Lξ[Vμ(x)]≡VQμ−VP→Qμε=1ε{Vμ[x+εξ(x)]−[Vμ(x)+ε∂ξμ∂xνVν]}=Vμ,νξν−ξμ,νVν\mathcal{L}_\xi[V^\mu(x)] \equiv \frac{V_Q^\mu-V_{P\to Q}^\mu}{\varepsilon} = \frac{1}{\varepsilon}\left\{V^\mu[x+\varepsilon\xi(x)]-\left[V^\mu(x) +\varepsilon\frac{\partial\xi^\mu}{\partial x^\nu}V^\nu\right] \right\} = V^\mu{}_{,\nu}\xi^\nu - \xi^\mu{}_{,\nu}V^\nu

也可以方便地写出逆变分量的 Lie 导数：

Lξ(VμVμ)=Lξ(h)=hμ,νξν+hνξν,μ\mathcal{L}_\xi(V_\mu V^\mu) = \mathcal{L}_\xi(h) = h_{\mu,\nu}\xi^\nu + h_\nu\xi^\nu{}_{,\mu}

对于一个张量 TμνT^{\mu\nu}，

Lξ(Tμν)=Tμν,ρξρ+Tμρξρ,ν+Tρμξρ,ν\mathcal{L}_\xi(T_{\mu\nu}) = T_{\mu\nu,\rho}\xi^\rho + T_{\mu\rho}\xi^\rho{}_{,\nu}+T_{\rho\mu}\xi^\rho{}_{,\nu}

回到我们对 Killing 矢量场的定义 —— 这正是 Lξgμν=0\mathcal{L}_{\xi}g_{\mu\nu} = 0，也就是「Killing 矢量场是使得度规的 Lie 导数为零对应的矢量场.」

对于坐标变换，也可以用 Lie 导数来写，

V′μ(x+εξ)=∂(xμ+εξμ)∂xνVν(x)V'^\mu(x+\varepsilon\xi) = \frac{\partial(x^\mu+\varepsilon\xi^\mu)}{\partial x^\nu}V^\nu(x)

两边同时展开，

V′μ(x)+V′μ,νεξν=Vμ(x)+εξμ,νVν(x)⟹V′μ(x)−Vμ(x)ε=Vμ,νξν−ξμ,νVν(x)V'^\mu(x)+V'^\mu{}_{,\nu}\varepsilon\xi^\nu = V^\mu(x)+\varepsilon\xi^\mu{}_{,\nu}V^\nu(x)\Longrightarrow \frac{V'^\mu(x)-V^\mu(x)}{\varepsilon} = V^\mu{}_{,\nu}\xi^\nu-\xi^\mu{}_{,\nu}V^\nu(x)

换句话来说，Lie 导数所对应的被动变换和主动的坐标变换在某种意义下等效.

回到我们开头的话题，要来寻找守恒量. 对于 Schwarzschild 度规，

dτ2=Bdt2−Adr2−r2dθ2−r2sin⁡2θdϕ2\text{d}\tau^2 = B\text{d}t^2 - A\text{d}r^2-r^2\text{d}\theta^2 - r^2\sin^2\theta\text{d}\phi^2

这里的 gμνg_{\mu\nu} 和 tt 无关，Killing 矢量场定义为 ξ(1)ρ=δρt^\xi^\rho_{(1)} = \delta^\rho{}_{\hat{t}} (也就是 δ\delta 的 tt 列分量) 和 ξ(2)ρ=δρϕ^\xi^\rho_{(2)} = \delta^\rho{}_{\hat{\phi}} (和前面同理)，分别对应时间平移对称性和空间旋转对称性.

下面利用这些守恒量来推导一下水星轨道.

dϕdτ=Lr2,dtdτ=E1−2GM/r\frac{\text{d}\phi}{\text{d}\tau} = \frac{L}{r^2},\quad \frac{\text{d}t}{\text{d}\tau} = \frac{E}{1-2GM/r}

度规里面 dθ\text{d}\theta 项没有作用，直接去掉，然后 dt\text{d}t 不重要，所以换元消掉. 最后得到

(drdτ)2=E2−(1−2GMr)(1+L2r2)=E2−(1−2GMr+L2r2−2GML2r3)\left(\frac{\text{d}r}{\text{d}\tau}\right)^2 = E^2 - \left(1-\frac{2GM}{r}\right)\left(1+\frac{L^2}{r^2}\right) = E^2 - \left(1-\frac{2GM}{r}+\frac{L^2}{r^2}-\frac{2GML^2}{r^3}\right)

最后一项是广义相对论的修正.

如果定性地分析一下，会发现一个重要的差异是：在 Newton 力学中只有 L=0L = 0 严格成立时才会落入力心，但是在广义相对论中即使 LL 不严格为零，在中心质量显著大的时候还是会落入力心.

在 Newton 力学中求轨道方程的过程是，由

dϕdt=Lr2,12(drdt)2=E+GMr−L22r2\frac{\text{d}\phi}{\text{d}t} = \frac{L}{r^2},\quad \frac{1}{2}\left(\frac{\text{d}r}{\text{d}t}\right)^2 = E+\frac{GM}{r}-\frac{L^2}{2r^2}

消掉 tt. 具体来说，令 u=1/ru = 1/r，

12(dudϕ)2=EL(GM)2+(GM)2L2u−12u2\frac{1}{2}\left(\frac{\text{d}u}{\text{d}\phi}\right)^2 = \frac{E}{L}(GM)^2+\frac{(GM)^2}{L^2}u - \frac{1}{2}u^2

同时对 ϕ\phi 再求一次导，两边可以消去一个一阶导数，得到

d2udϕ2+u=(GML)2\frac{\text{d}^2u}{\text{d}\phi^2} + u = \left(\frac{GM}{L}\right)^2

现在在广义相对论的情况下，我们会多一项修正，

d2udϕ2+u=(GML)2+3GMc2u2\frac{\text{d}^2u}{\text{d}\phi^2} + u = \left(\frac{GM}{L}\right)^2 + \frac{3GM}{c^2}u^2

话说我们一直都在用 m=1m=1 来着...